Дифференциальное уравнение теплопроводности, его физический смысл.

Запишем выражение первого закона термодинамики для процесса теплопроводности, протекающего в течение элементарно малого промежутка времени d τ: dU = dQ* − dL

Здесь dU – изменение внутренней энергии в выделенном объеме; dQ * – количество тепла, вносимого в объем теплопроводностью; dL – работа, совершаемая элементом против внешних сил. Отметим, что

dL = pd (dV) = 0, (dV = dx dy dz),поскольку дифференциал бесконечно малой величины есть величина бесконечномалая величина второго порядка малости и ею можно пренебрегать. Тогда предыдущая формула упрощается:

dU = dQ *(1). Из термодинамики известно,что dU = c dmd τ t = c ρ dV · ∂ t/ ∂τ·∂τ,Величину dQ *представим тремя слагаемыми dQ* = dQ*x + dQ*y + dQ*z (2),и более подробно рассмотрим лишь составляющую по направлению х. Если через qx и qx + dx обозначим удельные тепловые потоки, направленные по оси х, первый из которых входит в элемент, а второй – выходит из него (см. рис. 2.4), то количество тепла, накапливающееся в выделенном объеме по направлению х, будет: dQx * = qx dy dz d τ − qx + dx dy dz d τ =(qx − qx + dx) dy dz d τ.Поскольку функция qx = f (x)непрерывна(для распространения тепла нетпрепятствий), то связь между предыдущим значением функции и ее последующим значением определяется известной формулой Тейлора. Всеми слагаемыми ряда, начиная с третьего, можно пренебрегать как величинами более высоких

порядков малости. Тогда формулу можно переписать: . Аналогичные рассуждения, если рассмотреть направления у и z, позволяют получить аналогичные по структуре выражения для * ydQ и * dQz. Тогда

формула (2) может быть представлена так: , Сумму частных производных проекций вектора, выделенную скобками, называют дивергенцией вектора и обозначают словом div. Поэтому предыдущее выражение часто записывают по другому: dQ * = –div q – dV d τ (3). Воспользуемся теперь законом Фурье, который в проекциях на

координатные оси дает: , Подставляя эти выражения, получим:

, Подставим теперь в формулу (1) значения dU

и dQ *, соответственно. После сокращения получаем:, Если преобразовать формулу (3), то

дифференциальное уравнение теплопроводности можно получить в виде: , Это более общая запись,

в ней не предполагается, что λ = const. Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей называют оператором Лапласа и обозначают для краткости символами ∇ 2. Множитель λ /(с ρ), составлен из физконстант и представляет собою некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способность тел проводить тепло и одновременно аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику называют коэффициентом температуропроводности а: a = λ / (с ρ), поскольку его величина определяет и скорость изменения температуры в любой фиксированной точке тела. Коэффициент а имеет важное значение только для нестационарных процессов. В итоге дифференциальное уравнение теплопроводности записывается очень компактно: ∂ t / ∂τ = a ∇ 2 t. Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по времени (левая часть) в окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для решения всего класса задач теплопроводности. Часто это уравнение называют дифференциальным уравнением Фурье.