Подпространства линейного пространства. Свойства. Сумма и пересечение подпростанств. — КиберПедия


Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Подпространства линейного пространства. Свойства. Сумма и пересечение подпростанств.



http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

Пусть L и M - два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где xL и yM. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением LM подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как GL и GM, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

(6.1)

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства Fпредставляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

(6.2)

Тогда

(6.3)

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

(6.4)

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

(6.5)

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

(6.6)

или

(6.7)

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

(6.8)

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

(6.9)

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

(6.10)

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y - линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:



dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M).

2 .Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

http://www.studfiles.ru/preview/6144691/page:4/

Вектор Х ≠ 0 называют собственным векторомлинейного оператора с матрицей А, если найдется такое числоl, что АХ =lХ.

При этом число lназываютсобственным значениемоператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - lЕ)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными. Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - lЕ| = = 0

Это уравнение с неизвестным lназываютхарактеристическим уравнением(характеристическим многочленом) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - lЕ| = = (1 -l)2– 36 = 1 – 2l+l2- 36 =l2– 2l- 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значенияl1= (2 - 12)/2 = -5;l2= (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х2= с, х1 + (2/3)с = 0; х1 = -(2/3)с, т.е. Х(1)= (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х2= с1, х1 - (2/3)с1 = 0; х1 = (2/3)с1, т.е. Х(2)= ((2/3)с1; с1).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с1; с1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:



,

где li– собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с1, но такие, чтобы векторы Х(1)и Х(2)были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с1= 3, тогда Х(1) = (-2; 3), Х(2) = (2; 3). Убедимся в линейной независимости этих векторов:

= -12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А*= .

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А*= С-1АС. Вначале найдем С-1.

СТ= ;

С-1 = ;


ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11

1. Переход к новому базсу в линейном пространстве. Матрица перехода.

http://www.studfiles.ru/preview/6144772/page:3/

Переход к новому базису

Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый el, e2,...enи новый e l*, e2*,...en*. Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода

Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.

Матрица А - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А-1.

Пусть вектор Х имеет координаты (хl, х2,... хn) относительно старого базиса и координаты (хl*, х2*,... хn*) относительно нового базиса, т.е. Х = xlel + x2e2 +...+ xnen = xl*el* + x2*e2* +...+ xn*en*.

Подставим в это уравнение значения el*, e2*,...en*из предыдущей системы:

xlel + x2e2 +...+ xnen = xl*(a11el + a12e2 + … + a1nen) + x2*(a21el + a22e2 + … + + a2nen) +...+ xn*(an1el + an2e2 + … + annen)

0 = el( xl*a11 + x2*a21 + … + xn*an1 - xl) + e2( xl*a12 + x2*a22 + … + xn*an2 – x2) + + … + en( xl*a1n + x2*a2n + … + xn*ann – xn)

В силу линейной независимости векторов el, e2,...enвсе коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:

или в матричной форме

Умножим обе части на А-1, получим:

Например, пусть в базисе el, e2, e3заданы вектора а1= (1, 1, 0), а2= (1, -1, 1), а3= (-3, 5, -6) иb= (4; -4; 5). Показать, что вектора аl, а2, а3тоже образуют базис и выразить в этом базисе векторb.

Покажем, что вектора аl, а2, а3линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:

Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами el, e2, e3и аl, а2, а3можно выразить системой:

Вычислим А-1.

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. в базисе аl, а2, а3векторb= (0,5; 2; -0,5).

2 Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве.

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=evklidovy-prostranstva






Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.012 с.