Операторы в евклидовых пространствах

Линейные операторы, действующие в евклидовых пространствах, обладают рядом специальных свойств, которые весьма важны для приложений линейной алгебры в различных предметных областях. Мы остановимся только на основных вопросах этой теории, в частности, будем изучать теорию линейных операторов исключительно в вещественных пространствах с ортонормированными базисами, а именно в пространстве . Причём операторы будем считать преобразованиями, то есть будем изучать операторы .

Сопряжённый оператор. Рассмотрим понятие оператора, сопряжённого к оператору , действующему в евклидовом пространстве .

Определение 9.1. Пусть – некоторый линейный оператор. Оператор называется сопряжённым к оператору , если выполняется условие

. (9.1)

Теорема 9.1. Для любого линейного оператора существует единственный сопряжённый оператор , который также является линейным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть оператор существует, докажем его единственность. Для этого предположим, что этот оператор не единственный, то есть существуют, например, два оператора и , удовлетворяющих определению 9.1. Тогда по формуле (9.1) имеем:

, , (9.2)

откуда получаем

. (9.3)

В силу того, что в определении 9.1 (в формуле (9.1)) вектор произволен, положим в равенстве (9.3)

,

получим

.

Так как скалярное произведение удовлетворяет аксиоме невырожденности, из последнего равенства имеем

,

откуда в силу произвольности вектора следует, что и единственность сопряжённого оператора доказана.

2) Докажем линейность сопряжённого оператора. Используя определение (9.1) и свойства скалярного произведения, получаем:

, и

а) ;

б)

.

Из сравнения формул а) и б) следует линейность сопряжённого оператора , а именно:

.

3) Докажем теперь существование сопряжённого оператора. Зафиксируем в пространстве канонический базис , и запишем векторы и в виде их разложений по каноническому базису:

; . (9.4)

Рассмотрим вычисление левой и правой частей (9.1):

;

.

Сравнивая два последних равенства с учётом (9.1), получаем:

. (9.5)

Итак, если матрица оператора имеет вид

,

то матрица сопряжённого оператора имеет вид

. (9.6)

Из (9.6) следует, что матрица сопряжённого оператора в любом ортонормированном базисе находится путем транспонирования матрицы оператора , что и доказывает существование сопряжённого оператора.

Докажем теорему о свойствах оператора, сопряжённого линейному оператору.

Теорема 9.2. Справедливы следующие свойства сопряжённого оператора : и

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; (9.7)

5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое соотношение. Пусть – произвольный линейный оператор. Для сопряжённого оператора сопряжённым будет оператор . Тогда:

.

Последнее равенство выполняется при любом векторе , то есть,

,

откуда следует доказательство первого свойства.

Докажем второе соотношение. Для этого рассмотрим следующую цепочку преобразований:

.

(9.8)

Из сравнения левой и правой частей равенства (9.8) следует доказательство второго свойства.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Самосопряжённые операторы. В приложениях большое значение имеют самосопряжённые операторы.

Определение 9.2. Линейный оператор называется самосопряжённым, если .

Из определения следует, что для самосопряжённого оператора справедливо соотношение

. (9.9)

Так как матрица сопряжённого оператора равна транспонированной матрице оператора , то у самосопряжённого оператора элементы матрицы удовлетворяют равенству , то есть элементы матрицы самосопряжённого оператора, симметричные относительно главной диагонали, равны. Такая матрица называется симметрической. По этой причине самосопряжённые операторы часто называются симметрическими.

Самосопряжённые операторы обладают рядом свойств, которые нетрудно доказать, используя определение и свойства сопряжённого оператора.

1. Единичный оператор является самосопряжённым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,

.

2. Сумма самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если и , то

.

3. Композиция самосопряжённых операторов является самосопряжённым оператором в том и только в том случае, если эти операторы коммутативны.

Д о к а з а т е л ь с т во. Напомним, что операторы называются коммутативными, если

,

или

,

где – нулевой оператор. Если , , то

,

что равно в том и только в том случае, если операторы коммутативны.

4. Оператор , обратный к невырожденному самосопряжённому оператору также самосопряжённый оператор.

Д о к а з а т е л ь с т во. Действительно, если , то

.

5. Если – самосопряжённый оператор, то произведение этого оператора на некоторое вещественное число является самосопряжённым оператором.

Д о к а з а т е л ь с т во. Из третьего свойства (9.7), имеем:

.

Теорема 9.3. Собственные векторы самосопряжённого оператора , действующего в пространстве , соответствующие попарно различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть : и , причём . Так как оператор самосопряжённый, то . Поэтому в левой и правой частях, соответственно, имеем:

;

.

Откуда в силу получаем: .

Для самосопряжённых операторов справедлива следующая важная теорема.

Теорема 9.4. Все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В общем случае доказательство теоремы достаточно громоздкое. По этой причине приведём доказательство для случая оператора . Итак, пусть дан некоторый линейный оператор с матрицей . Тогда характеристическое уравнение этого оператора имеет вид:

.

Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение:

.

Решение этого уравнения находим по известной формуле:

.

Дискриминант имеет вид:

.

Первое слагаемое, очевидно, всегда положительно, а второе положительно, так как . Поэтому корни характеристического уравнения вещественные и различные.

Теорема 9.5. Пусть – самосопряжённый оператор. Тогда в пространстве можно выбрать ортонормированный базис

так, чтобы матрица оператора в этом базисе была диагональной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 9.4 все корни характеристического многочлена самосопряжённого оператора вещественные и различные, а следовательно, по теореме 9.3 собственные векторы самосопряжённого оператора взаимно ортогональны. Систему собственных векторов, очевидно, можно нормировать. Но тогда эти векторы образуют базис пространства , в котором оператор является оператором простой структуры, то есть имеет диагональную матрицу.

Ортогональные операторы и их свойства, геометрическая интерпретация. Рассмотрим определение и свойства важного класса операторов, действующих в пространстве .

Определение 9.3. Оператор , действующий в пространстве , называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, то есть

. (9.10)

Из определения следует, что ортогональный оператор сохраняет нормы (длины) векторов и углы между ними.

Лемма 9.1. Оператор является ортогональным в том и только в том случае, если .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Тогда

,

откуда имеем: . Полагая , получаем:

.

Пусть . Тогда имеем:

.

Очевидно, что ортогональный оператор невырожден, то есть, его матрица имеет обратную матрицу.

Теорема 9.6 (о свойствах ортогональных операторов). Ортогональные операторы обладают следующими свойствами:

1) единичный оператор является ортогональным;

2) композиция ортогональных операторов также является ортогональным оператором;

3) оператор, обратный ортогональному оператору, также является ортогональным;

4) если – ортогональный оператор, то оператор является ортогональным в том и только в том случае, если .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Доказательство этого свойства почти очевидно:

и

.

2. Пусть и – ортогональные операторы. Тогда:

.

3. Пусть ортогональный оператор. Рассмотрим :

.

4. Пусть – ортогональный оператор. Тогда

и

.

Теорема 9.7 (критерий ортогональности оператора). Оператор , действующий в пространстве , является ортогональным в том и только в том случае, если он переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Тогда он, сохраняя скалярное произведение, переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис.

Пусть теперь оператор переводит ортонормированный базис

в новый ортонормированный базис

.

Тогда

и

.

Откуда

.

Рассмотрим свойства матрицы ортогонального оператора.

Теорема 9.8. Система векторов-столбцов (строк) матрицы ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе

является ортонормированной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – некоторый ортогональный оператор и – некоторый ортонормированный базис. По теореме 9.9 система образов базисных векторов сама является ортонормированной, то есть . Поэтому для столбцов матрицы оператора

,

(как векторов арифметического пространства ) имеем:

. (9.11)

Аналогичное свойство справедливо и для строк матрицы :

. (9.12)

Теорема 9.9. Матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе удовлетворяет условию

. (9.13)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – ортогональный оператор. Так как матрицы операторов и связаны соотношениями

,

откуда для матрицы оператора получаем (9.11).

Обратно, пусть выполнено соотношение (9.11). Тогда , откуда и следует, что оператор является ортогональным.

Определение 9.4. Матрица , для которой выполняется свойство (9.13), называется ортогональной.

Приведём некоторые теоремы о свойствах ортогонального оператора.

Теорема 9.10. Собственные значения ортогонального оператора действующий в пространстве , равны .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда

.

Так как по определению , то .

Теорема 9.11. Определитель ортогональной матрицы равен

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для ортогональной матрицы выполняется равенство . Поэтому . Тогда

.