Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-09-28 | 289 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть – уравнение движения точки и – путь, пройденный точкой до фиксированного момента , а – путь, пройденный точкой до момента . Найдем путь, пройденный точкой за время :
.
Средней скоростью прямолинейного движения за время называется отношение пройденного пути к затраченному времени:
.
Если существует предел при , он называется мгновенной скоростью в момент :
.
К нахождению пределов вида, в рассмотренных выше задачах, приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:
· если – количества электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время , то сила тока в момент времени равна:
;
· если – количества вещества, вступающего в химическую реакцию за время , то скорость химической реакции в момент времени равна:
;
· если – масса неоднородного стержня между точками и , то линейная плотность стержня в точке x 0 есть:
;
Все рассмотренные выше пределы имеют одинаковую математическую структуру и являются математическими моделями, которые характеризуют скорость изменения определенного процесса (зависимой величины) для каждого значения независимой величины: скорость изменения ординаты кривой (касательная кривой), скорость изменения пути от времени, скорость изменения заряда от времени и т.д.
С математической точки зрения все эти пределы одинаковы и отличаются только обозначениями. В математике зависимую и независимую величины принято обозначать y и x. Тогда возникает вопрос: как обозначить скорость изменения зависимой в определенном процессе величины (т.е. функции), в зависимости от аргумента.
В математике приняты следующие обозначения:
- ввел Лейбниц; - ввел Ньютон; - ввел Лагранж.
|
Таким образом, предел отношения приращения функции к приращению аргумента называют производной функции. Обозначается , читается « штрих по ».
Производная функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , где .
Чтобы найти производную функции в точке , необходимо проделать следующие операции:
Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают: .
Определение 3.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.
(3.1)
или
. (3.2)
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках множества X, называется дифференцируемой на этом множестве.
Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: .
Пример 3.1. Найти значение производной функции в точке , используя определение производной функции:
1) , ; 3) , ;
2) , ; 4) , .
Решение. 1) I способ: используем формулу 1.2:
.
II способ: используем формулу 1.1:
.
Таким образом,
.
Находим значение производной функции в точке :
.
2) Воспользуемся формулой 3.1:
.
Таким образом,
.
Находим значение производной функции в точке :
.
3) Воспользуемся формулой 3.1:
Таким образом,
.
Находим значение производной функции в точке : .
4) Воспользуемся формулой 3.1:
.
Таким образом,
.
Находим значение производной функции в точке : .
,
Выше была рассмотрена задача про касательную к кривой, в которой был найден угловой коэффициент касательной:
.
Это дает возможность сформулировать геометрический смысл производной функции в точке: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна :
|
.
Механический смысл: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент время есть производная от пути по времени :
.
Физический смысл: если функция описывает какой-либо процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.
3.3.Связь между непрерывностью и
Дифференцируемостью функции
Определяя понятие производной функции в точке , мы предполагали лишь существование функции в точке и в некоторой достаточно малой ее окрестности, и существование предела . Теперь свяжем дифференцируемость функции в точке с непрерывностью этой функции.
Теорема 3.1. Если функция определена на X и в точке имеет конечную производную , то непрерывна в точке .
Из теоремы 3.1. следует, что в точках разрыва функции производная не существует.
Неверно утверждение, обратное к теореме 3.1.: из непрерывности функции в точке не следует существование производной в этой точке.
Например, функция в точке непрерывна, но производная не существует, т.к.
.
Это значит, график функции не имеет касательной в точке .
Хотя для функции не существует, но существуют односторонние пределы: и . В этом случае говорят, что функция имеет односторонние производные.
Односторонними производными (производными слева и справа) называют и , если они существуют. Обозначаются соответственно: и .
Если , то производная в точке не существует.
Надо заметить, что производная непрерывной функции сама не обязательно является непрерывной.
Например, функция определена для , т.е. . По определению 3.1. . В точке производная функции равна , хотя сама функция в точке непрерывна.
Если , то производная называется бесконечной.
Если функция имеет непрерывную производную в некотором интервале , то функция называется гладкой.
3.4.Основные правила дифференцирования.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!