Дифференциальные уравнения высших порядков

П.1. Основные понятия

ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде (1), или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: (2).

Определение 1. Решением ДУ (2) называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Определение 2. Общим решением ДУ (2) называется функция , где c₁ и c₂ – не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1) φ(x; c₁; c₂) является решением ДУ для каждого фиксированного значения c₁ и c₂.

2) Каковы бы ни были начальные условия y(x₀) = y₀, y’(x₀) = y’₀ (3) существуют единственные значения постоянных и такие, что функция является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).

Определение 3. Всякое решение уравнения (2), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных и , называется частным решением.

Решения ДУ (2), записанные в виде называются общим и частным интегралом соответственно.

График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (2) представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (x₀; y₀) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .

Переписав ДУ (1) в виде , видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами точки (x; y) интегральной кривой, угловым коэффициентом k = y’ касательной к ней и кривизной в точке (x; y). В этом состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3), называется задачей Коши.

Теорема 1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (2) функция и ее частные производные f’_y и f’_y’ непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y, y’, то для всякой точки (x₀; y₀; y’₀) D существует единственное решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n-го порядка, которое в общем виде записывается как или (4), если его можно разрешить относительно старшей производной.

Начальные условия для ДУ (4) имеют вид (5).

Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида , содержащей n произвольных, независящих от x, постоянных.

Решение ДУ (4), получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением.

Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (4), удовлетворяющее начальным условиям (5).

Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Задача нахождения ДУ n-го порядка сложнее, чем первого. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.