Модулированные оптические волны

 

Простейшая модулированная волна представляет собой суперпозицию двух синусоидальных линейно поляризованных в одной плоскости и распространяющихся вдоль оси OX плоских волн одинаковой амплитуды А и начальной фазы:

Asin(ω₁t + k₁x);     Asin(ω₂t + k₂x).

Если частоты таких колебаний w ₁ и w ₂ мало отличаются друг от друга, то результирующее колебание представляет собой почти синусоидально модулированную бегущую волну.

Сумма двух таких колебаний представляет собой произведение двух синусоидальных волн, одна из которых характеризует медленно изменяющуюся огибающую, а другая - несущую частоту.

 

.

 

Значения частоты  и волнового числа k несущей частоты в данном простейшем случае равны полусумме соответствующих величин исходных колебаний. Частота и волновое число огибающей данного модулированного колебания равна полуразности частот и волновых чисел складываемых колебаний:

 

.

 

В вакууме или в среде без дисперсии частота колебаний пропорциональна волновому вектору w = const k. Коэффициент пропорциональности равен фазовой скорости света в вакууме или в среде. Из приведенной выше формулы следует, что в этом случае скорости перемещения плоскости постоянной фазы для несущей частоты v и огибающей v_m одинаковы. Волна в процессе распространения точно сохраняет свою форму в пространстве и во времени. Действительно

 

 

В среде частота и волновой вектор однозначно связаны друг с другом дисперсионным соотношением w (k). При этом частоты колебаний и волновые векторы становятся уже не пропорциональными друг другу и скорости волн, образующих описанные выше оптические биения будут различаться. Это означает, что v v_m – несущая частота результирующего колебания и его огибающая перемещаются в пространстве с разными скоростями.

Обычно функцию, описывающую дисперсионное соотношение между волновым вектором в среде и частотой колебаний, представляют в виде ряда Тэйлора и ограничиваются только линейным по k членом разложения.

 В радиофизике такое приближение в большинстве случаев хорошо оправдано. В первом приближении дисперсионное соотношение характеризуется производной d w / dk, определенной в точке (ω – ω₀) для некоторого среднего значения волнового вектора. При использовании принятых упрощающих предположений (d w / dk = const) скорость огибающей v_m будет равна этой производной v_m = d w / dk, так как в этом приближении  

Таким образом, групповую скорость определяют как скорость перемещения максимумов или нулей огибающей регулярных биений, образованных двумя плоскими монохроматическими волнами в предположении о малой разности частот этих колебаний и в условиях замены реального дисперсионного соотношения его линеаризованной версией.

Это определение обычно обобщают на случай любых модулированных колебаний и импульсов. Общепринято, что групповая скорость для модулированных колебаний и импульсов всегда существует и определяет скорость перемещения огибающей светового импульса (волнового пакета или «группы» волн). Предполагается, что эту скорость всегда можно измерить, наблюдая за движением максимумов периодических или одиночных импульсов или измеряя скорость переноса энергии такими импульсами. Это мнение, однако, ошибочно.

Рассмотрим, например, биения трех монохроматических волн, частоты которых выражается иррациональными числами. Волны распространяются в вакууме. На рис. 7.3 показан результат расчета биений трех источников, частоты которых в относительных единицах равны квадратному корню из 11, 12 и 13. Амплитуды колебаний источников одинаковы. В начальный момент времени фазы волн равны нулю. На начальных этапах биения представляют собой последовательность из двух импульсов разной амплитуды.

 

 

Рис.7.3а Результирующая амплитуда колебаний, представляющая собой сумму трех монохроматических колебаний с некратными частотами.

 

С течением времени амплитуды импульсов непрерывно изменяются, причем, амплитуды импульсов сначала выравниваются, а затем амплитуда меньшего импульса начинает превосходит амплитуду основного импульса. Временная картина биений принципиально необратима.

Рис.7.3б. Изменение во времени картины биений, показанных на рис. 7.1а.

 

Момент, когда фазы всех трех волн снова одновременно станут нулевыми и волна приобретет первоначальную форму, из-за несоизмеримости частот колебаний никогда не наступает.

 

Рис. 7.3в. Дальнейшее изменение во времени колебаний, показанных на рис.7.1а,б.

 

На рис.7.3в уже невозможно определить, какой из импульсов огибающей был основным в начальный момент времени.

Аналогичная картина будет наблюдаться при переходе от временного к пространственному представлению. В бегущей волне биения колебаний с некратными частотами также будут принципиально невоспроизводимы по мере распространения волны в пространстве.

Невоспроизводимая во времени и пространстве картина, естественно, должна наблюдаться и в общем случае модулированных колебаний, образованных за счет сложения большого числа монохроматических колебаний с фиксированными частотами, не находящимися в кратном соотношении. По мере распространения огибающая волны испытывает нерегулярные и необратимые во времени и пространстве колебания. При этом на огибающей уже становится невозможно выделить период биений или особую точку, за перемещением которой можно следить. Понятие «групповая скорость» теряет смысл, так как становится неопределенным. Обязательным условием введения любой физической величины является её ясный физический смысл и существование (хотя бы теоретически) процедуры её измерения.

Таким образом, рассмотренный пример показывает, что для получения регулярных биений необходимо выполнение ещё одного условия, которое обычно не принимают во внимание. Для получения биений, представляющих собой сумму монохроматических колебаний, сохраняющих свою временную форму при регистрации неподвижным фотоприемником или по мере распространения их в пространстве, частоты колебаний, создающих биения, должны быть кратными.

В реальной физической ситуации это условие часто выполняется автоматически, например, при рассмотрении колебаний струны с закрепленными концами или для набора резонансных колебаний оптического резонатора. В этих случаях на длине струны или продольных размерах резонатора должно укладываться целое число длин волн резонансных колебаний и эти частоты оказываются кратными.

Рассмотрим, как изменяется сигнал, представляющий их себя сумму почти эквидистантных монохроматических колебаний:

.   (7.1)

На рис. 7.2 показан случай сложения 20 почти эквидистантных колебаний, на котором видно, как регулярная вначале последовательность импульсов разваливается со временем. Более детально особенности таких процессов можно исследовать на компьютере с помощью стандартных математических программ типа Maple или Mathcad, варьируя параметры в приведенной выше формуле.

 

Рис 7.2 Автокорреляционная функция излучения, рассчитанная по формуле (7.1), возникающая при сложении 20 квазимонохроматических почти периодических колебаний. N = 10, a = 0.01, e = 0.002.

 

Таким образом, регулярные периодические колебания в общем случае распространения в среде с дисперсией преобразуются в нерегулярные и невоспроизводимые во времени колебания.

 Если на вход среды, дисперсия которой описывается нелинейной зависимостью волнового числа от частоты колебаний, падает сумма эквидистантных монохроматических колебаний с нулевыми начальными фазами, то с увеличением расстояния внутри среды картина биений становится нерегулярной и не воспроизводимой вследствие нарушения синфазности исходных монохроматических колебаний. Эти процессы и происходят в лазерном резонаторе, заполненном активной средой с дисперсией. Лазеры, в которых не приято мер по компенсации дисперсии активной среды, хотя бы в первом приближении, генерируют нерегулярные квазипериодические последовательности ультракоротких импульсов.