Уравнения относительного движения

Двух близких искусственных спутников.

 

С практической точки зрения особенный интерес представляет исследование относительного движения двух искусственных спутников, движущихся на небольшом (по сравнению с удалением их от центра масс небесного тела) расстоянии друг от друга. Предположим, что компоненты вектора относительной дальности малы по сравнению с величиной , т.е.

Тогда

 

Подставляя (29) в (13), получаем:

Ограничиваясь первым приближением, запишем систему (30) в виде

 

(31)

 

Система (31) имеет достаточно простое решение лишь при отсутствии возмущающих ускорений, т.е. Тогда: (32)

 

где - вектор состояния относительного движения в начальный момент , а - вектор состояния относительного движения в текущий момент . Более компактно решение (32) может быть записано в векторно- матричном виде: , где – матрица коэффициентов при компонентах вектора в системе уравнений (32). Матрицу иногда называют матрицей прогноза, поскольку она осуществляет преобразование начального вектора состояния в вектор , соответствующий моменту .

Если прогноз осуществляется на некоторый момент в будущем , аргумент матрицы прогноза считают положительным, если прогноз осуществляется на момент в прошлом , аргумент считается отрицательным, причем . Имеет место также следующее свойство матрицы прогноза: если , то

 

так как

и

 

Этот вывод можно обобщить на несколько временных интервалов

 

 

Важной особенностью решения (32) однородной системы дифференциальных уравнений (31) является независимость движения в плоскости опорной орбиты (компоненты ) и уравнений, описывающих боковое движение в плоскости, перпендикулярной к плоскости опорной орбиты (компоненты ). Пользуясь указанным свойством, рассмотрим геометрию движения двух близких искусственных спутников в плоскости опорной орбиты более подробно.

 

Геометрия движения двух близких спутников

В плоскости опорной орбиты.

Перегруппируем слагаемые первых двух уравнений системы (32):

 

(33)

 

Введем линейную величину

и угол такой, что

Тогда уравнения (33) принимают вид:

 

Последние слагаемые правых частей каждого из уравнений системы

(35)

 

описывают движение по эллипсу, представленному на рисунке 3.

 

 

x

Рис.3.

 

Центр эллипса перемещается параллельно оси со скоростью

 

(36)

В начальный момент центр эллипса находится в точке с координатами

Из (35) следует, что величина полуоси эллипса вдоль оси абсцисс вдвое больше величины полуоси вдоль оси ординат, а движение по эллипсу происходит по направлению часовой стрелки, причем началом отсчета угла является луч, исходящий из центра эллипса в направлении, обратном направлению оси .
Положение центра эллипса относительно опорной орбиты
определяется знаком суммы . При центр эллипса в силу (36) не смещается с течением времени. При центр эллипса лежит выше опорной орбиты, т.к. из (37) следует, что в этом случае а скорость смещения центра вдоль оси отрицательна. При центр эллипса находится ниже опорной орбиты и смещается вдоль оси в положительном ее направлении. Анализируя второе уравнение системы (34), определим минимальное и максимальное расхождения спутников по высоте:

 

 

В предположении, что движение спутника происходит по круговой орбите радиуса , экстремальным расхождениям соответствуют минимальное и максимальное удаления спутника от центра масс центрального гравитирующего тела:

 

 

Таким образом, спутник будет обращаться по круговой орбите лишь при , т.е. при одновременном выполнении равенств:

 

В противном случае большая полуось орбиты спутника будет

 

Другими словами, размеры больших полуосей и орбит спутников будут различаться на величину

 

 

что в согласии с законом Кеплера приводит к различиям периодов их обращения на величину

 

 

В общем случае в соответствии с (34) движение спутника относительно спутника происходит по сложному закону и представляет собой суммарное движение объекта по круговой орбите и по эллипсу. Такое движение содержит вековое расхождение спутников вдоль оси , обусловленное движением центра эллипса со скоростью (36).

Обратившись к третьему уравнению системы (32), проанализируем зависимость от начальных условий относительных боковых отклонений спутников. Сразу заметим, что текущее боковое отклонение определяется исключительно боковыми же начальными отклонениями в положении и в скорости . При , максимальное значение бокового отклонения будет равно и не будет зависеть от высоты орбиты. Напротив, при

откуда следует, что, чем выше орбита (т.е. чем больше период обращения спутника ), тем она чувствительней к начальным возмущениям боковой скорости .

До сих пор, говоря об относительном движении двух близких спутников, мы полагали, что орбита одного из них является круговой. Оказывается, полученные нами результаты описания относительного движения можно использовать и в случае, когда оба спутника обращаются по эллиптически орбитам. Для этого следует ввести опорное круговое движение третьего фиктивного спутника и связанную с ним орбитальную вращающуюся систему координат. Потребуем, чтобы отклонения координат и скоростей обоих реальных спутников от начала орбитальной системы координат были достаточно малы, обеспечивая возможность решения задачи в реальном приближении. Тогда для каждого реального спутника мы можем написать уравнение прогноза:

 

 

где – матрица прогноза, элементы которой суть функции интервала прогноза и угловой скорости опорного кругового движения фиктивного спутника. Образуем разность:

 

 

где и – вектора состояния движения спутника относительно спутника в начальный и конечный моменты времени, разделенные интервалом .