Шляховой В.С., Белокопытов В.Н., Самсонов В.А., Скобеев И.Н.

Шляховой В.С., Белокопытов В.Н., Самсонов В.А., Скобеев И.Н.

Сопротивление материалов

 

Учебно-методическое пособие

 

3-е издание, дополненное и переработанное

 

 

Смоленск

УДК 620.10(076)

ББК 30.121(я73-5)

Ш 70

Рецензент: В.А. Михайлов, кандидат технических наук, доцент

филиала ФГБОУ ВО «НИУ МЭИ» в г. Смоленске (СФ МЭИ)

 

Шляховой В.С., Белокопытов В.Н., Самсонов В.А., Скобеев И.Н.

 

 

Ш 70 Сопротивление материалов: учебно-методическое пособие / В.С. Шляховой [и др]. – 3-е изд. доп. и перераб. – Смоленск: ФГБОУ ВО Смоленская ГСХА, 2016. – 67 с.

 

 

В издании разделы 2 и 5 дополнены новыми заданиями, приводятся примеры их выполнения и в приложении откорректированы дополнительные справочные материалы. Устранены опечатки, имевшиеся в предыдущем издании. Приведены основные теоретические сведения программного курса, задания для практических работ, примеры выполнения работ и контрольные вопросы по каждому разделу. Предназначено для изучающих дисциплину «Сопротивление материалов»

 

 

Печатается по решению методического совета ФГБОУ ВО Смоленская ГСХА (протокол № 21 от 23.06.2016 г.)

 

УДК 620.10(076)

ББК 30.121(я73-5)

 

© Шляховой В.С., Белокопытов В.Н.,

Самсонов В.А., Скобеев И.Н.., 2016 г.

© Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Смоленская государственная сельскохозяйственная академия», 2016

Введение

 

 

Настоящие методические указания составлены в соответствии с действующей программой дисциплины «Сопротивление материалов» для студентов, обучающихся по специальности 35.03.06 «Агроинженерия» профиль «Технический сервис в агропромышленном комплексе»

«Технические системы в агробизнесе»

Сопротивление материалов — наука о прочности, жесткости и устойчивости отдельных элементов конструкций, деталей машин и механизмов.

Цель дисциплины — освоение студентами методик расчетов деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость под действием внешних нагрузок.

Методические указания предназначены для оказания помощи студентам при выполнении ими самостоятельных расчетных практических работ, имеющих цель закрепить теоретические знания, получаемые на лекционных занятиях и привить студентам навыки выполнения типовых инженерных расчетов на прочность, жесткость и устойчивость. При изучении курса студенты выполняют восемь практических работ по следующим разделам, предусмотренных программой:

1. Растяжение, сжатие.

2. Сдвиг.

3. Геометрические характеристики плоских сечений.

4. Кручение.

5. Плоский изгиб.

6. Сложное сопротивление.

7. Устойчивость сжатых стержней.

8. Действие динамических нагрузок.

Методические указания содержат краткие сведения из теории с примерами, поясняющими основные расчетные формулы, задания для практических работ в количестве тридцати вариантов каждое, примеры выполнения работ и контрольные вопросы по каждому разделу.

Защита практических работ предусматривает проверку правильности их выполнения, умение студентами анализировать расчетные формулы и полученные результаты, а так же проверку знаний теоретического курса.

 

 

 

Раздел 2. Сдвиг

Если в поперечных сечениях бруса возникает только поперечная сила, а остальные внутренние силовые факторы отсутствуют, то такой вид напряженного состояния называется сдвигом. В этом случае в сечении действуют только касательные напряжения, равнодействующей которых и является поперечная сила.

Сдвиг вызывает деформацию, представляющую собой искажение первоначально прямого угла элемента бруса под действием касательных напряжений. Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом (применительно к древесине — скалыванием).

В предположении равномерного распределения касательных напряжений τ по сечению площадью А, они определяются по формуле:

 

, (2.1)

 

где Q – поперечная сила в данном сечении, кН.

На практике теория сдвига широко применяется к расчету болтовых, заклепочных, сварных и других элементов соединений.

 

2.1 Расчет болтовых и заклепочных соединений.

В зависимости от числа срезов одного болта или заклепки их называют односрезными (рис 2.1а), двухсрезными (рис. 2.1б) и т.д..

а) б)

 

Рисунок 2.1 – Схемы болтовых и заклепочных соединений

 

При значительной величине внешних сил F или небольшом диаметре заклепок, или при их недостаточном количестве они могут быть разрушены (срезаны) по сечению, расположенному в плоскости соприкосновения поверхности соединенных деталей. Условие прочности при расчете на срез болтовых и заклепочных соединений записывается в виде:

 

(2.2)

 

где, кроме прежних обозначений,

[τ] - допускаемое касательное напряжение на срез, которое определяется аналогично рассмотренному ранее [σ], кН/см².

Если соединение осуществлено несколькими одинаковыми заклепками или болтами, то считается что все они нагружены одинаково. Исходя из этого допущения условие прочности (2.2) записывается в виде:

 

(2.3)

 

где n - количество заклепок в соединении, шт.;

i – количество срезов на заклепке, равное числу соединенных деталей минус единица, шт.;

d - диаметр заклепок, см;

0,785•d² = - площадь поперечного сечения одной заклепки);

F - внешняя сила, действующая на соединение, кН.

Формула (2.3) позволяет, после соответствующих преобразований, выполнять любой вид расчета: определять наибольшую силу, которую выдержит заданное соединение, определять количество заклепок, их диаметр, обеспечивающих прочность соединения, или оценивать прочность соединения.

При небольшой толщине соединяемых деталей (листов) возникает большое взаимное давление по площади соприкосновения соединяемых деталей и заклепок, в результате чего стенка отверстия в детали или заклепке может получит пластическую деформацию смятия, при этом прочность заклепки на срез обеспечена.

Давление, возникающее между указанными поверхностями, действует по нормали к ним и называется напряжением смятия σ_cм. При практических расчетах на смятие, так же как и при расчетах на срез, считается, что все заклепки нагружены одинаково, а силы давления распределены по поверхности смятия равномерно. Отсюда условие прочности заклепочного (болтового) соединения на смятие имеет вид:

 

(2.4)

 

где d × δ – площадь смятия одной заклепки (или стенки отверстия детали) диаметром d при толщине детали δ.

[ σ_см ] – допускаемое напряжение смятия материала заклепки или детали. Если они изготовлены из разных материалов, то принимается наименьшая величина.

Допускаемое напряжение смятия является справочной величиной и в рамках данной практической работы приводится в качестве исходных данных.

При расчете количества заклепок на срез и смятие принимают большую величину, при этом расчет на смятие, как правило является проверочным.

 

2.2 Расчет сварных соединений.

Деформацию сдвига воспринимают сварные соединения, выполненные внахлест при помощи угловых швов, которые могут быть лобовыми (рис. 2.2а) и фланговыми (рис. 2.2б)

а) б)

 

Рисунок 2.2 – Схемы сварных соединений внахлест.

 

При расчете угловых швов (лобовых или фланговых) принимают, что опасное сечение шва, где может произойти разрушение, проходит через биссектрису АD прямоугольного треугольника ABC, за форму которого условно принимается поперечное сечение шва (рис. 2.3).

 

 

AB=AC=K

AD=0,7•K,

где К – катет углового шва.

 

Рисунок 2.3 – Схема поперечного сечения углового сварного шва

 

Таким образом, для углового шва площадь его поперечного сечения, по которому может произойти разрушение, определяется по формуле:

 

, (2.4)

 

где K, l - катет и длина шва соответственно, см.

Условие прочности сварных швов записывается аналогично условию прочности болтовых и заклепочных соединений:

 

, (2.5)

 

которое, также позволяет выполнять любой вид прочностных расчетов.

Практическая работа №2

Задача 2.1. Определить количество заклепок диаметром d, обеспечивающих прочность соединения листов, толщиной δ.

Проверить также прочность соединения на смятие и определить запас прочности по смятию. Заклепки изготовленs из стали с [τ ] (рис.2.4), а листы из стали с [σ_cv ]. Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 2.1.

Схема I Схема II Схема III

 

Рисунок 2.4 – Расчетные схемы заклепочных соединений

 

Таблица 2.1 - Исходные данные для выполнения задачи 2.1 практической работы № 2

Исходные данные	Варианты
Схема	II	III	I	III	I	II	III	I	II	III
F, кН
[τ], кН/см2
d, мм
[σcv ], кН/см2
δ, мм	3,5	3,0	1,5	3,2	4,5	3,3	2,0	1,5	2,8	4,6

Продолжение таблицы 2.1

Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	I	II	III	II	III	I	II
F, кН
[τ], кН/см2
d, мм
[σcv ], кН/см2
δ, мм	2,0	3,4	3,0	3,8	5,0	1,5	3,4	2,2	3,0	2,5
Исходные данные	Варианты
Схема	III	I	II	III	I	II	III	I	II	III
F, кН
[τ], кН/см2
d, мм
[σcv ], кН/см2
δ, мм	2,2	3,0	1,6	2,5	2,8	2,0	3,0	2,4	3,6	3,0

Задача 2.2. Определить наибольшую силу [F], которую выдержит сварное соединение (рис.2.5). Данные для задачи своего варианта взять из таблицы 2.2.

Схема I Схема II Схема III

 

Рисунок 2.5 – Расчетные схемы сварных соединений

 

Таблица 2.2 - Исходные данные для выполнения задачи 2.2 практической работы № 2

Исходные данные	Варианты
Схема	III	I	II	I	II	III	I	II	III	I
δ, мм
b, cм			-		-			-
l, cм		-		-			-			-
[τ], кН/см2

Продолжение таблицы 2.2

Исходные данные	Варианты
Схема	II	III	I	II	III	III	I	II	I	II
δ, мм
b, cм	-			-				-		-
l, cм			-				-		-
[τ], кН/см2
Исходные данные	Варианты
Схема	III	I	II	III	I	II	III	I	II	III
δ, мм
b, cм			-			-			-
l, cм		-			-			-
[τ], кН/см2

 

 

Пример выполнения задачи 2.1 практической работы №2.

Дано: Схема I; F = 95 кН; [ τ ]=16 кН/см² ; d = 12 мм; [ σ _см]= 52 кН/см² ; δ = 8 мм

Решение. Из условия прочности заклепок на срез (2.3) определяем их минимальное количество и полученный результат округляем до ближайшего большего целого числа.

 

 

Определяем количество срезов на заклепке для схемы своего варианта

 

i = 3 –1 = 2

 

Диаметр заклепки в «мм» переводим в «см» и производим необходимые вычисления

 

 

Принимаем в соединении 3 заклепки.

Выполняем проверку прочности соединения на смятие, используя выражение (2.4).

 

 

Толщину листа выражаем в «см» и производим необходимые вычисления

 

 

Прочность соединения на смятие обеспечивается со следующим запасом прочности

 

Пример выполнения задачи 2.2 практической работы №2

Дано: Схема II; δ = 3 мм; l = 12см; [τ ] = 18 кН/см²

Решение. Из условия прочности сварных швов (2.5) выражаем наибольшую силу [F], которую выдерживает данное сварное соединение.

 

Катет сварного шва «k» принимается равным толщине листов в сварном соединении и выражается в «см»

 

k = 3мм = 0,3 см

 

Определяем общую длину сварных швов, которая для данного варианта равна двойной длине флангового шва. Производим необходимые вычисления.

 

 

Наибольшая сила, которую выдержит сварное соединение

 

[ F ] = 90 кH

Контрольные вопросы к разделу №2

1. Что называется сдвигом?

2. Что называется срезом, скалыванием?

3. Какие соединения работают на сдвиг?

4. Какие допущения принимаются при практических расчетах болтовых и заклепочных соединений?

5. Какие заклепки называются одно- и многосрезными?

6. Как определяется площадь сечения углового сварного шва?

Плоских сечений

 

 

Любое сечение бруса имеет определенную геометрическую форму и площадь. В случаях растяжения (сжатия) или сдвига бруса, рассмотренных ранее, площадь поперечного сечения бруса полностью определяет его прочностные возможности. При этом форма поперечного сечения, и ее положение относительно системы координат, не имеют никакого значения. В случае изгиба бруса, который будет рассмотрен в разделе 5, деформационная картина значительно сложнее. В этом легко убедиться, если изогнуть обычную линейку в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис.3.1).

а) б)

 

Рисунок 3.1 - Схемы расположения поперечных сечений при изгибе

 

Изгиб относительно оси Х в случае а) осуществить значительно легче, чем в случае б). Этот простой пример наглядно свидетельствует, что при изгибе прочность и жесткость определяет не только площадь поперечного сечения бруса, но и его форма и положение относительно оси изгиба.

Геометрическими характеристиками плоских сечений являются площадь, статические моменты плоских сечений, положение центра тяжести, моменты инерции и моменты сопротивления (имеется еще ряд характеристик, которые рассматриваются в более полных курсах).

Площадь является простейшей геометрической характеристикой, известной из школьного курса.

Из курса "Теоретической механики" известно, что положение центра тяжести плоской фигуры сложного поперечного сечения определяется по формулам:

 

, (3.1)

 

 

 

где х_с — расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси Y, см;

у_с — расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси Х, см;

А₁, А₂, … А_n — площади отдельных элементов, на которые разбивается фигура сложного поперечного сечения, см²;

x₁, x₂, … x_n — расстояние от центра тяжести отдельного элемента до оси Y, см;

у₁, у₂, … у_n — расстояние от центра тяжести отдельного элемента до оси Х, см.

Выражения, стоящие в числителях формулы (3.1) S_y и S_x, и являются статическими моментами плоского сечения.

Указанные статические моменты плоского сечения, по большей части, не являются самостоятельными характеристиками, а вычисляются как промежуточные при определении центра тяжести плоской фигуры.

Таким образом, статический момент плоского сечения относительно некоторой оси равен сумме произведений площадей элементарных составляющих на их расстояния до этой оси.

Самостоятельной геометрической характеристикой плоских сечений, которая определяет способность бруса воспринимать внешнюю нагрузку, в частности, при изгибе, является момент инерции его поперечного сечения.

Осевым моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений отдельных элементарных площадок dА на квадраты их расстояний до этой оси:

(3.2)

 

Сумма осевых моментов инерции плоского сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна т.н. полярному моменту инерции J_p этого сечения относительно точки пересечения указанных осей:

 

, (3.3)

 

где ρ - расстояние от элементарной площадки dА до точки пересечения двух взаимноперпендикулярных осей (полюса), см.

Полярный момент, как геометрическая характеристика, определяет способность бруса работать на кручение (раздел 4).

В большинстве случаев поперечные сечения представляют собой сложную форму, исключающую возможность интегрирования. Поэтому при практических вычислениях моментов инерции сложная фигура разбивается на ряд простых составляющих, моменты инерции которых заранее известны либо могут быть определены по известным формулам. Интегрирование, при этом, по формулам (3.2) заменяются суммированием.

Момент инерции сложного сечения относительно любой оси равен сумме моментов инерции отдельных составляющих относительно осей, параллельных данной и проходящих через их центр тяжести, плюс произведение площади каждой составляющей на квадраты расстояний между осями.

 

(3.4)

где J_xi, J_yi - моменты инерции отдельных составляющих, относительно осей, проходящих через ее центр тяжести (собственные моменты инерции), см⁴;

a, b - расстояние между осями, см.

Данное правило можно сформулировать следующим образом: момент инерции составного профиля равен сумме моментов инерции собственных и переносных каждой составляющей, на которую разбит составной профиль.

Смысл момента сопротивления, как геометрической характеристики, будет дан в дальнейшем в разделах 4 и 5.

 

Практическая работа №3

Определить моменты инерции относительно осей Х и Y для плоского поперечного сечения показанного на рис. 2. Данные своего варианта взять из табл. 3.1.

 

Схема I Схема II Схема III

 

Схема IV Схема V

 

Рисунок 3.2 – Схемы плоских поперечных сечений

 

 

Таблица 3.1 - Исходные данные для выполнения практической работы № 3

Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
Н, см
В, см
d, см
Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
Н, см
В, см
d, см

Продолжение таблицы 3.1

Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
Н, см
В, см
d, см

 

Пример выполнения практической работы №3.

Дано: Н= 10 см, В= 8 см, d= 1 см.

 

Расчетная схема приведена на рис. 3.3 (при вычерчивании схемы сечения необходимо соблюдать масштаб между отдельными элементами).

Рисунок 3.3 – Расчетная схема сечения

 

Решение.

1. Заданное составное сечение разбиваем на минимально возможное необходимое число простых составляющих, площади, положения центров тяжести и собственные моменты инерции которых известны или могут быть подсчитаны по известным формулам. При этом пользуемся следующими справочными данными табл. 3.2.

В нашем случае составное сечение разбивается на пять простых составляющих: два горизонтальных прямоугольника I и II, один вертикальный III, и два круглых отверстия IV и V.

 

Таблица 3.2 – Значения геометрических характеристик фигур - прямоугольник и круг

Сечение	Положение центра тяжести	Площадь А	Собственный момент инерции
Jx	Jy
Прямоугольник со сторонами: Высота – h; Ширина - b	Пересечение диагоналей
Круг диаметром d	Центр круга

 

2. Используем формулу (3.4) и в общем виде записываем выражения для моментов инерции заданного составного сечения

 

, (3.5)

 

 

где J_x, - собственные моменты инерции отдельных составляющих относительно оси, параллельной Х, см⁴;

J_y - собственные моменты инерции отдельных составляющих относительно оси, параллельной Y, см⁴;

А – площади отдельных составляющих, см²;

a - расстояния от центров тяжести отдельных составляющих до оси Х, см;

b - расстояния от центров тяжести отдельных составляющих до оси Y, см.

 

3. Производим необходимые вычисления, результаты которых заносим в таблицу 3.3.

 

Таблица 3.3 – Результаты вычислений геометрических характеристик сечения

№ составляющего элемента	А, см2	Jx, см4	Jy, см4	b, см	a, см
I		2,33	64,7
II		2,33	64,7		- 4
III	16,8		9,2
IV	- 0,8	0,05	0,05
V	- 0,8	0,05	0,05		- 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы к разделу №3

1. Что называется геометрическими характеристиками плоских сечений?

2. Что называется статическим моментом плоского сечения?

3. Как определяется положение центра тяжести плоской фигуры?

4. Что называется моментом инерции плоского сечения?

5. Как вычисляется момент инерции сложного составного сечения?

Раздел 4. Кручение

Кручение представляет такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент М_кр. Прямой брус круглого или кольцевого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом. Кручение происходит под действием уравновешенной системы внешних моментов, действующих в плоскости, перпендикулярной оси вала. На основании метода сечений крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к валу по одну сторону от этого сечения. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен по часовой стрелке. Характер изменения крутящих моментов по длине вала графически показывается с помощью эпюры крутящих моментов, каждая ордината которой в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том сечении вала, которому соответствует эта ордината.

В поперечных сечениях вала при кручении действуют только касательные напряжения τ, которые вычисляются по формуле:

 

, (4.1)

 

где М_кр – крутящий момент в сечении, значение которого берется с эпюры крутящих моментов, кН см;

J_р – полярный момент инерции, известная из раздела 3 геометрическая характеристика сечения, см⁴.

Для сплошного круглого сечения

 

, (4.2)

 

Для кольцевого сечения

 

, (4.3)

 

где d_н – наружный диаметр кольцевого сечения, см;

d_вн – внутренний диаметр кольцевого сечения, см;

α= - отношение внутреннего диаметра кольцевого сечения к наружному;

ρ - текущий радиус точек сечения, см.

Из формулы (4.1) следует, что при ρ=0 имеем τ=0, а при ρ= ρ_мах =½d получим максимальное значение касательных напряжений.

 

 

, (4.4)

где - называется полярным моментом сопротивления W_р, см³;

Для сплошного круглого сечения

 

 

, (4.5)

 

Для кольцевого сечения

 

W_p ≈ 0,2 • d_н³ • (1-α⁴), (4.6)

 

Поскольку наибольшие касательные напряжения действуют на поверхности вала и, уменьшаясь к центру, принимают в нем нулевое значение, то для облегчения вала необходимо материал из центра, где он загружен незначительно, частично перенести к поверхности, что и достигается при изготовлении валов трубчатыми (например карданные валы автомобилей, тракторов и т.д.). При равной прочности вал кольцевого сечения существенно легче вала сплошного сечения.

Условие прочности при кручении имеет вид:

 

 

, (4.7)

 

 

где [τ] – допускаемое напряжение материала вала при кручении, кН/см².

При отсутствии табличных данных условно принимается

 

 

[τ] = (0,5…0,6) [σ], (4.8)

 

 

[σ] – допускаемое напряжение материала при растяжении, кН/см².

При кручении поперечные сечения вала поворачиваются на некоторый угол по отношению друг к другу. Угол поворота (закручивания) сечений определяется по формуле:

 

, (4.9)

 

где М_кр – крутящий момент на данном участке вала, в пределах которого он постоянен (берется из эпюры крутящих моментов) кН см;

l – длина участка вала, см;

G - модуль сдвига материала, для стали G =0,8•10⁴ кН/см² (0,8•10⁵ МПа);

J_р – полярный момент инерции, определяемый по формулам (4.2) и (4.3), см⁴.

Формула (4.9) позволяет выполнить расчеты валов на жесткость.

 

Практическая работа №4

Для стального круглого вала построить эпюры крутящего момента и углов закручивания, подобрать из условия прочности диаметры валов сплошного и кольцевого сечений и определить на сколько кольцевой вал легче сплошного. Схема вала приведена на рис. 4.1. Данные своего варианта взять из табл. 4.1.

Рисунок 4.1 – Расчетная схема вала

 

 

Таблица 4.1 - Исходные данные для выполнения практической работы № 4

Исходные данные	Варианты
М1, кНм			-8		-7	-11				-16
М2, кНм	-6		-4	-8	-2		-15		-8
М3, кНм	-2	-16						-14	-7
М4, кНм		-10		-5			-5	-4
l 1, см
l 2, см
l 3, см
l 4, см
[τ], кН/см2
α	0,9	0,5	0,8	0,4	0,7	0,9	0,5	0,8	0,4	0,7

Продолжение таблицы 4.1

Исходные данные	Варианты
М1, кНм			-15		-5		-6	-2
М2, кНм		-6		-6	-8	-5				-16
М3, кНм	-14	-7		-9			-5		-5	-4
М4, кНм	-52		-4		-4	-3		-16	-10
l 1, см
l 2, см
l 3, см
l 4, см
[τ], кН/см2
α	0,9	0,5	0,8	0,4	0,7	0,7	0,4	0,8	0,5	0,9
Исходные данные	Варианты
М1, кНм		-16	-10	-8	-4				-8
М2, кНм						-16		-14		-5
М3, кНм	-10			-5			-4		-9	-8
М4, кНм	-12	-9	-5		-18	-4	-16