Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-10-01 | 233 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 5.2.15. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, принимающей свои значения из отрезка [ a; b ], называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна и равна нулю вне его, причем
|
Пример 5.2.20. На отрезке [ a; b ] наугад указывают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?
○Пусть Х – случайная величина, равная координате выбранной точки. Х распределена равномерно (в этом и состоит точный смысл слов «наугад указывают точку»), а так как середина отрезка [ a; b ] имеет координату
|
то искомая вероятность равна, по формуле (5.2.19):
.●
Теорема 5.2.5. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, имеет вид
|
ее математическое ожидание
|
а дисперсия
|
Кривая распределения f (x) и график функции распределения F(x) случайной величины Х приведены на рис. 5.10 а, б.
Рис. 5.10.
5.2.4.5. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
Нормальный закон распределения наиболее часто используют на практике. Это связано как с его относительной простотой, так и с тем, что многие случайные величины, формирование значений которых определяется большим количеством неконтролируемых факторов, каждый из которых вносит относительно небольшой вклад, имеют распределение, близкое к нормальному, например, рост человека, данные измерений, дальность полета снаряда и т.п..
Определение 5.2.16. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и s, если ее плотность вероятности имеет вид:
|
Теорема 5.2.6. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, т.е.
|
|
|
D(X)= s2.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. На рис. 5.11 приведен график функции (5.2.40). Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точке х = а, равный . Значение ординаты максимума функции (5.2.40) убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси О х) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси О у), что отражено на рис. 5.12. Изменение значений параметра а (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой. Таким образом, параметр а (он же математическое ожидание) характеризует положение центра, а параметр s2 (он же дисперсия) – форму нормальной кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а =0, s2 =1 называется нормированным, а соответствующая нормальная кривая – нормированной. Плотность вероятности в случае такого распределения имеет вид:
– функция Гаусса.
Для этой функции составлена таблица (см. приложение 1) ее значений для положительных значений х (функция f (x) четная, т.е. f (x)= f (– x)).
Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), согласно формуле (5.2.19)
.
Произведем в этом интеграле замену переменной, полагая .
x | a | b |
t |
Тогда: х = а + st, dx = sdt, и
|
Однако интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления этого интеграла вводится функция Лапласа [2]
|
Для этой функции составлена таблица (см. приложение 2) ее значений для положительных значений х, так как Ф(0)=0 и функция Ф(х) нечетная.
Тогда
|
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т.е. найти Р(|Х– а |< d). Это можно сделать по формуле
|
|
Пример 5.2.21. Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а =20 и s =10. Найти Р(|Х–20|<3).
○ Используя формулу (5.2.46.), получим:
.
По таблице приложения 2 находим: Ф(0,3)=0,1179.
Поэтому Р(|Х–20|<3)=2×0,1179=0,2358.●
[1] В литературе встречаются также термины: децили (под которыми понимаются квантили x 0,1, x 0,2, …, x 0,9) и процентили (квантили x 0,01, x 0,02, …, x 0,09)
[2] Пьер Лаплас (1749-1827) – французский математик и астроном.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!