Некоторые непараметрические критерии

Серийный критерий предназначен для оценки существенности различий между центральными тенденциями двух выборок, что по существу своему аналогично сравнению двух средних значений (без их вычисления).

Применение этого критерия заключается в составлении из двух сравниваемых выборок одного упорядоченного ряда и в подсчете общего количества “серий”, т. е. определенных “перемешиваний” в порядке расположения членов сопоставляемых выборок. Далее это число серий S сравнивается с табличным (см. таблицу 7).

Таблица 7

Примечания:

1. Различия статистически значимы, если S<S0,1

2. Если эмпирическое S>S0,5, то различия не являются достоверными.

Пример.

Имеются следующие данные:

женщины — 32, 30, 28, 30, 33, 37, 28, 27 (nx= 8)

мужчины — 39, 36, 31, 35, 29, 34, 38 (ny= 8)

Следует ответитъ на вопрос: отличаются ли между собой по величине пороги женщин и мужчин? Составляем общий упорядоченный ряд:

Таблица 7а

Женщины (nx= 8)

Мужчины (ny= 8)

 

Остается подсчитатъ число серий S. Серией считается всякая отдельная группа величин в каждой строке таблицы 7а. Это в нашем примере: (27-28-28), (29), (30-30), (31), (32-33), (34-35-36), (37), (38-39) — итого восемь серий, т. е.S=8 (см. табл. 7).

По табл. 7 находим, что S0,5 (8,7)=4, и так как эмпирическое то различия величин двух сравниваемых выборок по серийному критерию не являются статистически значимыми.

Таким образом, сутъ серийного критерия достаточно проста. Если, например, все члены одного ряда меньше членов другого, то минимальное число серий — две. При отсутствии подобной однозначности возможно “перемешивание” рядов. Табл. 7 дает пределы такого перемешивания, при котором различия еще можно считать значимыми.

Необходимо помнитъ, что при использовании этого критерия возможны случаи, когда в сопоставляемых рядах имеются одинаковые величины. В таких условиях можно поступить двояко: либо исключить эти равные величины из рассмотрения (соответственно уменьшив nx и ny), либо воспользоваться таблицей случайных чисел. (Этот вариант можно заменить подбрасыванием монеты, загадав, например, что, если выпадет “орел” — первым пойдет член из верхнего ряда).

Итак, для нашего примера серийный критерий не выявил значимости различий в величинах, хотя средние арифметические значения этих порогов составляют, соответственно, 30,6 и 34,6 мм.

В случае обнаружения при статистической обработке недостоверности различий необходимо при помощи какого-либо простейшего критерия обратиться к другому — более мощному. Таким может бытъ критерий Вилкоксона (Т-критерий).

Критерий числа инверсий (Вилкоксона — Манна — Уитни) предназначен, как и серийный критерий, для оценки различия величин членов двух выборок. Этот критерий основан на подсчете числа инверсий (перестановок, нарушений порядка расположения) членов в их общем упорядоченном ряду. Общая сумма инверсий сравнивается с табличной (см. табл. 8).

Применим этот критерий для нашего примера.

Первый шаг работы полностью аналогичен осуществленному для серийного критерия, т. е. составляется общий упорядоченный ряд.

 

Теперь нужно подсчитать число инверсий U т. е. для нашего случая — число нарушений такого порядка расположения членов, при котором члены верхнего ряда Хi идут впереди членов второго ряда Уi. Соответствующие цифры удобнее проставить над числами верхнего ряда.

Перед числами 30, 30 впереди идет одно число 29 из нижнего ряда, поэтому сверху проставлено по единице. Перед числами 32 и 33 вперед попадают уже две величины (29 и 31), поэтому над ними проставлены двойки. Наконец, числу 37 верхнего ряда предшествует уже 5 чисел ряда нижнего, и поэтому, над этим числом поставим цифру 5.

Подсчитаем общее число инверсий: U=1+1+2+2+5=11. По таблице 8 находим: U0,5(8,7)=12. Следовательно, различия величин порогов мужчин и женщин можно считать статистически значимыми для пятипроцентного уровня значимости (Р=0,05).

Критерий знаков служит для сравнения величин двух попарно сопряженных совокупностей, т. е. таких совокупностей, которые объединены некоторой связью, общим свойством. Это, например, результаты одних и тех же испытуемых по двум каким-то разным видам деятельности и т.п.

Критерий знаков очень прост в использовании: сопоставляемые ряды записываются один под другим или рядом друг с другом и определяет знак разности между сопоставляемыми величинами (больше-меньше или плюс-минус). Затем подсчитывается число тех знаков (однонаправленных эффектов), которые встречаются меньше других, и это число сравнивается с табличным (см. табл. 11).

Таблица 8

Максимальные значения числа U, при которых различия между двумя

выборками можно считать значимыми при Р = 0,01 (верхняя цифра) и при Р = 0,05 (нижняя цифра)

n\y n\х
	- -	-
	-	-	-
	-	-
	-	-
			I
8	- 1	0 3	2 5	4 8	6 10	7 12	9 15
	-
	-
	-
	-
																		1 4 0

 

Равные члены (нулевая разность) могут быть либо исключены из рассмотрения, либо отнесены к одному из направлений “плюс” или «минус» («больше» или «меньше») с помощью подбрасывания монеты.

Пример.

В эксперименте по непроизвольному запоминания слов двенадцать испытуемых (А, Б, В и т. д.) по-разному запомнили слова, обозначающие профессии, и слова, обозначающие научные абстракции (см. табл. 9).

Таблица 9

Испытуемый	Объем запоминания
профессия	научных абстракций
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
К
Л
М
Н

N=12

Нам следует ответить на вопрос: значимы ли различия в эффективности запоминания этих категорий слов в данной группе испытуемых? Средние арифметические значения для профессий и научных абстракций равны соответственно 3,3 и 2,1 слова.

Применим критерий знаков: в ранее составленной табл. 9 и произведем вычитание, т.е. из каждого члена левого ряда вычтем соответствующий ему член из правого ряда. Затем определим знак разности и составим табл. 10.

Подсчитаем число минусов. Z=4, что в общем-то говорит о преимущественном преобладании показателей левого ряда. Проверяем значимость такого преобладания по табл. 11:

Z0,5(12)=3, т. е. меньше нашего эмпирического, поэтому кажущееся преобладание эффективности запоминания профессий по сравнению с научными абстракциями не является статистически значимыми (достоверными, реальными).

Таблица 10

Испытуемый	Объем запоминания	Знак разности
профессия	научных абстракций
А			+
Б			_
В			+
Г			+
Д			_
Е			_
Ж			+
З			_
К			+
Л			+
М			+
Н			+

N=12

Парный критерий Вилкоксона (Т-критерий) направлен, как и предшествующий критерий знаков, на сравнение величин двух сопряженных совокупностей, но при этом является критерием бол мощным, поскольку учитывается не только направление — знак — разности между сравниваемыми рядами, но и абсолютная величина этих разностей Т (см. табл. 13). Применим этот критерий для нашего примера, для чего следует повторить процедуру вычитания чисел правого ряда из левого, фиксируя не только знак разности, но и ее величину.

Далее нужно приписать всем разностям — независимо от их знака — ранг в порядке возрастания величины разности. Результаты этих операций даны в правой крайней строке табл. 12. Поясняем эту операцию.

Самая маленькая величина разности — это 1. Таких единиц всего пять, значит, это будут ранги: 1, 2, 3, 4, 5. Поэтому, всем единицам мы проставляем один и тот же ранг — З (т. е. серединное значение), отчего общая сумма рангов пяти единиц не изменяется (1+2+3+4+5=3*5). Следующий ранг - 6 - получает величина разности 2. На ранги 7, 8, 9, 10 претендуют четыре величины 3, поэтому все они помечаются рангом 8,5. Наконец, ранги 11 и 12 выпадают на два значения разности 4, так что каждая четверка обозначается рангом 11,5.

 

Таблица 11

 

 

Таблица 12

Таблица 13

Теперь подсчитаем сумму рангов Т для отрицательных разностей: Т=3+3+3+8,5=17,5.

По таблице 13 находим, что Т0,5(12)= 17, т. е. наше эмпирическое значение больше табличного для 5%-го уровня, поэтому различия в величинах объема запоминания разных качеств слов не являются в данной группе испытуемых достоверными [180].

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Что составляет первоначальную обработку статистических данных?

2. Какие основные приёмы вычисления средних значений Вы знаете?

3. Как вычисляются среднее линейное и квадратичное отклонение?

4. Дать понятие уровня значимости.

5. Что такое критерий Стъюдента? Дать пример применения.

6. Как вычисляется коэффициент ранговой корреляции?

7. Дать пример использования серийного критерия.

8. В каких случаях необходимо пользоваться Т-критерием? Привести пример вычисления.

Рекомендуемая литература.

1. Анастази А. Психологическое тестирование. Книга 1. -М, 1982. -С. 66-71.

2. Немов Р.С. Психология. Книга 3. Экспериментальная педагогическая психология и психодиагностика - М., 1995. - С. 30-56.

3. Одерышев Б.С. Матстатика. - СПб, 1996.

4. Основы психодиагностики / Под ред. ШмелеваАГ. -М., 1996. -С. 148-154.

5. Сидоренко Б.В. Методы математической обработки в психологии. - СПб, 1996.

Раздел 3. ПСИХОДИАГНОСТИКА ЛИЧНОСТИ