Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-09-28 | 460 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
На отрезке
Пусть функция непрерывна на отрезке . Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при или . Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.
Наибольшее значение функции на называется абсолютным максимумом, а наименьшее – абсолютным минимумом.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на :
1) найти критические точки функции на интервале ;
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках и ;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 5.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим критические точки данной функции:
;
при и при . Находим:
; ; ; .
Итак, в точке , в точке .
,
Если промежуток открытый, функция принимает наибольшее и наименьшее значения только в точках экстремума.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между a и b находится только одна критическая точка (промежуток может быть и открытым, и бесконечным). Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то в этой точке будет и наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке.
Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольшего и наименьшего значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики – линейное программирование.
|
Задачи на нахождение максимума или минимума – наибольшего или наименьшего значений – называются экстремальными задачами, которые можно записать в виде формулы:
, .
Пример 5.3. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?
Решение. Обозначим через x и y высоту и диаметр цилиндра.
Находим наибольшее значение функции на промежутке .
Так как , то при . Кроме того, . Поэтому – точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный ) при ; диаметр основания цилиндра равен
.
Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную , и диаметр, равный .
,
Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точки перегиба
Определение 5.2. График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой своей касательной, т.е. , и вогнутым, если он расположен выше касательной, т.е. .
Определение 5.3. Точки график, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называются точками перегиба графика.
Интервалы выпуклости и вогнутости находятся с помощью следующей теоремы, которую примем без доказательства.
Теорема 5.5. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на , т.е. существует . Тогда если на , то на этом промежутке график вогнутый, если , то график выпуклый.
Сформулируем необходимое и достаточное условие точки перегиба в виде теорем, которые примем без доказательства.
Теорема 5.6 (необходимое условие точки перегиба). Пусть дана функция , дважды дифференцируемая на X. Если в точке график этой функции имеет перегиб и существует конечная вторая производная , то .
|
Теорема 5.7 (достаточное условие точки перегиба). Если функция дважды непрерывно дифференцируема на X и при переходе через точку производная меняет знак, то точка является точкой перегиба функции .
Пример 5.4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба, графика функции:
.
Решение. Функция определена на . Находим:
;
.
Из условия имеем: . Критической точкой будет . Исследуем знак второй производной вблизи этой точки.
При , а при . Следовательно, на интервал график выпуклый, на – вогнутый, а в точке имеет перегиб.
,
Асимптоты графика функции
Определение 5.5. Прямая L называется асимптотой кривой, заданной уравнением , если расстояние между точками кривой и прямой стремится к нулю с удалением точки на кривой от начала координат.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Вертикальная асимптота
Прямая является вертикальной асимптотой, если точка – есть точка разрыва второго рода функции , т.е. если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!