Определение линейного оператора и его свойства.

http://bodrenko.org/algebra/unit%205_1/unit_5_1.htm

1. Определение линейного оператора. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.
Определение. Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x₁ u x₂ пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:
1°. λ(x₁ u x₂) = λx₁+ λx₂ (свойство аддитивности оператора);
2°. А (λх) = λАх (свойство однородности оператора).
Замечание 1. Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
Замечание 2. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.
2. Действия над линейными операторам. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр.
Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх. (5.1)

Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λА, определяемый равенством

(λА)х= λ(Ах). (5.2)

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W.
Иными словами, оператор О действует по правилу Ох = 0.
Для каждого оператора А определим противоположный оператор -А посредством соотношения

-А = (-1)А.

Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Множество L(V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества L (V, V) линейных операторов. Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. е. изучим подробнее множество L(V, V).
Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор I, действующий по правилу Iх = х (здесь х — любой элемент V).
Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V, V).
Произведением операторов А и В из L(V, V) называется оператор АВ, действующий по правилу

(АВ)х = А(Вх). (5.3)

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Справедливы следующие свойства линейных операторов из L(V, V):
1°. λ(АВ) = (λА)В;
2°. (А + В)С = АС + ВС;
3°. А(В + С) = АВ + АС;
4°. (АВ)С = А(ВС).
Первое из свойств 1°-4° следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. 5.2)) и определения произведения операторов (см. 5.3)).
Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3),

((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х. (5.4)

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.
Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.
Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны.
Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение АВ...С любого конечного числа операторов из L(V, V) и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение A^n+m = AⁿA^m.
Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L(V, V).
Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение
АВ = ВА = I.
Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А^-1.
Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо соотношение А^-1Ах = х.
Таким образом, если А^-1Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x₁ и x₂ отвечают различные элементы y₁ = Ax₁ и у₂ = Аx₂.
Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: V —> V представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент у Є V представляет собой образ некоторого элемента x Є V:

y = Ах.

Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x₁,x₂,...,x_n пространства V отображаются посредством оператора А в n линейно независимых Ax₁,Ax₂,...,Ax_n элементов этого же пространства.
Итак, пусть x₁,x₂,...,x_n — линейно независимые элементы V.
Если линейная комбинация α₁Ax₁+ α₂Ax₂,...+ α_nAx_n представляет собой нулевой элемент пространства V:

α₁Ax₁+ α₂Ax₂,...+ α_nAx_n = 0,

то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что A(α₁x₁+ α₂x₂,...+ α_n x_n) = 0.
Так как оператор А действует из V в V взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что α₁x₁+ α₂x₂,...+ α_n x_n = 0. Но элементы x₁,x₂,...,x_n линейно независимы. Поэтому α₁ = α₂=... = α_n = 0. Следовательно, элементы Ax₁,Ax₂,...,Ax_n также линейно независимы.
Отметим следующее утверждение.
Для того чтобы линейный оператор А из L(V, V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V.
Это означает, что некоторым различным элементам x₁ и x₂, x₂ - x₁ ≠ 0 из V отвечает один и тот же элемент у = Ax₁ = Ах₂. Но тогда А(x₂ - x₁) = 0, и поскольку оператор А имеет обратный, x₁ - x₂= 0. Но выше было отмечено, что x₂ - x₁ ≠ 0. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.
Докажем достаточность этого условия.
Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V.
Тогда каждому элементу у Є V отвечает элемент х Є V такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А, обладающий тем свойством, что А^-1у = А (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А.
Достаточность условия утверждения также доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А.
Если ker A = 0, то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекает х = 0, а это означает, что различным x₁ и x₂ отвечают различные у₁ = Ax₁ и у₂ = Ах₂ (если бы y₁ = у₂, то А(x₂ - x₁) = 0, т. е. x₁ = х₂ и элементы x₁ и x₂ не были бы различны).
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие ker A = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства V, представимых в виде у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом im A (Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа).
Замечание 2. Отметим, что если ker А = 0, то im A = V, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием ker A = 0 условие im A = V также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Замечание 3. Очевидно, ядро ker А и образ im A — л инейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim (ker А) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1. Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда

dim (im А) + dim (ker A) = n.

Доказательство. Так как ker А представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство V₁ пространства V, что V₁ будет представлять собой прямую сумму V и ker A. Согласно теореме 2.10 dim V₁ + dim (ker A) = n. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что dim V₁ = dim (im A).
Пусть dimV₁ = р, dim(im A) = q и y₁,y₂,...,y_q — базис в im A. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из V₁ в im А, то каждому элементу у из im А можно поставить в соответствие единственный элемент х Є V₁ такой, что Ах = у. Поэтому в V₁ определены элементы x₁,x₂,...,x_q такие, что Ах_k = у_k, к = 1, 2,..., q. Элементы x₁,x₂,...,x_q линейно независимы, ибо если α₁x₁ + α₂x₂+...+ α_qx_q = 0, то A(α₁x₁ + α₂x₂+...+ α_qx_q) = α₁y₁ + α₂y₂+...+ α_qy_q = 0, а так как элементы y₁,y₂,...,y_q линейно независимы, то α₁ = α₂ =... = α_q = 0, т. е. и x₁,x₂,...,x_qлинейно независимы. Таким образом, в V₁ имеется q линейно независимых элементов. Следовательно, р ≥ q (напомним, что р = dim V₁).
Предположим, что р > q. Добавим к линейно независимым элементам x₁,x₂,...,x_q элементы x_q+1,x_q+2,...,x_p так, что x₁,x₂,...,x_p образуют базис в V₁. Так как р > q и q = dim (im A), то элементы Ax₁,Ax₂,...,Ax_p , принадлежащие im A, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа λ₁,λ₂,...,λ_p такие, что λ₁Ax₁ + λ₂Ax₂ +...+ λ_pAx_p = 0. Отсюда следует, что A(λ₁x₁ + λ₂x₂ +...+ λ_p x_p) = 0. Так как А действует из V₁ в im A взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем λ₁x₁ + λ₂x₂ +...+ λ_p x_p = 0.
Но x₁,x₂,...,x_p — базис в V₁. Поэтому λ₁ = λ₂ =... = λ_p = 0.
Выше указывалось, что не все λ₁,λ₂,...,λ_p равны нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. Таким образом, р = q.
Теорема доказана.
Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть V₁и V₂— два таких подпространства n-мерного пространства V, что dimV₁+dimV₂= dim V. Тогда существует такой линейный оператор А из L(V, V), что V₁= im A и V₂= ker А.
Доказательство. Пусть dim V₁ = p, dim V₂ = q. Выберем в пространстве V базис е₁, е₂,..., е_n так, чтобы элементы е₁, е₂,..., е_n принадлежали V₂. Далее в пространстве V₁ выберем некоторый базис g₁, g₂,..., g_p.
Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е₁, е₂,..., е_n пространства V следующим образом:

Ae₁=g₁, Ae₂ = g₂,..., Ае_р = g_p,
Ae_p+1 = 0, Ае_р+2 = 0,..., Ае_n = 0.

Далее, если х = x₁e₁ + x₂e₂ +... + x_pe_p + x_p+1e_p+1 +... +x_ne_n,
то Ах = x₁g₁ + x₂g₂ +... + x_pg_p. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Введем понятие ранга линейного оператора А.
Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом rang А и равное rang A = dim(im A).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из L(V, V) имел обратный А^-1необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V = n.
Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V). Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:

rang AB ≤ rang A, rang AB ≤ rang В.

Доказательство. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Поэтому dim(im AB) ≤ dim(im A), т.е. rang AB ≤ rang А.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением (Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение im AB im B может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения rang AB ≤ rang В требуются специальные рассуждения): ker В ker AB.
Из этого включения следует, что dim (ker В) ≤ dim (ker AB).
Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство dim V — dim (ker AB) ≤ dimV— dim (ker В), а из него, согласно теореме 5.1, получаем dim(im AB) ≤ dim(im B), т.е. rang AB ≤ rang В.
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов.
Теорема 5.4. Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V) и n — размерность V. Тогда rang AB≥rang A + rang В - n.
Доказательство. Согласно теореме 5.1

dim (im AB) + dim (ker AB) = n. (5.5)

Так как rang AB = dim(im AB), то из (5.5) получаем

rang AB = n - dim (ker AB). (5.6)

Поскольку, согласно теореме 5.1,

dim (ker A) + dim (ker В) = 2n - (rang A + rang В), (5.7)

то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

dim (ker AB) ≤ dim (ker A) + dim (ker B). (5.8)

Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство

rang AB ≥ n — (dim (ker A) + dim (kerВ)),

из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть

dim (ker В) = q. (5.9)

Согласно теореме 5.3 dim (ker AB) ≥ q. Поэтому справедливо соотношение

dim (ker AB) = p + q, где р > 0. (5.10)

Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выбрать базис x₁,x₂,...,x_p+q так, что элементы x_p+1,...,x_p+q образуют базис в ker В. При таком выборе x₁,x₂,...,x_p+q элементы Bx₁,Bx₂,...,Bx_p линейно независимы (если линейная комбинация , а это может быть, в силу выбора x₁,x₂,...,x_p, лишь при λ_k, = 0, к = 1, 2,..., р). Поэтому элементы Bx₁,Bx₂,...,Bx_p принадлежат ker А, т.е. р ≤ dim (ker А). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана.
Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если rang А = n (n — размерность V), то rang AB = rang ВА = rang В.
Указанное следствие вытекает из неравенств

rang AB ≤ rang В (теорема 5.3),

rang AB ≥ rang В (теорема 5.4 при rang А = n).

Из этих неравенств получим, что rang AB = rang В. Аналогично доказывается соотношение rang ВА = rang В.

Теорема Кронекера-Капелли.

http://function-x.ru/systems_kroneker_kapelli.html

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы. Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы .

Здесь матрица A (матрица системы) - это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) - это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством , при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Теорема о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n - r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть , то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

,

,

.

Присоединяя сюда , получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

,

,

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13

1. Образ и ядро линейного оператора в линейном пространстве.

http://www.studfiles.ru/preview/893437/page:6/

Определение:

, тогда его ядром

это множество тех векторов пространства L, которые оператором A переводятся в 0.

Примеры

1)

2) А – проектирование пространства на плоскостиX0Y

Свойства ядра:

Лемма: ядро всякого оператора – это инвариантное подпространство.

Доказательство.

1) Если , то их линейная комбинация так же лежит в ядре. Рассмотрим

2) Образ ядра – это 0.

ч.т.д.

Определение:

Образ – это множество всех образов, образ оператора A: ImA – это множество всех векторов из пространства L, которые могут быть записаны как образы Каши (?) либо элементов

Пример Дифферен. образ-

1)

2) оператора проектирования

Лемма:

Образ линейного оператора инвариантное подпространство.

= инвариантное подпространство

Доказательство:

1) рассмотрим

Если 2 элемента лежат в образе, то их линейная комбинация лежит в образе.

2) Докажем, что это подпространство инвариантно.

3) Лемма: размерность ядра и образа линейного оператора.

, dim A=n,

тогда n=m+r

Доказательство.

Зафиксируем какой-нибудь базис

- базис

построим матрицу оператора в этом базисе

- матрица

среди векторов ; r –ЛНЗ следовательно …

Вектора порождают образы – это система образующих, тогда в - r – ЛНЗ столбцов следовательно.

рассмотрим ядро.

2) Xe =0

= rang r пространство решений n-r системы размерность

эта размерность и есть размерность ядра m=n-r

==

- базис каждому

y=Ax

Im A тогда соответствует

- это линейные комбинации столбцов матрицы А

2 Решение неоднородных систем линейных уравнений. Представление общего решения в векторной форме.

http://www.cleverstudents.ru/systems/solving_systems_of_linear_equations.html

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 14