История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-06-04 | 245 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение 8. Уравнение Р(х;y)∙ dх + Q(x; у) ∙ dу = 0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть полный дифференциал некоторой функции , т.е. .
В этом случае ДУ (1) можно записать в виде , а его общий интеграл будет: .
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение Δ = Р(х;y)∙ dх + Q(x; у) ∙ dу есть полный дифференциал.
Теорема. Для того чтобы выражение Δ = Р(х; y) ∙ dх + Q(x; y) ∙ dу, где функции P(x; y) и Q(x; y) и их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия = (2).
Доказательство:
Необходимость. Пусть Δ есть полный дифференциал, т.е. . Учитывая, что , имеем: , . Дифференцируя эти равенства по y и по x соответственно, получаем и . А так как смешанные частные производные и равны между собой, получаем формулу (2).
Достаточность. Пусть в области D выполняется условие (2). Покажем, что существует функция в области D такая, что = . Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям: и (3).
Если в первом уравнении (3) зафиксировать y и проинтегрировать его по x, то получим: (4). Здесь произвольная постоянная зависит от y (либо является числом). В решении (4) не известна лишь φ(y). Для ее нахождения продифференцируем функцию (4) по y: . Используя второе равенство (3), можно записать: = . Отсюда (5). В равенстве (5) левая часть зависит от y. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от y.
Для этого продифференцируем правую часть по x и убедимся, что производная равна нулю. Действительно, в силу условия (2).
Из равенства (5) находим φ(y): , с – const.
Подставляя найденное значение для φ(y) в равенство (4), находим функцию u(x; y). Решение записываем в виде u(x; y)= c.
|
Таким образом, при решении ДУ вида (1) сначала проверяем выполнение условия (2). Затем, используя равенства (3), находим функцию u(x; y). Решение записываем в виде u(x; y)= c.
П. 6. Уравнения Лагранжа и Клеро
Рассмотрим ДУ, неразрешенные относительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Лагранжа и Клеро.
Уравнение Лагранжа
Определение 9. Уравнение вида (1), где φ и ψ – известные функции от , называется уравнением Лагранжа.
Введем вспомогательный параметр, положив y’ = p. Тогда уравнение (1) примет вид (2). Дифференцируя по x, получим: , т.е. или (3). Уравнение (3) есть линейное уравнение относительно неизвестной функции x = x(p). Решив его, найдем: x = λ(p; c) (4). Исключая параметр p из уравнений (2) и (4), получаем общий интеграл уравнения (1) в виде y = γ(x; c).
Отметим, что, переходя к уравнению (3), мы делили на . При этом могли быть утеряны решения, для которых =0, т.е. p = p0 = const. Это значение p0 является корнем уравнения p – φ(p) = 0.
Решение является особям решением для уравнения (1).
Уравнение Клеро
Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при φ(y’) ≡ y’. Уравнение (1) принимает вид (5) и называется уравнением Клеро.
Положив y’ = p, получаем: (6).
Дифференцируя по x, имеем: , или . Если , то p = c. Поэтому, с учетом формулы (6) имеем общее решение (7).
Если , то получаем частное решение уравнения в параметрической форме: , . Это решение – особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!