Температурное поле в процессе охлаждения (нагревания) пластины.

 

Постановка задачи. Пусть имеется пластина, размер которой вдоль оси х равен 2 . Размеры пластины в направлении осей y и z неограниченны, т.е. температура пластины изменяется только в направлении оси х. Пластина помещается в среду,

температура которой = const. В начальный момент времени (t = 0) температура

 

в пластине распределена равномерно и равна , ( > ), т.е. рассматриваем процесс охлаждения пластины. Все рассуждения и полученный результат будут верны и для процесса нагревания. Теплообмен с обеих поверхностей пластины одинаковый, коэффициент теплоотдачи a = const. В этом случае температурное поле будет симметричным относительно середины пластины. Теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала пластины не зависят от температуры. Необходимо найти закон распределения температуры по толщине пластины и количество теплоты, отводимой с поверхности пластины, за любой промежуток времени. Обозначим избыточную температуру в любой точке тела в произвольный

 

момент времени через . При t = 0 . Для нахождения закона распределения температуры по толщине пластины в любой момент времени запишем дифференциальное уравнение теплопроводности, учитывая, что

. Согласно условию задачи уравнение

теплопроводности будет иметь вид

 

или .Для решения этого уравнения воспользуемся методом разделения переменных.

 

Представим искомую функцию в виде произведения T (t) и L (x): Первый множитель зависит только от времени, а второй – только от координаты.

 

Дифференцируя выражение, найдем;;.

 

Подставим эти значения в решение, получим

или.Левая часть этого уравнения есть функция от времени (t), а правая – от координаты (x). Значит, обе части должны быть равны некоторой постоянной величине, которую обозначим через (минус

).

 

 

Тогда или,

 

 

или. Это система обыкновенных дифференциальных уравнений, общие решения

которых известны:

 

. Общее решение будет иметь вид

 

. Для нахождения частного решения необходимо определить

постоянные интегрирования ( и ), а также k. Для этого запишем начальные и граничные условия: при t = 0

 

 

; при x = 0; при x = ± d. Решая эту задачу,получаем уравнение

температурного поля в бесконечной пластине в виде

 

, где.

 

Запишем формулу в безразмерной форме. Обозначим,, – соответственно

безразмерные координата, температура, безразмерные числа Фурье и Био.

 

.Анализ формулы показывает, что чем больше номер ряда, тем меньшую долю вносит член в общую сумму ряда, т.е.

 

ряд быстро сходится, особенно при ³ 0,3. При этом распределение температуры достаточно точно описывается первым

членом ряда:

 

.

 

Пользование полученным уравнением на практике

затруднительно. Поэтому с помощью формулы построены

 

графики (номограммы). = ¦(X, Fо, Bi), использование которых сводит расчеты к довольно простым операциям. Для практики часто бывает достаточно контролировать температуру тела в его центре или на поверхности и по изменению ее величины судить о процессе нагревания (охлаждения). Безразмерную температуру в центре пластины (x = 0, X = 0) можно определить по формуле

 

 

, а на поверхности пластины (x = d, X = 1)

.

 

Первые сомножители в этих выражениях зависят только от Bi. Обозначим их следующим образом:

 

,

 

 

, тогда

 

 

 

,

 

. Прологарифмируем последние два выражения

 

 

, .

 

Графически эти зависимости представлены на номограммах. Пользуясь этими номограммами, можно легко найти температуру в центре и на поверхности бесконечной пластины (такие же номограммы имеются и для бесконечного цилиндра и шара) в любой момент времени. Для этого необходимо рассчитать безразмерные числа Bi и Fо и отложить их

 

 

значения на соответствующей номограмме. Точка пересечения даст величину безразмерной температуры.

Зная , можно вычислить размерную температуру .

 

 

Физический смысл безразмерных чисел

 

 

и

 

.

 

характеризует соотношение между

 

 

термическими сопротивлениями теплопроводности и теплоотдачи.

 

 

характеризует безразмерное время.