П. 3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение (10), p, q – некоторые числа.

Согласно теореме 1, общее решение уравнения (10) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения y* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами (10) существует более простой способ нахождения y*, если правая часть f(x) уравнения (10) имеет так называемый «специальный вид»:

I.

II. .

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (10) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай Правая часть уравнения (10) имеет вид , где , – многочлен степени n. Уравнение (10) запишется в виде (11). В этом случае частное решение y* ищем в виде (12), где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения (т.е. r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения), а – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами .

Случай 2. Правая часть уравнения (10) имеет вид , где и – многочлены степени n и m соответственно, α и β – действительные числа. Уравнение (10) запишется в виде (13).

Можно показать, что в этом случае частное решение y* уравнения (13) следует искать в виде (14), где r – число, равное кратности как корня характеристического уравнения, и – многочлены степени l с неопределенными коэффициентами, l – наивысшая степень многочленов и , т.е. .

Замечания. 1. После подстановки функции (14) в (13) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2. Форма (14) сохраняется и в случаях, когда ≡ 0 или ≡ 0.

3. Если правая часть уравнения (10) есть сумма функция вида I или II, то для нахождения y* следует использовать теорему 2 о наложении решений.

Системы дифференциальных уравнений

П. 1. Основные понятия

Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.

Определение 1. Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций y₁, y₂, …, y_n, следующий:

Определение 2. Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

(1) называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (1).

Определение 3. Решением системы (1) называется совокупность из n функций y₁, y₂, …, y_n, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (1) имеют вид (2).

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает теорема, приводимая здесь без доказательства.

Теорема Коши. Если в системе (1) все функции непрерывны вместе со всеми своими производными по y_i в некоторой области D ((n + 1) -мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение y₁ = φ₁(x), …, y_n = φ_n(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям (2).

 

Меняя в области D точку M₀ (т.е. начальные условия), получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения, зависящего от n произвольных постоянных: ,..., .

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные c₁, c₂, …, c_n из системы уравнений

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных c₁, c₂, …, c_{n ,} называется частным решением системы (1).