Наличие разрывов (ударных волн) приводит к диссипации энергии. Поэтому возникновение разрывов приводит к сильному затуханию волны.

в). При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая часть профиля волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его высота все более уменьшается. Происходит сглаживание, профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны.

Из сказанного выше ясно, что образование разрывов в конце концов должно произойти, во всякой простой волне, в которой имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны.

Хотя после образования разрыва волна и перестает быть простой, но самые момент и место образования разрыва могут быть определены аналитически.

С математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины , р, v как функции х (при заданном t} становятся многозначными для моментов времени, превышающих некоторое определенное значение (t_о, между тем как при t < to эти функции однозначны. Момент (t_о есть момент образования разрыва. Уже из чисто геометрических соображений ясно, что в самый момент t_о кривая зависимости, скажем, v от x,. должна сделаться в некоторой точке х=хо вертикальной — как раз в той точке, вблизи которой функция стала бы затем многозначной. Аналитически это означает обращение производной;, (дv/дх)_t в бесконечность, т. е. производной (дх/дv)_t в нуль. Ясно также, что в момент to кривая v=v{x) должна лежать по обе стороны от вертикальной касательной, в противном случае зависимость v (х) была бы многозначной уже и в этот момент времени. Другими словами, точка х=хо должна быть не точкой экстремума функции x{v), а точкой перегиба, и следовательно, должна обратиться в нуль также и вторая производная. Таким образом, место и момент образования ударной волны определяются совместным решением двух уравнений:

Для политропного газа эти уравнения гласят:

, где f {v)~ функция, входящая в общее решение

Если простая волна граничит с неподвижным газом, и ударная волна возникает как раз на этой границе.

Задача

Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны (х > 0) и закрытой поршнем с другой (х = 0. В момент времени t = О поршень начинает двигаться равноускоренно со скоростью U = ± t. Определить возникающее движение газа (считая газ политропным).

Решение.

Если поршень выдвигается из трубы (U ==— t), то возникает простая волна разрежения, передний фронт которой распространяется вправо по неподвижному газу со скоростью а_о; в области х > а _оt, газ неподвижен. На поверхности поршня скорость газа должна совпадать со скоростью поршня, т. е. должно быть v == — t при х = — t²/2, t > 0. Это условие дает для функции f(v) в (4)

(1.1.)

 

Этa формула определяет изменение скорости в области от поршня до переднего фронта волны х = а₀t (.рис. 4.12 а) в течение времени от t= 0 до

Скорость газа направлена везде влево, в сторону движения поршня, и монотонно убывает по абсолютной величине в положительном направлении оси х; в этом же направлении монотонно возрастают плотность и давление. При для скорости поршня не выполняется нера­венство , а потому газ не может двигаться вместе с ним. Между поршнем и газом возникнет область вакуума, а дальше скорость газа будет меняться по формуле (1.1) от значения —2 a _о/( — 1) до нуля.

Рис. 1‑12 Изменение скорости

2. Если поршень вдвигается в трубу (U=аt), то возникает простая волна сжатия; соответствующее решение получается просто изменением знака у а в формуле (1.1) (Рис. 4.12,6). Оно применимо, однако, лишь до момента образования ударной волны; этот момент определяется по формуле (4) и равен

Задача2. В цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой находится идеальный газ с P=P_0,

_.

В момент t=0 поршень выдвигается из трубы со скоростью u(t), причем

Возникающее движение газа считать адиабатическим, массовыми силами пренебречь.

 

а) написать ур-я для определения v,P в характеристической форме.

б) найти скорость границы Г

в) найти распределение скорости и давления в трубе

г) найти максимальную скорость поршня, при которой он не отрывается от газа

д) пусть поршень сразу начал двигаться со скоростью u₁=const

Решение

а) вдоль характеристик

вдоль характеристик

где - характеристики с уравнениями

граничное условие: при

Х(t) – координата поршня

б) Предполагая решение непрерывным, применим метод характеристик.

Используя соотношения для характеристик, проходящих через точки оси х (х , t=0), получим, что v = 0, а = а_о, р = р _о всюду в области a_,ot. Следовательно, граница Г возмущенной области перемещается со скоростью а._о и совпадает с характеристикой L⁺₀.

На всех характеристиках L^-, начинающихся в точках t = 0, х 0 и пересекающих L⁺_0, имеет место равенство:

- всюду в области, примыкающей к L⁺₀., поэтому на L⁺ ' величины v и а — постоянны, L⁺ — прямые. Это волна Римана.

в) Считая, что область волны Римана простирается до поршня, и используя граничное условие v = и на поршне, имеем:

 

 

		x

 

На L^-

На L⁺

 

Если поршень выдвигается из трубы, то граничное условие на поверхности поршня:

 

(1.1.)

При адиабатическом процессе в политропном газе

;

 

г) Так как a 0, то всюду, в том числе на поршне, должно быть , следовательно, полученное решение применимо при (u= 5а _о при = 1,4). При давление на поршне равно 0. Если , то поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется вакуум, скорость газа на границе с вакуумом равна по величине (скорость нестационарного истечения в вакуум). Она вычисляется из условия р = 0 на границе с вакуумом.

 

 

Рис. 1‑13 Картина характеристик при различных скоростях поршня.

д) Устремим t₁ к нулю. Картина характеристик на плоскости (х, t) будет иметь вид, показанный на рис. 4-13. В области

все характеристики проходят через начало координат, их уравнения

,

Граница определится из одного из условий

пока

при

 

 

Заключение

В настоящем пособии описаны математические модели и численные методы, используемые в учебных версиях ППП FlowVision и GasDynamics ToolПредложены рекомендации студентам по решению классических задач, связанных с изучением газо- и гидродинамических явлений.

Описанные рекомендации и задания обладают достаточной универсальностью, чтобы применяться к широкому кругу учебных дисциплин многих ВУЗов — от фундаментальной гидродинамики, в которых основной упор делается на теоремы, до чисто прикладных — гидравлики и газодинамики, где рассматриваются готовые решения задач и эмпирические правила расчетов практически значимых величин.

Пособие позволяет в более короткие сроки освоить программные пакеты и использовать их не только в образовательных целях, но и для выполнения научно-исследовательских работ.

В целом, основываясь на опыте внедрения методики в МФТИ, мы надеемся на ее полезности и в других ВУЗах. Как показал опыт, методика полезна не только для будущих специалистов в области МЖГ, но и для других естественнонаучных специальностей.

В будущем предлагается дополнить разработанные методические материалы для ее использования в вузах соответствующего профиля с учетом особенностей последних. Просьба присылать отзывы, предложения, замечания в адрес редакции, они будут непременно учтены в последующих изданиях.

Список литературы

1. Л. Прандтль. Гидроаэромеханика. Москва–Ижевск: R&C Dynamics, 2000. — 576 с. (стр.228)

2. Л.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 840 с. (с. 494)

3. Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов. Механика сплошных сред. Часть1. Основы и классические модели жидкостей. М.: Наука. Физматлит, 2000. —256 с. (с. 187)

4. Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц. Гидродинамика. Т.6. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 736 с. (стр.89).

5. Л. М. Бреховских, В.В. Гончаров. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. — 335 с. (с. 167).

6. Н. Е. Кочин, И.А. Кибель и Н.В. Розе. Теоретическая гидромеханика. Часть первая. Издание третье. М. и Л.: ОГИЗ Гос.издат.технико-технической литературы, 1948—612 с. (с. 270)

7. Н. Е. Кочин, И.А. Кибель и Н.В. Розе. Теоретическая гидромеханика.Часть вторая. Издание третье. М. и Л.: ОГИЗ Гос.издат.технико-технической литературы, 1948. —612 с. (с. 541)

8. М. Ван-Дайк. Альбом течений жидкости и газа. М.:Мир 1986. — 181 с. (с. 30)

9. С. В. Валландер Лекции по гидроаэромеханике. Л.:Издат. Ленинградского университета 1978. — 295 с. (с. 158)