Определение линейного оператора и его свойства. — КиберПедия


Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Определение линейного оператора и его свойства.



http://bodrenko.org/algebra/unit%205_1/unit_5_1.htm

1. Определение линейного оператора. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.
Определение.Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x1 u x2 пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:
1°. λ( x1 u x2) = λx1+ λx2 (свойство аддитивности оператора);
2°. А (λх) = λАх (свойство однородности оператора).
Замечание 1. Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
Замечание 2. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.
2. Действия над линейными операторам. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр.
Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх. (5.1)


Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λА, определяемый равенством

(λА)х= λ(Ах). (5.2)


Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W.
Иными словами, оператор О действует по правилу Ох = 0.
Для каждого оператора А определим противоположный оператор -А посредством соотношения

-А = (-1)А.


Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Множество L(V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества L (V, V) линейных операторов.Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. е. изучим подробнее множество L(V, V).
Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор I, действующий по правилу Iх = х (здесь х — любой элемент V).
Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V, V).
Произведением операторов А и В из L(V, V) называется оператор АВ, действующий по правилу



(АВ)х = А(Вх). (5.3)


Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Справедливы следующие свойства линейных операторов из L(V, V):
1°. λ(АВ) = (λА)В;
2°. (А + В)С = АС + ВС;
3°. А(В + С) = АВ + АС;
4°. (АВ)С = А(ВС).
Первое из свойств 1°-4° следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. 5.2)) и определения произведения операторов (см. 5.3)).
Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3),


((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х. (5.4)


Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.
Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.
Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны.
Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение АВ...С любого конечного числа операторов из L(V, V) и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение An+m = AnAm.
Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L(V, V).
Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение
АВ = ВА = I.
Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А-1.
Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо соотношение А-1Ах = х.
Таким образом, если А-1Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x1 и x2 отвечают различные элементы y1 = Ax1 и у2 = Аx2.
Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: V —> V представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент у Є V представляет собой образ некоторого элемента x Є V:


y = Ах.


Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x1,x2,...,xn пространства V отображаются посредством оператора А в n линейно независимых Ax1,Ax2,...,Axn элементов этого же пространства.
Итак, пусть x1,x2,...,xn — линейно независимые элементы V.
Если линейная комбинация α1Ax1+ α2Ax2,...+ αnAxn представляет собой нулевой элемент пространства V:




α1Ax1+ α2Ax2,...+ αnAxn = 0,


то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что A(α1x1+ α2x2,...+ αn xn) = 0.
Так как оператор А действует из V в V взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что α1x1+ α2x2,...+ αn xn = 0. Но элементы x1,x2,...,xn линейно независимы. Поэтому α1 = α2= ... = αn = 0. Следовательно, элементы Ax1,Ax2,...,Axn также линейно независимы.
Отметим следующее утверждение.
Для того чтобы линейный оператор А из L(V, V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V.
Это означает, что некоторым различным элементам x1 и x2, x2 - x1 ≠ 0 из V отвечает один и тот же элемент у = Ax1 = Ах2. Но тогда А(x2 - x1) = 0, и поскольку оператор А имеет обратный, x1 - x2= 0. Но выше было отмечено, что x2 - x1 ≠ 0. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.
Докажем достаточность этого условия.
Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V.
Тогда каждому элементу у Є V отвечает элемент х Є V такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А , обладающий тем свойством, что А-1у = А (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А.
Достаточность условия утверждения также доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение 2.Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А.
Если ker A = 0, то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекает х = 0, а это означает, что различным x1 и x2 отвечают различные у1 = Ax1 и у2 = Ах2 (если бы y1 = у2, то А(x2 - x1) = 0, т. е. x1 = х2 и элементы x1 и x2 не были бы различны).
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие ker A = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3.Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства V, представимых в виде у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом im A (Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа).
Замечание 2. Отметим, что если ker А = 0, то im A = V, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием ker A = 0 условие im A = V также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Замечание 3. Очевидно, ядро ker А и образ im A — линейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim (ker А) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1.Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда

dim (im А) + dim (ker A) = n.


Доказательство. Так как ker А представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство V1 пространства V, что V1 будет представлять собой прямую сумму V и ker A. Согласно теореме 2.10 dim V1 + dim (ker A) = n. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что dim V1 = dim (im A).
Пусть dimV1 = р, dim(im A) = q и y1,y2,...,yq — базис в im A. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из V1 в im А, то каждому элементу у из im А можно поставить в соответствие единственный элемент х Є V1 такой, что Ах = у. Поэтому в V1 определены элементы x1,x2,...,xq такие, что Ахk = уk, к = 1, 2,..., q. Элементы x1,x2,...,xq линейно независимы, ибо если α1x1 + α2x2+...+ αqxq = 0, то A(α1x1 + α2x2+...+ αqxq) = α1y1 + α2y2+...+ αqyq = 0, а так как элементы y1,y2,...,yq линейно независимы, то α1 = α2 = ... = αq = 0, т. е. и x1,x2,...,xqлинейно независимы. Таким образом, в V1 имеется q линейно независимых элементов. Следовательно, р ≥ q (напомним, что р = dim V1).
Предположим, что р > q. Добавим к линейно независимым элементам x1,x2,...,xq элементы xq+1,xq+2,...,xp так, что x1,x2,...,xp образуют базис в V1. Так как р > q и q = dim (im A), то элементы Ax1,Ax2,...,Axp , принадлежащие im A, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа λ12,...,λp такие, что λ1Ax1 + λ2Ax2 + ...+ λpAxp = 0. Отсюда следует, что A(λ1x1 + λ2x2 + ...+ λp xp) = 0. Так как А действует из V1 в im A взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем λ1x1 + λ2x2 + ...+ λp xp = 0.
Но x1,x2,...,xp — базис в V1. Поэтому λ1 = λ2 = ... = λp = 0.
Выше указывалось, что не все λ12,...,λp равны нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. Таким образом, р = q.
Теорема доказана.
Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть V1и V2— два таких подпространства n-мерного пространства V, что dimV1+dimV2= dim V. Тогда существует такой линейный оператор А из L(V, V), что V1= im A и V2= ker А.
Доказательство.Пусть dim V1 = p, dim V2 = q. Выберем в пространстве V базис е1, е2,..., еn так, чтобы элементы е1, е2,..., еn принадлежали V2. Далее в пространстве V1 выберем некоторый базис g1, g2,..., gp.
Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е1, е2,..., еn пространства V следующим образом:


Ae1=g1, Ae2 = g2, ..., Аер = gp,
Aep+1 = 0, Аер+2 = 0,..., Аеn = 0.


Далее, если х = x1e1 + x2e2 + ... + xpep + xp+1ep+1 + ... +xnen,
то Ах = x1g1 + x2g2 + ... + xpgp. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Введем понятие ранга линейного оператора А.
Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом rang А и равное rang A = dim(im A).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из L(V, V) имел обратный А-1необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V = n.
Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V). Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:


rang AB ≤ rang A, rang AB ≤ rang В.


Доказательство.Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Поэтому dim(im AB) ≤ dim(im A), т.е. rang AB ≤ rang А.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением (Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение im AB im B может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения rang AB ≤ rang В требуются специальные рассуждения): ker В ker AB.
Из этого включения следует, что dim (ker В) ≤ dim (ker AB).
Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство dim V — dim (ker AB) ≤ dimV— dim (ker В), а из него, согласно теореме 5.1, получаем dim(im AB) ≤ dim(im B), т.е. rang AB ≤ rang В.
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов.
Теорема 5.4. Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V) и n — размерность V. Тогда rang ABrang A + rang В - n.
Доказательство. Согласно теореме 5.1


dim (im AB) + dim (ker AB) = n. (5.5)


Так как rang AB = dim(im AB), то из (5.5) получаем

rang AB = n - dim (ker AB). (5.6)


Поскольку, согласно теореме 5.1,


dim (ker A) + dim (ker В) = 2n - (rang A + rang В), (5.7)


то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

dim (ker AB) ≤ dim (ker A) + dim (ker B). (5.8)


Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство


rang AB n — (dim (ker A) + dim (kerВ)),


из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть


dim (ker В) = q. (5.9)


Согласно теореме 5.3 dim (ker AB) ≥ q. Поэтому справедливо соотношение


dim (ker AB) = p + q, где р > 0. (5.10)


Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выбрать базис x1,x2,...,xp+q так, что элементы xp+1,...,xp+q образуют базис в ker В. При таком выборе x1,x2,...,xp+q элементы Bx1,Bx2,...,Bxp линейно независимы (если линейная комбинация , а это может быть, в силу выбора x1,x2,...,xp, лишь при λk, = 0, к = 1, 2,..., р). Поэтому элементы Bx1,Bx2,...,Bxp принадлежат ker А, т.е. р ≤ dim (ker А). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана.
Следствие из теорем 5.3 и 5.4.Если rang А = n (n — размерность V), то rang AB = rang ВА = rang В.
Указанное следствие вытекает из неравенств

rang AB ≤ rang В (теорема 5.3),


rang AB ≥ rang В (теорема 5.4 при rang А = n).


Из этих неравенств получим, что rang AB = rang В. Аналогично доказывается соотношение rang ВА = rang В.

Теорема Кронекера-Капелли.

http://function-x.ru/systems_kroneker_kapelli.html

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы.Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы .

Здесь матрица A (матрица системы) - это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) - это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством , при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Теорема о числе решений.Пусть для системы m линейных уравнений с nнеизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы равен числу неизвестных ( ), то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( ), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n - r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть , то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

,

,

.

Присоединяя сюда , получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

,

,

.


ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13

1. Образ и ядро линейного оператора в линейном пространстве.

http://www.studfiles.ru/preview/893437/page:6/

Определение:

, тогда его ядром

это множество тех векторов пространства L, которые операторомAпереводятся в 0.

Примеры

1)

2) А– проектирование пространства на плоскостиX0Y

Свойства ядра:

Лемма:ядро всякого оператора – это инвариантное подпространство.

Доказательство.

1) Если , то их линейная комбинация так же лежит в ядре. Рассмотрим

2) Образ ядра – это 0.

ч.т.д.

Определение:

Образ – это множество всех образов, образ оператора A:ImA– это множество всех векторов из пространстваL, которые могут быть записаны как образы Каши (?) либо элементов

ПримерДифферен. образ-

1)

2) оператора проектирования

Лемма:

Образ линейного оператора инвариантное подпространство.

= инвариантное подпространство

Доказательство:

1) рассмотрим

Если 2 элемента лежат в образе, то их линейная комбинация лежит в образе.

2) Докажем, что это подпространство инвариантно.

3) Лемма:размерность ядра и образа линейного оператора.

, dim A=n,

тогда n=m+r

Доказательство.

Зафиксируем какой-нибудь базис

- базис

построим матрицу оператора в этом базисе

- матрица

среди векторов ;r –ЛНЗ следовательно …

Вектора порождают образы – это система образующих, тогда в -r– ЛНЗ столбцов следовательно.

рассмотрим ядро.

2) Xe=0

=rang rпространство решенийn-r системы размерность

эта размерность и есть размерность ядра m=n-r

==

- базис каждому

y=Ax

ImAтогда соответствует

- это линейные комбинации столбцов матрицыА

2 Решение неоднородных систем линейных уравнений. Представление общего решения в векторной форме.

http://www.cleverstudents.ru/systems/solving_systems_of_linear_equations.html


ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 14






Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.035 с.