Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2023-02-03 | 23 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Дифференциальные уравнения вида
где a,b,c – числа, называют линейными неоднородными дифференциальными уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
где yо – общее решение однородного уравнения, а yч – какое-нибудь решение неоднородного уравнения (частное решение).
Пример 7. Решить задачу Коши
Решение. Найдем сначала общее решение однородного уравнения
Для этого составим характеристическое уравнение:
Это уравнение имеет два различных вещественных корня:
Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция
Найдем теперь какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения
Будем искать его в виде
Тогда
Подставив эти выражения в уравнение, получим:
Теперь можно выписать общее решение неоднородного уравнения:
Вычислим производную:
Воспользовавшись начальными условиями, получим систему уравнений:
Искомое решение задачи Коши имеет вид:
(Как мне кажется, в последней строчке здесь ошибка, т.к. наши найденные C1 и C2 здесь подставили в y’, а не в y)
10. Отыскание частного решения линейных неоднородных ОДУ для правой части специального вида методом неопределенных коэффициентов
Рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений вида
,
где p и q - действительные числа.
Нам уже известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме квадратного трехчлена. В случае уравнения с постоянными коэффициентами общее решение линейного однородного уравнения, как мы уже знаем, находится легко. Остановимся теперь на проблеме отыскания частного решения y* линейного неоднородного уравнения.
а) .
Если , то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:
,
где
- неопределенные коэффициенты.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, мы получим тождество
,
Откуда
.
Так как , то из последней системы для коэффициентов получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение y* будет вполне определено.
Если , то частное решение y* ищем в виде , когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде
,
когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если f(x) - многочлен P(x) произвольной степени.
б) .
Частное решение ищем в виде
,
где A - неопределенный коэффициент.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на e bx будем иметь
.
Отсюда видно, что если b не является корнем характеристического уравнения, то
.
Если b - корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y* = Axebx , когда b - однократный корень, и в виде y* = P(x) ebx , когда b - двукратный корень.
Аналогично будет, если f(x) = P(x) ebx , где P(x) - многочлен.
в) . (a и b не нули одновременно).
В этом случае частное решение y* ищем также в форме тригонометрического двучлена
,
где A и B - неопределенные коэффициенты.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:
.
Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому
.
Эти уравнения определяют коэффициенты A и B , кроме случая, когда
(или когда - корни характеристического уравнения).
В последнем случае частное решение исходного уравнения ищем в виде
.
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!