Раздел 3. Геометрические характеристики

Плоских сечений

 

 

Любое сечение бруса имеет определенную геометрическую форму и площадь. В случаях растяжения (сжатия) или сдвига бруса, рассмотренных ранее, площадь поперечного сечения бруса полностью определяет его прочностные возможности. При этом форма поперечного сечения, и ее положение относительно системы координат, не имеют никакого значения. В случае изгиба бруса, который будет рассмотрен в разделе 5, деформационная картина значительно сложнее. В этом легко убедиться, если изогнуть обычную линейку в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис.3.1).

а) б)

 

Рисунок 3.1 - Схемы расположения поперечных сечений при изгибе

 

Изгиб относительно оси Х в случае а) осуществить значительно легче, чем в случае б). Этот простой пример наглядно свидетельствует, что при изгибе прочность и жесткость определяет не только площадь поперечного сечения бруса, но и его форма и положение относительно оси изгиба.

Геометрическими характеристиками плоских сечений являются площадь, статические моменты плоских сечений, положение центра тяжести, моменты инерции и моменты сопротивления (имеется еще ряд характеристик, которые рассматриваются в более полных курсах).

Площадь является простейшей геометрической характеристикой, известной из школьного курса.

Из курса "Теоретической механики" известно, что положение центра тяжести плоской фигуры сложного поперечного сечения определяется по формулам:

 

, (3.1)

 

 

 

где х_с — расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси Y, см;

у_с — расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси Х, см;

А₁, А₂, … А_n — площади отдельных элементов, на которые разбивается фигура сложного поперечного сечения, см²;

x₁, x₂, … x_n — расстояние от центра тяжести отдельного элемента до оси Y, см;

у₁, у₂, … у_n — расстояние от центра тяжести отдельного элемента до оси Х, см.

Выражения, стоящие в числителях формулы (3.1) S_y и S_x, и являются статическими моментами плоского сечения.

Указанные статические моменты плоского сечения, по большей части, не являются самостоятельными характеристиками, а вычисляются как промежуточные при определении центра тяжести плоской фигуры.

Таким образом, статический момент плоского сечения относительно некоторой оси равен сумме произведений площадей элементарных составляющих на их расстояния до этой оси.

Самостоятельной геометрической характеристикой плоских сечений, которая определяет способность бруса воспринимать внешнюю нагрузку, в частности, при изгибе, является момент инерции его поперечного сечения.

Осевым моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений отдельных элементарных площадок dА на квадраты их расстояний до этой оси:

(3.2)

 

Сумма осевых моментов инерции плоского сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна т.н. полярному моменту инерции J_p этого сечения относительно точки пересечения указанных осей:

 

, (3.3)

 

где ρ - расстояние от элементарной площадки dА до точки пересечения двух взаимноперпендикулярных осей (полюса), см.

Полярный момент, как геометрическая характеристика, определяет способность бруса работать на кручение (раздел 4).

В большинстве случаев поперечные сечения представляют собой сложную форму, исключающую возможность интегрирования. Поэтому при практических вычислениях моментов инерции сложная фигура разбивается на ряд простых составляющих, моменты инерции которых заранее известны либо могут быть определены по известным формулам. Интегрирование, при этом, по формулам (3.2) заменяются суммированием.

Момент инерции сложного сечения относительно любой оси равен сумме моментов инерции отдельных составляющих относительно осей, параллельных данной и проходящих через их центр тяжести, плюс произведение площади каждой составляющей на квадраты расстояний между осями.

 

(3.4)

где J_xi, J_yi - моменты инерции отдельных составляющих, относительно осей, проходящих через ее центр тяжести (собственные моменты инерции), см⁴;

a, b - расстояние между осями, см.

Данное правило можно сформулировать следующим образом: момент инерции составного профиля равен сумме моментов инерции собственных и переносных каждой составляющей, на которую разбит составной профиль.

Смысл момента сопротивления, как геометрической характеристики, будет дан в дальнейшем в разделах 4 и 5.

 

Практическая работа №3

Определить моменты инерции относительно осей Х и Y для плоского поперечного сечения показанного на рис. 2. Данные своего варианта взять из табл. 3.1.

 

Схема I Схема II Схема III

 

Схема IV Схема V

 

Рисунок 3.2 – Схемы плоских поперечных сечений

 

 

Таблица 3.1 - Исходные данные для выполнения практической работы № 3

Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
Н, см
В, см
d, см
Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
Н, см
В, см
d, см

Продолжение таблицы 3.1

Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
Н, см
В, см
d, см

 

Пример выполнения практической работы №3.

Дано: Н= 10 см, В= 8 см, d= 1 см.

 

Расчетная схема приведена на рис. 3.3 (при вычерчивании схемы сечения необходимо соблюдать масштаб между отдельными элементами).

Рисунок 3.3 – Расчетная схема сечения

 

Решение.

1. Заданное составное сечение разбиваем на минимально возможное необходимое число простых составляющих, площади, положения центров тяжести и собственные моменты инерции которых известны или могут быть подсчитаны по известным формулам. При этом пользуемся следующими справочными данными табл. 3.2.

В нашем случае составное сечение разбивается на пять простых составляющих: два горизонтальных прямоугольника I и II, один вертикальный III, и два круглых отверстия IV и V.

 

Таблица 3.2 – Значения геометрических характеристик фигур - прямоугольник и круг

Сечение	Положение центра тяжести	Площадь А	Собственный момент инерции
Jx	Jy
Прямоугольник со сторонами: Высота – h; Ширина - b	Пересечение диагоналей
Круг диаметром d	Центр круга

 

2. Используем формулу (3.4) и в общем виде записываем выражения для моментов инерции заданного составного сечения

 

, (3.5)

 

 

где J_x, - собственные моменты инерции отдельных составляющих относительно оси, параллельной Х, см⁴;

J_y - собственные моменты инерции отдельных составляющих относительно оси, параллельной Y, см⁴;

А – площади отдельных составляющих, см²;

a - расстояния от центров тяжести отдельных составляющих до оси Х, см;

b - расстояния от центров тяжести отдельных составляющих до оси Y, см.

 

3. Производим необходимые вычисления, результаты которых заносим в таблицу 3.3.

 

Таблица 3.3 – Результаты вычислений геометрических характеристик сечения

№ составляющего элемента	А, см2	Jx, см4	Jy, см4	b, см	a, см
I		2,33	64,7
II		2,33	64,7		- 4
III	16,8		9,2
IV	- 0,8	0,05	0,05
V	- 0,8	0,05	0,05		- 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольные вопросы к разделу №3

1. Что называется геометрическими характеристиками плоских сечений?

2. Что называется статическим моментом плоского сечения?

3. Как определяется положение центра тяжести плоской фигуры?

4. Что называется моментом инерции плоского сечения?

5. Как вычисляется момент инерции сложного составного сечения?

Раздел 4. Кручение

Кручение представляет такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент М_кр. Прямой брус круглого или кольцевого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом. Кручение происходит под действием уравновешенной системы внешних моментов, действующих в плоскости, перпендикулярной оси вала. На основании метода сечений крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к валу по одну сторону от этого сечения. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен по часовой стрелке. Характер изменения крутящих моментов по длине вала графически показывается с помощью эпюры крутящих моментов, каждая ордината которой в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том сечении вала, которому соответствует эта ордината.

В поперечных сечениях вала при кручении действуют только касательные напряжения τ, которые вычисляются по формуле:

 

, (4.1)

 

где М_кр – крутящий момент в сечении, значение которого берется с эпюры крутящих моментов, кН см;

J_р – полярный момент инерции, известная из раздела 3 геометрическая характеристика сечения, см⁴.

Для сплошного круглого сечения

 

, (4.2)

 

Для кольцевого сечения

 

, (4.3)

 

где d_н – наружный диаметр кольцевого сечения, см;

d_вн – внутренний диаметр кольцевого сечения, см;

α= - отношение внутреннего диаметра кольцевого сечения к наружному;

ρ - текущий радиус точек сечения, см.

Из формулы (4.1) следует, что при ρ=0 имеем τ=0, а при ρ= ρ_мах =½d получим максимальное значение касательных напряжений.

 

 

, (4.4)

где - называется полярным моментом сопротивления W_р, см³;

Для сплошного круглого сечения

 

 

, (4.5)

 

Для кольцевого сечения

 

W_p ≈ 0,2 • d_н³ • (1-α⁴), (4.6)

 

Поскольку наибольшие касательные напряжения действуют на поверхности вала и, уменьшаясь к центру, принимают в нем нулевое значение, то для облегчения вала необходимо материал из центра, где он загружен незначительно, частично перенести к поверхности, что и достигается при изготовлении валов трубчатыми (например карданные валы автомобилей, тракторов и т.д.). При равной прочности вал кольцевого сечения существенно легче вала сплошного сечения.

Условие прочности при кручении имеет вид:

 

 

, (4.7)

 

 

где [τ] – допускаемое напряжение материала вала при кручении, кН/см².

При отсутствии табличных данных условно принимается

 

 

[τ] = (0,5…0,6) [σ], (4.8)

 

 

[σ] – допускаемое напряжение материала при растяжении, кН/см².

При кручении поперечные сечения вала поворачиваются на некоторый угол по отношению друг к другу. Угол поворота (закручивания) сечений определяется по формуле:

 

, (4.9)

 

где М_кр – крутящий момент на данном участке вала, в пределах которого он постоянен (берется из эпюры крутящих моментов) кН см;

l – длина участка вала, см;

G - модуль сдвига материала, для стали G =0,8•10⁴ кН/см² (0,8•10⁵ МПа);

J_р – полярный момент инерции, определяемый по формулам (4.2) и (4.3), см⁴.

Формула (4.9) позволяет выполнить расчеты валов на жесткость.

 

Практическая работа №4

Для стального круглого вала построить эпюры крутящего момента и углов закручивания, подобрать из условия прочности диаметры валов сплошного и кольцевого сечений и определить на сколько кольцевой вал легче сплошного. Схема вала приведена на рис. 4.1. Данные своего варианта взять из табл. 4.1.

Рисунок 4.1 – Расчетная схема вала

 

 

Таблица 4.1 - Исходные данные для выполнения практической работы № 4

Исходные данные	Варианты
М1, кНм			-8		-7	-11				-16
М2, кНм	-6		-4	-8	-2		-15		-8
М3, кНм	-2	-16						-14	-7
М4, кНм		-10		-5			-5	-4
l 1, см
l 2, см
l 3, см
l 4, см
[τ], кН/см2
α	0,9	0,5	0,8	0,4	0,7	0,9	0,5	0,8	0,4	0,7

Продолжение таблицы 4.1

Исходные данные	Варианты
М1, кНм			-15		-5		-6	-2
М2, кНм		-6		-6	-8	-5				-16
М3, кНм	-14	-7		-9			-5		-5	-4
М4, кНм	-52		-4		-4	-3		-16	-10
l 1, см
l 2, см
l 3, см
l 4, см
[τ], кН/см2
α	0,9	0,5	0,8	0,4	0,7	0,7	0,4	0,8	0,5	0,9
Исходные данные	Варианты
М1, кНм		-16	-10	-8	-4				-8
М2, кНм						-16		-14		-5
М3, кНм	-10			-5			-4		-9	-8
М4, кНм	-12	-9	-5		-18	-4	-16	-7
l 1, см
l 2, см
l 3, см
l 4, см
[τ], кН/см2
α	0,7	0,4	0,8	0,5	0,9	0,7	0,4	0,8	0,5	0,9

 

 

Пример выполнения работы №4.

Дано: М₁ = 12 кНм; l ₁ = 15 см;

М₂ = -14 кНм; l ₂ = 26 см;

М₃ = 5 кНм; l ₃ = 8 см;

М₄ = -16 кНм; l ₄ = 12 см;

[τ] = 25 кН/см², α = 0,8.

Решение.

1. Изображаем расчетную схему вала, соблюдая условный масштаб между величинами длин участков. Направление крутящих моментов, указываем в соответствии с их знаками по исходным данным. Под расчетной схемой вала оставляем место для эпюр крутящих моментов и углов закручивания (рис. 4.2).

 

Рисунок 4.2 – Расчетная схема вала и эпюры крутящих моментов и углов закручивания

 

2.Определение внутреннего крутящего момента и последующее построение его эпюры производим со стороны правого свободного конца вала. Используя метод сечений, имеем:

 

- участок I М_кр=М₁=12 кНм;

 

- участок II М_кр=М₁-М₂ =12 -14 = -2 кНм;

 

- участок III М_кр=М₁ -М₂ +М₃ =12 -14+5 = 3 кНм;

 

- участок IV М_кр=М₁ -М₂ +М₃-М₄ =12 -14+5-16= -13 кНм;

 

Построение эпюр М_кр принципиально не отличается от построения эпюр при растяжении-сжатии (практическая работа №1).

По эпюре определяем М_{кр мах} = 13 кНм=1300 кНсм. Эта величина берется по модулю, т.к. знак при определении диаметра вала значения не имеет.

3. Вычисляем диаметры валов сплошного и кольцевого сечении, используя формулы (4.5), (4.6), (4.7).

Для сплошного сечения , откуда

 

 

для кольцевого сечения , откуда

 

 

d_вн= d_н • α = 76 • 0,8 = 61 мм

 

4. Определяем на сколько вал кольцевого сечения легче вала сплошного сечения, т.е. сравниваем их массу. Поскольку сравниваемые валы имеют одинаковую длину и изготовлены из одного материала, то их массы будут пропорциональны только площадям их поперечных сечений А (см²), которые определяются по следующим формулам:

для сплошного сечения

 

, (4.10)

 

для кольцевого сечения

 

, (4.11)

 

Вычисления удобнее производить в «см». Используя формулы (4.10) и (4.11) имеем:

 

Ас=0,785•d² = 0,785• 40,96=32,2 см²

 

Ак=0,785•d² •(1-α²) = 0,785• 58• 0,36 = 16,4 см²

 

 

При равной прочности кольцевой вал почти в два раза, в нашем случае, легче вала сплошного сечения.

5. Строим эпюру углов закручивания вала, предварительно вычисляя соответствующие значения в сечениях, используя формулу (4.9), которая дает значения углов в радианах. Чтобы выразить их в градусах формула (4.9) примет вид:

, (4.12)

 

Вычисление углов закручивания начинаем с заделки (участок IV), где угол закручивания равен нулю.

Полярный момент инерции для вала сплошного сечения определяем по формуле (4.2)

J_р = 0,1•d⁴ = 0,1•1680 = 168 см⁴.

Модуль сдвига для стали, как указывалось выше, G=0,8•10⁴ кН/см².

 

Угол поворота (закручивания) сечения IV относительно заделки

 

 

Соответственно сечения III относительно заделки

 

 

сечения II относительно заделки

 

сечения I относительно заделки

 

 

Полученные значения углов закручивания откладываем в условном масштабе как ординаты эпюры и соединяем их прямыми линиями.

Контрольные вопросы к разделу 4

1. Что называется кручением?

2. Какое правило знаков принято для крутящего момента?

3. Какие напряжения действуют в поперечных сечениях вала и как они вычисляются?

4. Как изменяются напряжения в различных точках поперечного сечения вала?

5. Какое сечение вала предпочтительнее и почему?

6. Какие деформации испытывают поперечные сечения вала и как они определяются?

7. Как записывается условие прочности при кручении вала?

8. Как определяется угол закручивания вала при кручении?

Раздел 5. Плоский изгиб

Изгиб представляет такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса, в общем случае, возникает два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. В частном случае, если возникает только изгибающий момент М, то такой вид нагружения называют чистым изгибом. При изгибе происходит искривление оси прямого бруса. Брусья, работающие на изгиб, называются балками. Если плоскость действия изгибающего момента совпадает с плоскостью симметрии поперечного сечения балки, то изгиб носит название плоского. На расчетной схеме балку принято заменять её осью, а внешние нагрузки приводятся к этой оси, т.е. плоскость действия нагрузки совпадает с плоскостью чертежа. Внешняя нагрузка, действующая на балку, может быть трех видов:

- сосредоточенная сила F кН (рис. 5.1а)

- равномерно распределенная нагрузка q кН/м (рис. 5.1б)

- сосредоточенный момент М кНм (рис. 5.1в)

а) б) в)

 

Рисунок 5.1 – Схемы внешних нагрузок, действующих на балку

 

При построении эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента М, которые наглядно показывают законы их изменения по оси балки, руководствуются определенными зависимостями и правилами.

Исходя из метода сечений, поперечная сила Q в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме значений внешних поперечных сил, приложенных к балке по одну сторону от данного сечения. При этом внешние силы, приложенные вверх слева от сечения и, соответственно, вниз справа от сечения, считаются положительными. В противоположном случае — отрицательными (рис. 5.2).

 

 

Рисунок 5.2 – Правило знаков для поперечной силы

 

Изгибающий момент М в рассматриваемом сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно точки, лежащей в данном сечении. Моменты, изгибающие балку выпуклостью вниз, считаются положительными, а выпуклостью вверх — отрицательными (рис 5.3).

 

 

Рисунок 5.3 – Правило знаков для изгибающего момента.

 

Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и распределенной нагрузкой q существуют дифференциальные зависимости:

 

, (5.1)

 

, (5.2)

 

известные как теорема Журавского: Производная от изгибающего момента М по длине балки равна поперечной силе Q, производная от поперечной силы Q по длине балки равна распределенной нагрузке q.

Используя непосредственно аппарат математического анализа, данные дифференциальные зависимости (5.1) и (5.2) позволяют установить следующее:

- на участках, где Q имеет положительное значение, М возрастает, и наоборот;

- в сечении, где Q равна или проходит через ноль, М имеет экстремальное значение, что позволяет определить опасное, т.е. наиболее нагруженное сечение балки;

- на участках, где отсутствует распределенная нагрузка q, эпюра Q очерчена прямой, параллельной оси эпюры, а эпюра М — наклонной прямой;

- на участках, где действует распределенная нагрузка q, эпюра Q очерчена наклонной прямой, а эпюра М — кривой (квадратной параболой), выпуклостью, направленной навстречу распределенной нагрузке;

- в сечении балки, где приложена сосредоточенная внешняя сила F, на эпюре Q должен быть "скачок" по величине и направлению равный этой силе, а эпюра М имеет излом, т.е. резкое изменение угла наклона;

- в сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М, на эпюре М должен быть "скачок", величина которого равна этому моменту.

Построение эпюр Q и М начинается с определения опорных реакций балки, для чего используется уравнения равновесия статики, известные из курса "Теоретической механики".

После построения эпюр определяются опасные сечения балки, где действуют наибольшие значения Q и М.

Для определения нормальных напряжений σ в произвольной точке поперечного сечения изгибаемого элемента используется формула:

 

, (5.3)

где J – момент инерции поперечного сечения балки (рис. 5.4), см⁴, (раздел 3)

 

для круглого сечения ;

 

для квадратного сечения .

 

Рисунок 5.4 – Значения моментов инерции поперечных сечений

балки

 

М – изгибающий момент, действующий в сечении балки (его значение берется с эпюры М), кНсм;

у – расстояние от нейтральной оси (оси, проходящей через центр тяжести сечения) до рассматриваемой точки, см.

Из формулы (5.3) видно, что в области нейтральной оси нормальные напряжения σ отсутствуют, затем увеличиваясь по линейному закону, достигают своего максимального значения в крайних волокнах поперечного сечения балки.

Максимальные значения напряжений, при этом, вычисляются по формуле:

 

, (5.4)

 

Величина, равная , называется моментом сопротивления, и является самостоятельной геометрической характеристикой сечения, которая характеризует прочность балки при изгибе, см³.

 

, (5.5)

Для круглого сечения , откуда

 

, (5.6)

 

для квадратного сечения , откуда

 

, (5.7)

 

Для стандартных профилей, в частности двутавров по ГОСТ 8339-89 (Приложение А), момент сопротивления W, как и все остальные геометрические параметры, является величиной справочной и приводится в табличном виде джля соответствующего номера двутавра.

В практических расчетах касательными напряжениями от перерезывающей силы Q, составляющими по номинальной величине порядка 3-5% нормальных напряжений изгиба, часто пренебрегают и выполняют расчет балок на основании условий прочности в следующем виде:

 

 

, (5.8)

 

 

где σ_мах – наибольшие расчетные напряжения, кН/см²;

М_мах – наибольший изгибающий момент, действующий в наиболее нагруженном сечении балки, берется с эпюры, кНсм;

W – момент сопротивления сечения, см³;

[σ] – допускаемое напряжение для материала балки, кН/см².

 

На основании выражения (5.8) формулы проектного расчета имеют вид:

для круглого сечения

 

, (5.9)

 

для квадратного сечения

 

, (5.10)

 

Схема I

Схема II

Схема III

Схема IV

Схема V

Рисунок 5.5 – Конструктивные схемы балок

 

 

Практическая работа №5

Для двухопорной шарнирной балки построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М, и из условия прочности подобрать размеры круглого, квадратного и двутаврового сечения балки. Номер двутавра, обеспечивающего прочность балки, принимается из условия, чтобы его момент сопротивления являлся ближайшим большим числом по отношению к расчетному моменту сопротивления, определенному из условия прочности (5.8).

 

(5.11)

 

Сравнить весовые показатели всех трех профилей балки. Материал балок – сталь с [σ ]=15кН/см²

 

Конструктивные схемы балок приведены на рис. 5.5. Данные своего варианта взять из табл. 5.1

 

Таблица 5.1 - Исходные данные для выполнения практической работы № 5

Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
F, кН
q, кН/м
М, кНм
l, м	2,0	1,8	1,6	1,4	1,2	1,0	0,8	0,6	2,0	1,8
Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
F, кН
q, кН/м
М, кНм
l, м	1,6	1,4	1,2	1,0	0,8	2,0	1,8	1,6	1,4	1,2
Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	V	I	II	III	IV	V
F, кН
q, кН/м
М, кНм
l, м	1,0	0,8	0,6	2,0	1,8	1,6	1,4	1,2	1,0	0,8

 

Пример выполнения работы №5.

Дано: F=30 кН; q = 5 кН/м; М=20 кНм; [σ]= 15 кН/см²

Решение 1. Изображаем расчетную схему балки в соответствии со своим вариантом (рис. 5.6). Под расчетной схемой оставляем место для эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

2. Определяем опорные реакции балки, которые изображаем на расчетной схеме V_А и V_В. Опорные реакции находят из уравнений равновесия статики, исходя из того, что неизвестные опорные реакции совместно с заданной внешней нагрузкой образуют уравновешенную систему сил.

Условия равновесия балки записываем в виде: сумма моментов всех сил относительно опор А и В равна нулю. В качестве проверки правильности решения используем третье условие: сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю.

Первое уравнение равновесия — сумма моментов всех сил относительно опоры В:

 

ΣМ _{i В} = -V_А•9+q•3•7,5-20+30•3=0

Откуда

 

 

 

 

Второе уравнение равновесия — сумма моментов всех сил относительно опоры А:

 

ΣМ _{i А} = V_В•9-30•6-20-5•3•1,5=0

 

Откуда

Проверка:

Σ _i F = V_А+V_В - q•