Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2023-02-03 | 23 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Взять уравнение , откинуть правую часть: – и найти общее решение.
2) Необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.
3) На третьем этапе надо составить общее решение неоднородного уравнения. .
Пример
Решение:
1)Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения
Частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени:
,
где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа).
Найдём первую и вторую производную:
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:
Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения
:
Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Проверим метод неопр. Коэффициентов, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Найдем первую и вторую производную:
|
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно.
12. Основные понятия о дифференциальных уравнениях n-ого порядка
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:
.
Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая уравнение на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:
(20)
;
дальше мы будем рассматривать уравнение (20).
Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным.
. (21)
(1)
(2)
Если уравнение разрешимо относительно старшей производной то имеет вид (1). Так же уравнение n-го порядка можно представить в виде системы из n уравнений первого порядка.
(3)
Для уравнения n-ого порядка выполнены условия теоремы о существовании и единственности для системы так как (1)~(2)~(3).
Простейшие случаи понижения порядка.
1. Уравнение не содержат искомой функции и ее производной до порядка k-1 включительно, то есть
. (4)
В этом случае порядок может быть понижен до заменой . Если из этого уравнения выразить тогда решение y можно определить k-кратным интегрируемым функции p.
Пример.
.
2. Уравнение, не содержащие неизвестного переменного (5)
В этом случае порядок можно понизить на единицу подстановкой
.
Пример.
3. Левая часть уравнения
(6)
есть производная некоторого дифференциального выражения (n-1)-го порядка. . Если - решение последнего уравнения, следовательно, существует . Мы получили первый интеграл уравнения (6) и понизили на единицу степень решаемого уравнения.
|
Замечание. Иногда левая часть (6) становится производной дифференциального уравнения (n-1)-го порядка только при умножении на поэтому здесь могут появиться лишнее решения (обращающие в ноль) или мы можем потерять решение, если разрывная функция.
Пример.
4. Уравнение
(7)
однородно относительно и его производных.
.
Или , где показатель определяется из условий однородности.
Порядок этого уравнения может быть понижен на единицу заменой:
.
Если подставить эти соотношения в (7) и учесть однородность функции F , то в итоге в получим:
.
Пример.
.
13. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости системы решений однородного ОДУ
1) Определителем Вронского W(x; y1(x), y2(x), ..., ym(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y1(x),y2(x), ..., ym(x) из Cm-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:
Доказательство: Так как функции линейно зависимы на , то существуют такие не все равные нулю числа , при которых выполняется тождество на . Дифференцируя его раз, получим систему уравнений
Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение (т. е. хотя бы одно ) при . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского , тождественно равен нулю. Теорема доказана.
2) Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми на отрезке [a,b], если существуют постоянные α1, α2, ..., αn равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество
Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функции y1(x), y2(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:
14. Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка
Функции называются линейно зависимыми на , если существуют числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что . (4)
|
Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда все , то функции называются линейно независимыми на . Система из линейно независимых на интервале решений однородного дифференциального уравнения -го порядка (3) с непрерывными на коэффициентами называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка (3) с непрерывными коэффициентами , надо найти его фундаментальную систему решений.
Согласно теореме, произвольная линейная комбинация из решений , т. е. сумма
, (5)
где - произвольные числа, есть в свою очередь решение уравнения (3) на . Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения (3) имеет вид (5), где - произвольные постоянные, а - частные решения (3), образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения.
15. Разностные уравнения, определение порядка уравнения
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [difference equations] — уравнения, содержащие конечные разности искомой функции. (Конечная разность определяется как соотношение, связывающее дискретный набор значений функции y = f(x), соответствующих дискретной последовательности аргументов x1, x2, ..., xn.) В экономических исследованиях значения величин часто берутся в определенные дискретные моменты времени. Напр., о выполнении плана судят по показателям на конец планируемого периода. Поэтому вместо скорости изменения какой-либо величины df/dt приходится брать среднюю скорость за определенный конечный интервал времени Δf/Δt. Если выбрать масштаб времени так, что длина рассматриваемого периода равна 1, то скорость изменения величины можно представить как разность
y = y(t+1) – y(t),
которую часто называют первой разностью. При этом различают правую и левую разности, в частности
y = y(t) – y(t–1)
— левая, а приведенная выше — правая. Можно определить вторую разность:
Δ(Δy) = Δy(t + 1) – Δy(t) = y(t + 2) –
– 2y(t + 1) + y(t)
и разности высших порядков
Δn=Δ(Δ(n-1)*y(x)).
Теперь можно определить Р. у. как уравнение, связывающее между собой конечные разности в выбранной точке:
|
f [y(t), Δy(t), ..., Δny(t)] = 0.
Р. у. всегда можно рассматривать как соотношение, связывающее значения функции в ряде соседних точек
y(t), y(t+1), ..., y(t+n).
При этом разность между последним и первым моментами времени называется порядком уравнения.
При численном решении дифференциальных уравнений их часто заменяют разностными. Это возможно, если решение Р. у. стремится к решению соответствующего дифференциального уравнения, когда интервал Δt стремится к нулю.
16. Общий вид решения уравнения вида y(t+1) – y(t) = f(t)
y(t+1) – y(t) = f(t)
∆y(t)=f(t)
t=0: y(1)-y(0)=f(0) => y(1)=f(0)+y(0)
t=1: y(2)-y(1)=f(1) => y(2)=f(1)+y(1) t=k: y(k)=y(0)+ =C+
17. Общий вид решения уравнения y(t+1) = y(t)*p(t)
y(t+1) = y(t)*p(t)
y(1)=p(0)*y(0)
y(2)= p(1)*y(1)= p(1)*p(0)*y(0)
k-1 k-1
y(k)= p(m)*y(0)= C* p(m)
m=0 m=0
18. Общий вид решения уравнения y(t+1) = y(t) * p(t) + f(t)
y(t+1) = y(t) * p(t) + f(t)
y(t)=u(t)*v(t)
u(t+1)*v(t+1)-p(t)*u(t)*v(t)-f(t)=0
u(t+1)*(v(t+1)-v(t)-v(t)*(p(t)u(t)u(t)-u(t+1)-t(t)=0
u(t+1)=p(t)u(t)
k-1
u(k)=C* p(m)
m=0
t
v(t+1)-v(t)=f(t)/u(t+1)= f(t)/ C*∏(m)=g(t)
m=0
v(t+1)=v(t)+g(t)
t
v(t+1)=C2 + Σg(k)
k=0
t k
v(t+1)=C2 + Σ f(k)/C1 ∏ p(m)
k=0 m=0
t-1 k
v(t)=C2 + Σ f(k)/C1 ∏ p(m)
k=0 m=0
k-1
u(t)=C1 ∏ p(m)
m=0
t-1 k-1
y(t)=u(t)*v(t)= (C2 + Σ f(k)/C1 ∏ p(m)
k=0 m=0
19. Фундаментальная система решений однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами
Фундаментальной системой решений однородного линейного разностного уравнения называется упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения или, проще говоря, Фундаментальными решениями уравнения называют такие решения, из которых можно сконструировать все остальные решения.
Между линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка и линейными разностными уравнениями n-го порядка много общего.
Фундаментальная система решений | |
1) решения л.о, D:y 2) л.н.з., т.е Необходимое и достаточное условие | 1) решение л. о. Р. у 2) л.н.з Необходимое и достаточное условие |
Рассмотрим следующие случаи для построения фундаментальной системы решений(ф.д.м.)
1) -различные вещественные корни
Ф.С.Р,
2) Среди вещественных корней есть кратные qi-кратность ri
соответствующие частные решения
3) Если
4. Если -корни кратности «r», то получаем «2r» частных решений:
Заметим, что в любом случае Ф.С.Р. состоит из «n» частных решений
Тогда общее решение однородных уравнений:
20. Общий вид решения неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами
Пусть задано неоднородное разностное уравнение /см.(2)/
Требуется определить решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ....,
Последовательность решения разностного уравнения (2) такова:
1. Найти общее решение однородного уравнения
|
2. Найти частное решение неоднородного уравнения.
3. Записать общее решение неоднородного уравнения
,
где - общее решение однородного уравнения
4. Определить постоянные С1 , С2 , ... , Сk, используя заданные начальные условия.
Пример 7. Найти решение неоднородного уравнения
удовлетворяющее начальному условию .
Решение. 1.Частное решение неоднородного уравнения имеем в виде
подставляем в уравнение
;
;
,
Следовательно .
2. Общее решение однородного уравнения:
, , ;
частное решение ;
общее решение: .
3. Общее решение неоднородного уравнения:
.
4.
5. Определяем постоянную С:
.
Искомое решение имеет вид
.
Пример 8. Найти решение неоднородного разностного уравнения
удовлетворяющее начальному условию .
Решение. 1.Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
,
подставляем в исходное уравнение
;
Следовательно .
2. Общее решение однородного уравнения:
, , ;
.
3. Общее решение неоднородного уравнения:
.
6. Определяем постоянную С:
, т.е. С=1.
Искомое решение имеет вид
.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!