Проверка соответствия выбранной модели закона распределения исходным данным

Под оценкой закона распределения понимают выбор модели закона распределения генеральной совокупности, которая не противоречит выборочным данным.

Эта задача решается с использованием критериев согласия, позволяющих с определенным уровнем значимости проверить гипотезу о том, что имеющиеся данные принадлежат генеральной совокупности с предполагаемым (теоретическим) законом распределения.

Наиболее часто приходится проверять предположение о нормальном распределении генеральной совокупности, поскольку большинство стандартных статистических методов обработки данных ориентировано на выборки из нормального распределения. С этой целью используют критерии согласия и критерии, основанные на свойствах числовых характеристик нормального распределения.

Среди критериев согласия наиболее распространенным считается критерий согласия . Применение этого критерия к выборкам из непрерывной генеральной совокупности требует предварительной группировки выборочных данных и построения гистограммы распределения ­– эмпирического аналога плотности вероятности.

В качестве меры расхождения (несоответствия) между эмпирическим и теоретическим распределением используется статистика

где m – число интервалов группировки выборочных данных; n_k – эмпирическая частота (число значений выборки, попавших в k -й интервал группирования); n – объем выборки; p_k – вероятность нахождения в k -м интервале случайной величины с теоретическим распределением, которая вычисляется по формуле p_k = F (c_{k+ 1}) -F (c_k). Здесь c_k левая граница k -го интервала группирования, F – функция распределения теоретического распределения.

Величина np_k является теоретической частотой (числом значений, которое ожидается в k -ом интервале группирования для данного закона распределения).

При достаточно большом объеме выборки (n > 50) при справедливости предположения о том, что выборка взята из генеральной совокупности с предполагаемым распределением, статистика распределена по закону с числом степеней m- 1 -s, где s – число параметров теоретического распределения, оцененных с использованием гистограммы распределения. Если предполагаемый закон распределения нормальный, то s = 2 и число степеней свободы равно n- 3.

Процедура применения критерия сводится к следующему:

1. Весь диапазон выборочных значений разбивается на ряд интервалов группирования Δ₁, Δ₁, … Δ _m (не обязательно одинаковой длины).

2. На основании выборочных данных находятся оценки неизвестных параметров, от которых зависит теоретический закон распределения. Более корректным способом считается тот, при котором эти оценки вычисляются на основе сгруппированных данных.

3. Исходя из теоретического распределения, вычисляются вероятности p_k нахождения случайной величины в каждом интервале группирования.

4. Рассчитывается значение статистики .

5. Определяется число степеней свободы статистики .

6. Назначается уровень значимости проверяемой гипотезы α.

7. Рассчитанное значение статистики сравнивается с критическим значением, равным α -процентной точке распределения с найденным числом степеней свободы.

Выборочные данные считаются согласующимися с теоретическим законом распределения на уровне значимости α, если рассчитанное значение статистики не превышает критического значения.

Вопросы для самоконтроля

1. Что понимается под резко выделяющимися наблюдениями?

2. Каким образом можно идентифицировать резко выделяющиеся наблюдения?

3. Всегда ли следует удалять из выборки резко выделяющиеся наблюдения?

4. Как построить гистограмму распределения непрерывной случайной величины?

5. Как осуществляется переход к сгруппированным данным?

6. Как построить эмпирическую функцию распределения?

7. Какая статистика используется в критерии согласия χ²?

8. Какая статистика используется в критерии согласия Колмогорова?

9. Можно ли использовать критерии согласия Колмогорова и ω² для дискретных случайных величин?

 

Тема 3. Проверка статистических гипотез относительно двух выборочных совокупностей

В результате изучения данной темы студент должен иметь представление:

- о параметрических и непараметрических статистических гипотезах;

знать:

- принципы проверки гипотез относительно математических ожиданий в случае парных независимых и зависимых выборок из нормальной генеральной совокупности;

- основы проверки гипотез об однородности двух независимых и зависимых выборок непараметрическими критериями;

и уметь использовать:

- методы проверки гипотез относительно значений параметров распределений;

- методы проверки однородности выборочных данных в двух выборках.

 

3.1 Методические рекомендации по изучению данной темы

Сначала ознакомьтесь с основными теоретическими сведениями приведенными выше. Затем тщательно изучите материал, изложенный в главе 4 учебного пособия. Внимательно разберите решения примеров приведенных в главе 4 учебного пособия. Если после изучения учебного пособия вам остались непонятны некоторые вопросы, обратитесь к рекомендуемой литературе. Затем ответьте на вопросы для самоконтроля. Из контрольной работы выполните первое, второе, третье, четвертое и пятое задания своего варианта. При решении заданий из условий задачи определись, с какими выборками вы имеете дело: независимыми или зависимыми, известны вам дисперсии или их необходимо оценить по выборке, различие между оценками дисперсий для двух выборок значимо или нет, известен ли закон распределения данных. Все это поможет правильно выбрать статистический критерий для проверки гипотезы. Также при нахождении критического значения обращайте внимание, какая из условия задачи у вас будет альтернативная гипотеза.