И уравнений поправок межспутникового слежения

Целью данного параграфа является получение в рамках пространственного (space-wise) подхода к обработке наблюдательных данных общего вида уравнений наблюдений и уравнений поправок для межспутниковых измерений характеристик относительного движения двух искусственных спутников.

Для измеряемой бортовыми средствами относительной дальности (расстояния) роль уравнения наблюдений может играть соотношение (6):

 

Для удобства дальнейшего дифференцирования его чаще записывают в форме равенства:

 

 

линеаризация которого в окрестности априорно известного приближенного значения этой же дальности ведет к уравнению

 

где - приближенное межспутниковое расстояние, вычисляемое по приближенно известным на момент наблюдения векторам положения и спутников и соответственно. Производные в (19) имеют вид:

 

 

так как

Тогда уравнение (19) приобретает вид:

 

Для измеряемой относительной лучевой скорости двух искусственных спутников уравнение наблюдений запишем в форме (9):

 

(21)

линеаризация которого в окрестности вычисляемой по приближенным значениям положений и скоростей спутников величины

 

дает:

 

 

Дифференцируя (21),

 

 

 

 

приходим к уравнению поправок для измеряемой относительной лучевой скорости:

 

 

Входящие в уравнения поправок (20) и (22) малые величины могут быть далее представлены посредством уже использовавшихся выше разложений:

 

 

 

 

в которых приняты следующие обозначения:

 

- вектор текущих (на момент ) элементов орбиты,

 

- вектор начальных (на момент ) элементов орбиты,

 

- аргумент широты,

 

– вектор параметров моделей возмущающих сил гравитационной и негравитационной природы,

 

– искомый вектор поправок в номинальный вектор начальных (на ) элементов орбиты,

 

– искомый вектор поправок в приближенно известные значения параметров моделей возмущающих сил.

Приведем далее ряд известных формул, используемых для вычисления производных

 

Для эллиптического движения спутника имеют место соотношения:

 

где

- радиальная скорость спутника,

 

- трансверсальная скорость спутника (проекция вектора линейной скорости на ось нормальную к радиусу-вектору), - истинная аномалия.

В космической геодезии и планетной гравиметрии в большинстве случаев используют искусственные спутники, обращающиеся по круговым (или почти круговым) орбитам.

Для кругового движения формулы (23) принимают вид:

 

 

где по-прежнему .

Для большей наглядности разделим вектор параметров на две составляющие: – вектор гармонических коэффициентов и разложения геопотенциала в ряд объемных сферических функций, записав , и – вектор параметров моделей прочих возмущающих сил. В этом случае элементы матрицы производных можно вычислить по формулам:

 

 

 

 

где обозначено

 

Соответствующие множеству выполненных межспутниковых измерений уравнения поправок вида (20) и/или (22) объединяются в систему уравнений поправок, которую в обобщенном виде можно записать как:

 

 

где символами обозначены матрицы частных производных коэффициентов уравнений поправок при соответствующих неизвестных . Элементы этих матриц вычисляются аналитически либо численно. В свою очередь система уравнений (24) представляет собой систему линейных уравнений, для решения которой далее могут использоваться стандартные алгоритмы оценивания неизвестных, в частности, метод наименьших квадратов.

Завершая параграф, отметим, что приведенные выше формулы справедливы для всех случаев межспутниковых измерений, независимо от взаимного расположения спутников и величины межспутникового расстояния. Понятно также, что для проведения измерений между спутниками необходимо наличие взаимной видимости между участвующими в измерениях элементами спутниковой системы, условие которого формулируется в следующем параграфе. Далее мы подробно рассмотрим кинематику и динамику относительного движения искусственных спутников по близким орбитам на малом расстоянии друг от друга.

Условие взаимной видимости

В спутниковых системах

Движение искусственных спутников по орбитам, различающимся по высоте, происходит с различной угловой скоростью, вследствие чего на ряде временных интервалов будет отсутствовать прямая видимость со спутника на спутник (взаимная видимость), необходимая для проведения межспутниковых измерений. Ниже при выводе формул центральное небесное тело будем считать сферическим, а спутниковые орбиты – круговыми. Первое допущение облегчает расчет угловых координат подспутниковых точек, а второе позволяет упростить вид зависимости этих координат от времени.

Пользуясь рисунком 2, легко сформулировать геометрическое условие взаимной видимости двух КА, в момент t находящихся в точках и :

 

Рис.2.

 

Согласно (1), длина отрезка OQ, проведенного перпендикулярно к из центра масс предполагаемого здесь сферическим небесного тела, должна быть не короче его обобщенного радиуса , который на некоторую величину (например, толщину атмосферного слоя) превышает средний радиус исследуемой планеты. Искомая длина отрезка OQ может быть вычислена как

где – высота орбиты спутника , а угол – полуугол, под которым планета видна с этого спутника, определяется из равенства

 

 

которое легко получить, замечая, что

а

 

Плоский угол найдем из очевидного соотношения

 

 

где и суть планетоцентрические широты и долготы подспутниковых точек трасс спутников и в момент t.

Завершая параграф, следует подчеркнуть, что анализ взаимного расположения элементов спутниковой системы в большинстве случаев демонстрирует значительную эволюцию орбитальных структур на достаточно длительных интервалах активного их функционирования, заставляющую отдельно рассматривать кинематику и динамику каждой конкретной номинальной конфигурации входящих в систему космических аппаратов.