Вычисление сферического избытка

 

f 0.002533 b²sinA sinC 1426.95

b² 2007.04 sinB 0.884 681

sinA 0.769 831 D_I 1612.95

sinC 0.923 542 ε 4.086"

sinA sinC 0.710 971

 

Величину f выбрать из табл. 1 по средней широте B_m. При вычислении сферического избытка ε длины сторон треугольника выражаются в километрах.

- 51 -

 

 

Таблица 1

Таблица величины f

Широта Bm	X, км
	5 096	0,0025 345
	5 319	0,0025 333
	5 541	0,0025 322
	5 763	0,0025 310
	5 986	0,0025 299
	6 209	0,0025 287
	6 431	0,0025 277
	6 654	0,0025 266
	6 877	0,0025 256
	7 100	0,0025 246
66°	7 323	0,0025 237

 

 

Таблица 2

Решение треугольника

Вершина	Измеренные углы сфери-ческого тре-угольника	По-прав-ки в углы - ω /3	Уравненные углы сфери- ческого треуголь- Ника	- ε/3	Углы плоского треугольника	Синусы уг- лов плоско- го треуголь- ника
В	69°12'44,54"	+0,57	69°12'45,11"	-1.36	69°12'43,75"	0,88467988
А	50 20 19,41	+0,57	50 20 19,98	-1.36	50 20 18,62	0,76982866
С	67 26 58,43	+0,57	67 26 59,00	-1.37	67 26 57,63	0,92354082
Σ	180°00'02,38"		180°00'04,09"		180°00'00,00"
ε	04,09
ω	-01,71

ω = Σ - (ε + 180°) - угловая невязка треугольника.

 

Стороны сферического треугольника

D_II 50 636.714 м a 38 981.594 м

B 44 797.282 м c 46 765.073 м

 

- 52 -

Решение сферического треугольника

По способу аддитаментов

В основе способа аддитаментов, предложенного И. Зольднером в 1820 г., лежит теорема синусов (см. рис. 30)

. (120)

 

Ввиду малости величин a/R, b/R, c/R, выражающих стороны сферического треугольника в радианной мере, по сравнению с радиусом Земли R, синусы этих величин можно разложить в ряд.

Ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим

. (121)

 

Идея способа аддитаментов заключается в том, что стороны сферического треугольника a, b, c исправляют поправками, в результате чего получают стороны плоского треугольника a',b', c' и неизвестные стороны сферического треугольника.

При этом, в логарифмическом варианте, аддитаментами называют поправки в логарифмы сторонA_a, A_b, A_c. В случае нелогарифмического решения, как видно из (121), аддитаментами являются величины

(122)

 

где - средний радиус кривизны эллипсоида для

района расположения треугольника.

П р и м е ч а н и е. Значение величины k можно считать постоянной для территории России и равной

(123)

При этой размерности k стороны треугольников должны быть выражены в километрах.

Рассмотрим последовательность решения сферического треугольника по способу аддитаментов.

1. Из исходной стороны b вычитают её аддитамент A_b и получают сторону плоского треугольника b'.

2. По известным углам сферического треугольника и стороне b' решают треугольник как плоский, используя теорему синусов, и находят остальные стороны плоского треугольника a', c'.

3. Полученные значения сторон исправляют их аддитаментами A_a, и A_c и вычисляют искомые стороны a и c сферического треугольника АВС.

 

 

- 53 -

 

Способ аддитаментов применяется как контрольный при решении треугольника по теореме Лежандра.

 

Рабочие формулы

(124)

(125)

 

(126)

 

(127)

Пример 2. Используя данные примера 1, решить треугольник АВС по формулам способа аддитаментов. Полученные результаты сравнить с длинами сторон сферического треугольника, полученными в примере 1.

 

- 54 -

 

Таблица 3

Решение треугольника

(способ аддитаментов)

Вершины	Измеренные углы сфери-ческого тре-угольника	Поправки в углы - ω / 3	Уравненные углы сферичес-кого треугольника	Синусы уравненных углов сферического треугольника	Стороны плоского треуголь-ника, м b' a' c'	As	Стороны сферичес- кого тре- угольника, м
В	69°12'44,54"	+0,57	69°12'45,11"	0,88468295	44 796,914	0.368	44 797,282
А	50 20 19,41	+0,57	50 20 19,98	0,76983287	38 981,350	0.243	38 981,593
С	67 26 58,43	+0,57	67 26 59,00	0,92354337	46 764,654	0.419	46 765,073
Σ	180°00'02,38"		180 00 04,09
ε	4,09
ω	- 1,71

 

 

ω = Σ - (ε + 180°) - угловая невязка треугольника.

 

Задание для студентов