Отношения. Логические операции

Вопросы для подготовки

1. Понятие отношений. Виды отношений, которые изучаются логикой и математикой.

2. Отношения между понятиями.

3. Логические операции над понятиями.

Задания

1. Организовать пары и по образцу, приведенному ниже, составить беседу с математическим понятием. Провести беседу на занятии. Проанализировать.

Образец беседы.

Ав: Предположим, что я инопланетянин, который в совершенстве знает русский язык, но по странной случайности совершенно не понимает, что такое стул. Знает все, кроме стула. Далее, предположим, что в нашей комнате нет стульев, и в нашем распоряжении нет никаких средств изображения. Пожалуйста, объясните мне, что такое стул.

Сс: Ну, это просто. Стул — это то, на чем сидят.

Ст: Нет, погоди. Он же тогда поймет, что садовая скамейка тоже стул.

Сс: Да как же можно перепутать садовую скамейку и стул?!

Ав: Можно, если руководствоваться тем, как вы мне это объяс­нили. На садовой скамейке сидят. Стул — это то, на чем сидят. Следовательно, садовая скамейка — это стул. Это не я предло­жил, а вы.

Сс: Ну, на стуле может сидеть только один человек, а на садовой скамейке — много.

Ст: Значит, так и надо сказать. Стул — это то, на чем может сидеть один человек.

Ав: А два человека могут сидеть на стуле, если они не очень толстые?

Сс: Хм, могут.

Ст: Как же тогда сказать?

Ав: Наверное, следует сказать, что стул предназначен для сидения одного человека, а сколько уж там людей сможет на него сесть — это их дело.

Сс: Правильно! Теперь мы можем объяснить, что такое стул!

Ст: Подожди, табуретка ведь также предназначена для сиде­ния одного человека.

Сс: Но у табуретки нет спинки!

Ст: Конечно, но это также надо сказать нашему Автору-инопланетянину. Итак, стул — это то, что предназначено для сидения одного человека и имеет спинку.

Ав: Позвольте мне вмешаться в вашу дискуссию. Мне не очень нравится оборот «то, что». Нельзя ли нам заменить его какими-нибудь другими словами так, чтобы вышло изящнее?

Сс: Я знаю! Надо подумать, к чему принадлежат стулья. Сту­лья принадлежат к мебели. Значит, стул — мебель.

Ав: Ну, лучше сказать, что стул — это предмет мебели.

Сс: Правильно! Поэтому получится, что стул — это предмет мебели, предназначенный для сидения одного человека и имею­щий спинку.

Ст: Вроде бы хорошо. Но, подожди! А кресло? Кресло тоже предмет мебели, служащий для сидения одного человека и име­ющий спинку!

Сс: Но у кресла есть подлокотники, а у стула нет!

Ст: Точно. Это надо тоже сказать нашему инопланетянину. Получится, что стул — это предмет мебели, предназначенный для сидения одного человека, имеющий спинку и не имеющий подлокотников.

Ав: Ну, вот. Пожалуй, теперь я узнаю, что есть стул, а что нет, в любом случае, когда бы я не встретился с предметом, называемым вами стулом. А теперь у меня еще один вопрос к вам: так что же мы сделали?

Сс: Я думаю, что мы родили мысль о стуле.

А, свойства стула! Я читал в Вашем учебнике, что в логической онтологии есть пред­меты и свойства. Это не предмет, следовательно, это — свойство

Ав: Ну, что ж. Давайте пока назовем это свойством. В даль­нейшем мы будем использовать более точный термин. Осталось только сообразить, какие «свойства» вы перечислили.

Ст: Это теперь нетрудно представить. Я их перечислю одно за другим.

Стул - это:

• предмет мебели,
• предназначенный для сидения одного человека,
• имеющий спинку и
• не имеющий подлокотников.

Ав: Теперь я знаю все необходимое о стуле.

Диалог трех наших воображаемых персонажей помог выяснить, что же такое стул. Выясните, какую мысль наши студенты «родили» при помощи Автора.

2. Изучить самостоятельно вопрос: образование понятий. Вынести на обсуждение этот вопрос на лабораторном занятии. Содержание вопроса приведен ниже.

Теперь рассмотрим подробнее, каким образом мы образовали понятие «стул».

1. В самом начале перед нашим умственным взором был некоторый умственный образ стула, который мы дополнили нашим воспоминанием об отдельных стульях, которые мы с вами встречали в своем опыте. Выбрав какой-нибудь стул в качестве образца, мы произвели мысленное разложение его на отдельные признаки:деревянный, имеющий спинку, с мягким сиденьем, не имеющий подлокотников, с четырьмя ножками и т.п.

Этотэтап образования понятия называется анализ (от греч. analysis - разложение, расчленение).

2) Далее, мы приступили к рассмотрению выделенных признаков по отдельности. Это важнейший этап — целая революция в мышлении. Маленький ребенок (согласно исследованиям знаменитого швейцарского психолога Жана Пиаже, примерно до10-11 лет) в норме не способен рассматривать признаки сами по себе, а только вместе с предметами, которым эти признаки присущи.

Отвлечение признаков от предмета и превращение их в объект самостоятельного рассмотрения называется абстрагированием или абстракцией (от лат. abstractio — отвлечение).

На этапе абстрагирования мы рассматриваем признаки «быть деревянным», «не иметь подлокотников» и т.п. сами по себе, независимо от тех предметов, в результате анализа которых мы получили эти признаки.

3) Далее, мы пытались рассмотреть различные виды стульев для того, чтобы, сравнивая их, выделить общие признаки и отбросить признаки, свойственные только отдельным видам. Так, мы установили, что «быть деревянным» вовсе не обязательно для стула, а «не иметь подлокотников» — признак, характерный для всех стульев.

Эта операция называется сравнением.

4) Наконец, выделив отдельные признаки и сравнив предметы по этим признакам, т.е. выделив общие признаки, мы соединяем все выделенные общие признаки в единое целое, в единый мысленный образ.

Операция соединения признаков всех предметов данного множества в единый признак, выделяющий рассматриваемое множество объектов из всех остальных, называется синтезом (от греч. syntesis — соединение, сочетание). В результате синтеза мы получаем сложный признак, в котором составляющие его при­знаки соединены при помощи союзов «и», «или» и т.п.

5) Соединив в единое целое признаки, мы объединяем в одной мысли все объекты, имеющие выделенные признаки, т.е. при помощи выделенных признаков мы мыслим множество объектов, обладающих этими признаками. Так, в нашем примере мы мыслим все возможные стулья.

Эту операцию объединения разных объектов в одно множе­ство по общим для них признакам назовем познавательным обобщением (познавательным).

3. Определить, какие произведены операции с понятиями и
правильно ли они проведены:

• парламентарная республика - республика - форма правле­ния,
• общество - классовое общество - рабочий класс,
• непроизносимая согласная - согласная - буква,
• юридический факультет - факультет - университет,
• существительное - часть речи - предложение,
• русский язык - язык - знаковая система,
• море - Балтийское море - Финский залив,
• Полярная звезда - созвездие Малой Медведицы - созвездие,
• три - простое число - нечетное число,
• натуральный ряд чисел - четное число - четыре,
• коллектив университета - коллектив факультета - коллектив студенческой группы.

4. Найти самостоятельно и привести примеры единичных и общих признаков, существенных и несущественных.

5. Найти самостоятельно и привести примеры явных и неявных определений.

6. Указать объем, элементы и части объема следующих поня­тий:

• студент,
• университет,
• факультет,
• коллектив,
• коллектив МГУ,
• предложение,
• придаточное предложение,
• часть речи,
• созвездие,
• созвездие Большой Медведицы,
• вечный двигатель,
• круглый квадрат,
• преступление,
• русалка,
• нынешний царь России.

7. Обобщить и ограничить следующие понятия:

• Кража (тайное хищение имущества).

• Потерпевший (лицо, которому причинен моральный, физи­ческий или имущественный вред).
• Имя существительное (часть речи, обозначающая предмет и отвечающая на вопрос «кто?» или «что?»).

7. Самостоятельно продумать и привести примеры по вопросу: виды понятий.

8. Привести примеры видовых и родовых понятий и аргументировать свой ответ.

9. Организовать дискуссионную беседу на лабораторном занятии по нахождению ошибок в понятиях. Содержание дискуссионной беседы предложено ниже.

Ошибки в определениях понятий:

«широкое определение» - «Картофель – это овощь». Является широким, т.к. определение «овощь» по объему намного больше определяемого понятия «картофель». Потому что «овощь» - это не только картофель, но и морковь, лук, капуста, кабачок и т.д. Определение было бы правильным: «Картофель – это разновидность клубненостных овощей».

«узкое определение» - «Любовь – это глубокое чувство». Является узким, т.к. определение по объему меньше определяемого понятия. Определение было бы правильным: «Любовь – это интимное и глубокое чувство, устремлённость на другую личность, человеческую общность или идею».

«определение с кругом» - «Пчеловод – это человек, который занимается пчелами». В определение присутствует круг, т.к. понятие «пчеловод» определяется через понятие «пчела». Через само себя. Поэтому содержание понятия не раскрывается. Определение было бы правильным: «Пчеловод – это человек, который работает на пасеке».

«двусмысленное определение» - «Повторение – мать учение». В данном определении термин «мать» используется в переносном смысле, но кроме этого, у него есть еще и прямой смысл. Получается, что в определении употребляется один термин, а возможных смыслов у него два, т.е. определение является двусмысленным. Определение было бы правильным: «Повторение – это закрепление пройденного материала».

«только отрицательное определение» - «Магазин — это здание, не служащее для жилья». Действительно здание, не служащее для жилья, но данное определение не раскрывает содержание понятия «магазин», ведь указав на то, чем не является объект, обозначенный определяемым понятием, мы не указали на то, чем он является (кафе, бизнес-центр и т.п. — это тоже не магазин). Определение было бы правильным: «Магазин — специально оборудованное стационарное здание или его часть, предназначенное для розничной продажитоваров и оказания услуг покупателям и обеспеченное торговыми, подсобными, административно-бытовыми помещениями, а также помещениями для приема, хранения товаров и подготовки их к продаже».

«некоммуникабельное определение» - «Эксцентричность есть своеобразная идиосинкразия». Данное определение не широкое и не узкое, в нем нет круга и двусмысленности, оно верно и с научной точки зрения. Это определение кажется безупречным за тем только исключением, что оно является сложным и непонятным большинства людей. Определение было бы правильным: «Эксцентричность – это парадоксальная странность вращательного движения, при котором центр вращения смещен по отношению к геометрическому центру вращающегося тела».

Ошибки в делении понятий:

«подмена основания в делении» - «Минеральная вода бывает газированной, негазированной и сладкой». Используются два разных основания – «структура» воды и ее вкусовые качества. Понятие было бы правильным с одним основанием. Например, деление «Минеральная вода бывает газированной и негазированной».

«неполное деление» - «Глаза бывают: карие, зеленые, голубые и серые». Используются не все результаты деления. Понятие было бы правильным со всеми возможными результатами деления, но если необходимо перечислить очень много результатов деления, следует использовать понятия: «и другие», «и прочие», «и так далее», «и тому подобные». Например, деление «Глаза бывают: карие, зеленые, серые, голубые, серо-зеленые и т.п.».

«пересечение результатов деления» - «Акционером может быть юридическое лицо, физическое лицо и работник акционерного общества». Понятия «физическое лицо» и «работник акционерного общества» частично пересекаются. Понятие было бы правильным: «Акционером может быть юридическое лицо и физическое лицо».

«скачок в делении» - «Объемы понятий могут находиться в отношениях равнозначности, пересечения, подчинения и соподчинения». В делении понятия допущен скачек, потому что деление проведено по двум разным основаниям – совместимым и несовместимым объемам понятий. Понятие было бы правильным: «Объемы понятий могут быть совместимыми, находящиеся в отношениях равнозначности, пересечения, подчинения, и несовместимыми, находящиеся в отношениях соподчинения, противоположности, противоречия».

Литература

Основная

1. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников / под ред. А. А. Столяра. - М., 1988.

2. Михайлова, 3. А.Теории и технологии математического развития детей дошкольного _{возраста} / Михайлова 3. А. и др.- Санкт-Петербург: «ДЕТСТВО-ПРЕСС», 2008.

3. _{Гетманова, А.Д. Логика / А.Д Гетманова.: Учеб. для пед. учеб. зав. – 6-е изд. – М.: ИКФ Омега-Л; Высшая школа, 2002. – 416 с.}

4. _{Савченко, Н.А. Курс лекций. Логика / Н.А Савченко. – М., 2002.}

5. _{Щадрин, Д.А. Логика: конспект лекций / Д.А. Щадрин. – М., 2008.}

Дополнительная

1. Ерышев, А.А. Логика / А.А.Ерышев. – М., 2004.

Лабораторное занятие № 5

ВЕЛИЧИНА. ПРОСТРАНСТВО

Вопросы для подготовки

1. Величина, её свойства.

2. Однородные и разнородные величины.

3. Скалярные и векторные величины.

4. Характеристика величин.

5. История развития метрических систем.

6. Пространство. Его свойства. Многомерность пространства.

Задания

1. Используя справочники, энциклопедии, учебники, найти ответы на вопросы:

- Чему равны аршин, локоть, сажень, верста, вершок, пядь, фут, ярд? Какого роста Дюймовочка и Мальчик-с-пальчик?

2. Что означают выражения «мерить на свой аршин», «дай с ноготок, запросит с локоток», «на аршин голова, да ума на пядь». Подобрать не менее 5 выражений по данной теме и обсудить их за круглым столом.

3. Подготовить реферат (сообщение) на одну из тем: «Как люди научились измерять?», «Старинные русские меры длины» (длину, массу, площадь и др.).

Для подготовки сообщения рекомендуется использовать не менее 3-5 источников. Рекомендуемый объем сообщения – 2-4 страницы.

4. Подобрать стихи, высказывания из художественных произведений о старинных русских мерах.

5. Объяснить, в каких ситуациях человек может использовать эти пословицы. Аргументировать свой ответ. Выполнить письменно задание:

1. Фунт (…) пуду (…) уступает (русская).

2. Чужой вершок (…) видит, а свой аршин (…) не замечает (японская).

3. Дела на вершок (…), болтовни на сажень … (индонезийская).

4. Болезнь приходит пудами (…), а уходит по золотнику (…) (башкирская).

5. И у насекомого с вершок (…) полвершка (…) душа занимает (японская).

6. Семи пядей (…) во лбу (русская).

7. За семь верст (…) комара искали, а он на носу (русская).

8. Человека узнаешь, когда с ним пуд (…) соли съешь (русская).

9. Мал золотник (…), да дорог (русская).

10. Знает, почем фунт (…) лиха (русская).

11.Один грамм хвастливости портит центнер (…) достоинства (французская).

12. Грамм любви перевешивает тонну (…) законов (английская).

6. Самостоятельно разобрать решение предложенных задач. Разработать свои задачи и предложить их решить другим студентам на лабораторном занятии.

Меры длины.

Задача № 1. Определите “рост” человека, о котором говорят “от горшка два вершка, а уже указчик” (высоту горшка считать 25 см).

Решение: 1 вершок = 4,5 см 2 вершка = 4,5*2 = 9 см

25+9=34 см

Ответ: высота 34 см.

Задача № 2. Колос пшеницы, со времени посева в конце мая, вырастает за месяц в среднем на 9 вершков. Какой высоты будет колос во время жатвы в конце августа?

Решение: 9 вершков * 3 месяца = 27 вершков

4,5 см * 27 вершков = 121,5 см.

Ответ: Высота колоса будет примерно 120 см.

Задача № 3. Как глубоко видит человек, о ком говорят: “на три аршина в землю видит?”

Решение: 1 аршин = 71,1 см, 3 аршина = 71,1*3 = 213,3 см = 2 м 13,3 см.

Ответ: Так говорится о внимательном, прозорливом человеке, от которого ничего невозможно утаить.

Задача № 4. Купили 100 аршинов ткани. Сколько это метров ткани?

Решение: 1 аршин = 71 см, 100 аршин = 71*100 = 7100 см = 71 м.

Ответ: Купили 71 метр ткани.

Меры объема.

Задача № 1. 1 бочка = 40 ведер

Атаман велел к приходу войска сварить сбитень. В большой котел выли 2 ведра меда, 68 ведер воды, 13 ведер давленой малины, ведро хмеля. Сколько бочек напитка получится?

Решение: 1) Сколько ведер жидкости в котле: 2+68+13+1=84 ведра

2. Узнаем, сколько бочек получится:84/40 = 2 бочек 4 ведра

Ответ: 2 бочки и 4 ведра.

Задача № 2. В XIII вв. 1 кадь = 14 пудов

Крестьянин посеял 70 пудов ржи. Сколько кадь составило его поле?

Решение: 70/14 = 5 кадь.

Ответ: 5 кадь поле крестьянина.

Задача № 3. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. За сколько дней жена его выпьет ту же кадь.

Решение: человек вместе с женой выпивает 1/14 часть кади, а с женой 1/10 кади в день. Следовательно, жена выпивает в день - 1/10-1/14 = 1/35. Значит, всю кадь жена выпьет за 35 дней.

Меры площади.

Задача № 1. На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трех жерновах. За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

Решение: Ясно, что все три жернова должны работать одинаковое время, потому что простой любого из них увеличивает время помола зерна. За сутки все три жернова могут смолоть 60+54+48=162 четверти зерна, тогда 81 четверть зерна они смелют за 0,5 суток, т.е. за 12 часов. За это время на первом жернове можно смолоть 30 четвертей зерна, на втором 27 четвертей, а на третьем 24 четверти зерна.

Ответ: за 12 часов,30, 37, 24 четверти зерна.

Меры веса.

Задача № 1. Крестьянину нужно заплатить оброк за свою семью из 12 человек. За каждого нужно отдать 30 фунтов зерна. Сможет ли он увести оброк верхом на лошади, если сам весит 5 пудов, а лошадь поднимает 15 пудов?

Решение: 1) Найдем, сколько весит оброк: 30*12 = 360 фунтов

2) Так как 1 пуд = 40 фунтам то:360 / 40 = 9 пудов

3) Сколько весит хозяин с оброком:5+9 = 13 пудов.

Ответ: да.

Задача № 2. Ягодное решето весит 1 3/5 фунта и стоит 16 копеек. Почем за фунт следует заплатить за ягоды, чтобы покупатель не потерпел убытка, принимая решето в общий вес с ягодами, т.е. платя за решето не дороже, чем за ягоды?

Решение. 1 3/5 фунта = 8/5 фунта — вес решета, а стоит оно 16 копеек, значит цена "одного фунта решета" 16: 8/5 = 10 копеек. Значит и за ягоды надо платить не дороже 10 копеек

Задача № 3. Найти вес чугунной линейки в 1 фут 2 дюйма длины, 2 дюйма ширины и 4 линии толщины, если удельный вес чугуна равен 7.

Решение: 1) 1 фут 2 дюйма = 14 дюймам, 4 линии = 0,4 дюйма,

2) Объем линейки 14*2*0,4=11,2 куб. дюйма,

3) Вес воды того же объема: 3,84*11,2 = 43.008 золотника (Для вычисления веса надо знать, что вес одного кубического дюйма воды равен 3,84 золотника),

4) Вес линейки 43,008*7=301,056 золотника = 3 фунта 13,056 золотника.

Литература

Основная

1. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников / под ред. А. А. Столяра. - М., 1988.

2. Михайлова, 3. А. и др.Теории и технологии математического развития детей дошкольного _{возраста} / 3.А. Михайлова и др.- Санкт-Петербург: «ДЕТСТВО-ПРЕСС», 2008.

3. _{Фрейлах, Н.И. Методика математического развития / Н.И. Фрейлах. – М.: ИД ФОРУМ: ИНФРА. – М., 2006. - 208с.}

Дополнительная

1. Ерышев, А.А. Логика / А.А. Ерышев. – М., 2004.