Если плоскости a и b совпадают, то они параллельны по определению.

Пусть .

Предположим, что плоскости a и b пересекаются: a ìü b = l.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны, следовательно, прямые а и b параллельны. А это противоречит условию, так как . Следовательно, предположение не верно, а верно то, что требовалось доказать, то есть .

Вывод: Чтобы доказать, что две данные плоскости параллельны, надо указать в первой плоскости две пересекающиеся прямые и во второй плоскости найти две прямые, каждая из которых параллельна одной из двух указанных прямых первой плоскости.

Упражнения:

Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?

Две стороны треугольника параллельны плоскости a. Доказать, что и третья сторона параллельна плоскости a.

ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

В теме «Геометрические тела, их поверхности и объёмы» мы будем изучать многогранники – геометрические тела, поверхности которых составлены из многоугольников. Для иллюстрации понятий, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве познакомимся с двумя многогранниками – тетраэдром и параллелепипедом.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DАВ, DВС, DСА.

Поверхность, составленная из четырёх треугольников АВС, DАВ, DВС, DСА, называется тетраэдром и обозначается DАВС.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. У тетраэдра DАВС противоположными являются рёбра АD и ВС, ВD и АС, СD и АВ. Часто одну из граней тетраэдра называют основанием, и три другие – боковыми гранями.

Рассмотрим два равных параллелограмма АВСD и А₁В₁С₁D₁, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ и DD₁ параллельны. Четырёхугольники АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, СDD₁С₁, DАА₁D₁ также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А₁В₁С₁D₁ и четырёх параллелограммов АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, СDD₁С₁, DА А₁D₁, называется параллелепипедом и обозначается АВСDА₁В₁С₁D₁.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер – противоположными. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

Диагоналями параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ являются отрезки АС₁, ВD₁, СА₁, DВ₁.

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда. Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами.

Если в качестве оснований параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ выбрать грани АВСD и А₁В₁С₁D₁, то боковыми гранями будут параллелограммы АВВ₁А₁, ВСС₁В₁, СDD₁С₁, DА А₁D₁, а боковыми рёбрами отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ и DD₁.

Упражнения:

1. В тетраэдре DАВС точки М, N, Q, Р – середины отрезков ВD, DС, АС, АВ. Найти периметр четырехугольника МNQР, если АD = 12 см, ВС = 14 см.