Тема 4. Иерархии и приоритеты

4.1. Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий (МАИ) вырос в настоящее время в обширный междисциплинарный раздел науки, имеющий строгие математические и психологические обоснования и многочисленные приложения. Основное применение метода — поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингования альтернативных решений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений посредством определения их приоритетов. Перечислим возможности метода. Он позволяет: организовать обсуждение проблемы, провести сбор данных по проблеме; проанализировать проблему и минимизировать ее; оценить важность учета каждого решения и каждого фактора, влияющего на приоритеты решений; оценить устойчивость принимаемого решения; провести синтез проблемы принятия решения.

Преимуществом этого метода выступает то, что он позволяет учитывать человеческий фактор при подготовке принятия решения.

МАИ является системной процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы, решение которой есть процесс поэтапного установления приоритетов и включает:

1. Определение и выделение проблемы.

2. Декомпозицию проблемы в иерархию.

3. Построение матриц парных сравнений.

4. Вычисление приоритетов, наибольшего собственного значения матрицы суждений, индекса согласованности и отношения согласованности.

5. Вычисление глобальных приоритетов.

Система поддержки и принятия решений, основанная на МАИ, является простым и удобным средством, которое помогает структурировать проблему, строить набор альтернатив, выделять характеризующие их факторы, задавать значимость этих факторов, оценивать альтернативы по каждому из них, находить неточности и противоречия в суждениях лица, принимающего решения, или эксперта, ранжировать альтернативы, проводить анализ решения и обосновывать полученные результаты.

МАИ может использоваться при решении таких типовых задач, как:

¾ оценка качества организационных, проектных и конструкторских решений;

¾ определение политики инвестиций в различных областях;

¾ размещение объектов (выбор места расположения вредных и опасных производств, пунктов обслуживания);

¾ распределение ресурсов;

¾ проведение анализа проблемы по критерию стоимость — эффективность;

¾ стратегическое планирование;

¾ проектирование и выбор оборудования, товаров;

¾ выбор профессии, места работы, подбор кадров и т. д.

МАИ используется для решения слабоструктурированных и неструктурированных проблем. Методология решения таких проблем опирается на системный подход, при котором проблема рассматривается как результат взаимодействия и, соответственно, взаимозависимости множества разнородных объектов, а не просто как их изолированная и автономная совокупность.

Человеку присущи два характерных признака аналитического мышления: умение наблюдать и анализировать наблюдения; способность устанавливать отношения между наблюдениями, оценивать уровень взаимосвязей, а затем синтезировать эти отношения в общее восприятие наблюдаемого. На основе этих свойств человеческого мышления были сформулированы три принципа, реализация которых и является содержанием МАИ:

¾ принцип идентичности и декомпозиции;

¾ принцип дискриминации и сравнительных суждений;

¾ принцип синтеза.

Принимая решение, группа экспертов производит декомпозицию сложной проблемы — определяет ее компоненты и отношения между ними. Получается модель реальной действительности, построенная в виде иерархии. Вершина иерархии — общая цель, далее располагаются подцели, затем силы, которые влияют на эти подцели, люди, их цели, политики, стратегии и, наконец, исходы, являющиеся результатами стратегий.

На следующем этапе решения сравниваются уже отдельные компоненты иерархии между собой. В результате может быть выражена относительная степень интенсивности взаимодействия элементов в иерархии.

Затем эти суждения выражаются численно.

В завершение установления проводятся процедуры синтеза множественных суждений, приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Таким образом, основные этапы принятия решения с помощью МАИ следующие:

¾ построение иерархии рассматриваемой проблемы;

¾ парное сравнение компонент иерархии;

¾ математическая обработка полученных суждений.

Опишем методологию МАИ.

Она предполагает рассмотрение иерархий с одинаковым числом и функциональным составом альтернатив, расположенных под критериями, и применение метода попарного сравнения элементов иерархии. Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия с целью, расположенной в ее вершине, промежуточными уровнями (например, критериями) и альтернативами, формирующими самый нижний иерархический уровень.

При принятии решений группа экспертов использует шкалу отношений и матрицу парных сравнений.

Шкала отношений. Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений, приведенная ниже. Данная шкала позволяет лицу, принимающему решение (ЛПР), ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа:

 

Степень значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия над другим (слабая значимость)	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительны
2, 4, 6, 8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуации, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных выше ненулевых величин	Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из приведенных выше ненулевых чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение	В случае, когда согласованность была постулирована при получении числовых значений для образования матрицы

 

Допустим, что наша самая простая иерархия состоит из цели, уровня критериев и уровня альтернатив. На следующем шаге мы должны попарно сравнить между собой все критерии, используя приведенную выше шкалу и результаты записать в соответствующую матрицу парных сравнений. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы.

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если критерий К₁ доминирует над критерием К₂ то клетка матрицы, соответствующая строке К₁ и столбцу К₂ заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке К₂ и столбцу К₁, заполняется обратным к нему числом. Если элемент К₂ доминирует над К₁, то целое число ставится в клетку, соответствующую строке К₂ и столбцу К₁, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке К₁ и столбцу К₂. Если критерии К₁ и К₂ равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Далее составляются матрицы парных сравнений альтернатив по отношению к каждому критерию.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие? какой более вероятен и какой предпочтительнее? При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию — какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

. В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушаются, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для оценки качества проведенных парных сравнений служит индекс согласованности (ИС) или индекс однородности (ИО)., предложенный Т. Саати, который вычисляется по следующей формуле ИС=  и является показателем близости этой матрицы к согласованной. Однородность суждений оценивается также отношением однородности  где  — среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальном материале, представленном ниже.

 

Порядок матрицы (n)	М(ИО)
1	0,00
2	0,00
3	0,58
4	0,90
5	1,12
6	1,24
7	1,32
8	1,41
9	1,45
10	1,49
11	1,51
12	1,48
13	1,56
14	1,57
15	1,59

В качестве допустимого используется значение  Если для матрицы парных сравнений отношение однородности  то это свидетельствует о существенном нарушении логики суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Довольно естественно встает вопрос о том, как находить наибольшее собственное значение . Опишем способ приближенного вычисления собственного столбца или собственного вектора.

1. Перемножаем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец.

2. Извлекаем корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца.

3. Складываем элементы этого столбца.

4. Делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

Найдем собственное значение, соответствующее собственному столбцу х. Для этого нужно выполнить следующие этапы:

1. Умножим матрицу  парных сравнений Е на этот столбец, получим

2. Разделим элементы полученного столбца  на соответствующие элементы столбца х:  и если  то это отношение и есть собственное значение матрицы Е, отвечающее данному столбцу х. Если же хотя бы одно из равенств нарушается, то столбец  не является собственным столбцом матрицы Е. В этом случае в качестве приближенного собственного значения выбирается

Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии.

 

ПРИМЕР. Из трех поставщиков оборудования требуется выбрать лучшего. Оценку будем производить по трем критериям:

1. цена оборудования;

2. срок поставки;

3. год выпуска оборудования.

Декомпозиция проблемы выглядит следующим образом: на первом уровне которой находится цель «Оборудование», на втором — три фактора, уточняющих цель, и, наконец, на последнем уровне — три кандидата, которые должны быть оценены по отношению к критериям второго уровня.

 

 

 

                                                        

 

 

                                     

 

Матрица парных сравнений для оценки критериев выглядит следующим образом:

Критерии	1	2	3	Произв.	Корень	КОВ
Цена	1	3	3	9	2,080	0,594
Срок поставки	0,333333	1	2	0,6666667	0,874	0,249
Год выпуска	0,333333	0,5	1	0,1666667	0,550	0,157
Сумма по столбцам	1,666667	4,5	6	9,8333333	3,504
Произведение сумм на КОВ	0,99	1,12	0,94
	3,05
М(ИО)	0,58
ИО	0,026804
ОО	0,046215

 

Вычисление векторов приоритетов, или КОВ, производилось следующим приближенным способом. Сначала вычислялся столбец из 3 чисел, каждое из которых равнялось произведению элементов соответствующей строки матрицы критериев. Затем вычислялся столбец чисел, каждое из которых равнялось корню 3-й степени из элементов предыдущего столбца. В общем случае для элемента i-й строки  где  — количество критериев. После этого для всех  строк  производилась их нормализация путем деления всех элементов на  Таким образом, получаем нормализованный собственный вектор, который является вектором приоритетов, или КОВ.

Вычисление ИО производилось по схеме:

1. Суммируется каждый столбец суждений.

2. Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов (КОВ), сумма второго столбца — на вторую компоненту и т. д.

3. Полученные числа суммируются. Их сумма обозначается

4.  где  — число сравниваемых критериев. В нашем примере  = 3.

Согласно формуле, отношение согласованности  Как видим, ОО составляет порядка 4 % для нашей задачи, что говорит о допустимости суждений по данной матрице.

В данном примере критерии второго уровня необходимо сравнить попарно по отношению к общей цели первого уровня. Для сравнения поставщиков потребуется уже не одна, а три матрицы, поскольку необходимо сравнить поставщиков относительно друг друга по каждому критерию. Коэффициенты приоритетов (КОВ), ИО, ОО для поставщиков по каждому из критериев вычисляются аналогично предыдущему.

 

Цена	П1	П2	П3	Произв.	Корень	КОВ
Поставщик 1 (П1)	1	0,5	1	0,5	0,794	0,260
Поставщик 2 (П2)	2	1	1	2	1,260	0,413
Поставщик 3 (П3)	1	1	1	1	1,000	0,327
Сумма по столбцам	4	2,5	3	3,5	3,0536216
Произведение сумм на КОВ	1,04	1,03	0,98
	3,05
М(ИО)	0,58
ИО	0,026811
ОО	0,046225

 

Срок поставки	П1	П2	П3	Произв.	Корень	КОВ
Поставщик 1 (П1)	1	0,5	3	1,5	1,145	0,332
Поставщик 2 (П2)	2	1	3	6	1,817	0,528
Поставщик 3 (П3)	0,333333	0,333333	1	0,1111111	0,481	0,140
Сумма по столбцам	3,333333	1,833333	7	7,6111111	3,4425847
Произведение сумм на КОВ	1,11	0,97	0,98
	3,05
М(ИО)	0,58
ИО	0,026811
ОО	0,046225

 

Год выпуска	П1	П2	П3	Произв.	Корень	КОВ
Поставщик 1 (П1)	1	0,5	2	1	1,000	0,297
Поставщик 2 (П2)	2	1	3	6	1,817	0,540
Поставщик 3 (П3)	0,5	0,333333	1	0,1666667	0,550	0,163
Сумма по столбцам	3,5	1,833333	6	7,1666667	3,3674418
Произведение сумм на КОВ	1,04	0,99	0,98
	3,01
М(ИО)	0,58
ИО	0,004601
ОО	0,007933

 

Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты умножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. (Каждый элемент второго уровня умножается на единицу, т. е. на вес единственной цели самого верхнего уровня). Это дает составной, или глобальный, приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, сравниваемых с ним как с критерием и расположенных уровнем ниже. Процедура продолжается до самого нижнего уровня.

В задаче выбора поставщика на втором уровне расположены критерии качеств, характеризующих работу поставщика (элементы их вектора приоритета умножаются на единицу). Третий уровень иерархии — перечень поставщиков. Каждый элемент этого уровня (относительный вес каждого поставщика по сравниваемому качеству) умножается на приоритет данного качества среди прочих, затем полученные произведения складываются. В результате получим сводную таблицу.

 

	Срок поставки	Год выпуска	Сумма по столбцам	Глобальные приоритеты
КОВ критериев качества	0,594	0,249	0,157
Поставщик 1 (П1)	0,260	0,332	0,297	0,2837
Поставщик 2 (П2)	0,413	0,528	0,540	0,4616
Поставщик 3 (П3)	0,327	0,140	0,163	0,2547

Глобальный приоритет первого поставщика получен как результат вычислений 0,594 · 0,260 + 0,249 · 0,332 + 0,157 · 0,297 = 0,2837.

Аналогично вычислены и глобальные приоритеты других поставщиков. Вычислив глобальные приоритеты каждого поставщика, делаем вывод о предпочтительности поставщика под номером 2.

 

Задания для самостоятельного решения:

1. Нужно произвести выбор секретаря из девушек, подавших резюме. Отбор девушек происходит по пяти критериям:

¾ Знание делопроизводства.

¾ Внешний вид.

¾ Знание английского языка.

¾ Знание компьютера.

¾ Умение разговаривать по телефону.

Собеседование прошли пять девушек:

¾ Ольга

¾ Елена

¾ Светлана

¾ Галина

¾ Жанна

После собеседования получились следующие описания девушек:

Ольга: Приятная внешность. Отличное знание английского языка. Хорошее поведение. Нет навыков работы на компьютере, посредственное общение по телефону.

 Елена: Красивая, приятная внешность, хорошее умение общаться по телефону. Незнание английского языка, нет навыков работы на компьютере, делопроизводство знает весьма плохо.

Светлана: Очень хорошее знание делопроизводства, хорошие навыки работы на компьютере, достаточно хорошо общается по телефону, очень исполнительная. Не очень приятная внешность, посредственное знание английского языка.

 Галина: Достаточно хорошо знает делопроизводство, неплохие навыки работы на компьютере, по телефону общается на высоком уровне, достаточно хорошее поведение. Плохое знание английского языка, неприятная внешность.

Жанна: Приятная внешность, очень хорошее поведение, неплохие навыки работы на компьютере, достаточно хорошее знание английского языка. По телефону общается плохо, не знает делопроизводство.

Оцените «важность» критериев по своему усмотрению. Используя метод анализа иерархий проранжируйте кандидаток.

2. Примените метод анализа иерархий для поддержки принятия решений во внешнеэкономической сфере.

3. Примените метод анализа иерархий для решения вопроса о распределении ограниченного объема средств бюджета среди трех основных отраслей деятельности членов сообщества: наука, культура и образование; промышленное производство; сельскохозяйственное производство. Уровень развития каждой из указанных отраслей оказывает самое непосредственное влияние на каждую из трех основных компонент, определяющих благосостояние общества: материальное положение населения; его здоровье; безопасность общества.

4. С использованием МАИ разрешить проблему по заполнению вакансии, на которую претендуют три человека. В качестве критериев выбраны квалификационные (I), профессиональные (II), личностные качества (III), результативность работы (IV), удовлетворенность условиями, которые готова предоставить организация (V) и прочие аспекты личности (VI).

5. Необходимо разрешить проблему распределения доверия народных масс в стране между тремя ее крупнейшими партиями: единая Россия, СПС и КПРФ. Целями, по отношению к которым оцениваются эти партии, являются вклад в развитие демократии, вклад в развитие коррупции и вклад в национальную безопасность. Общая цель – благоприятное социальное и политическое развитие страны.

6. Необходимо разрешить проблему распределения энергии в стране между тремя ее крупнейшими потребителями: быт, промышленность и транспорт. Целями, по отношению к которым оценивается распределение энергии, являются вклад в развитие экономики, вклад в развитие сельского хозяйства и вклад в национальную безопасность. Общая цель – благоприятное социальное и политическое развитие страны.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Каковы основные принципы метода анализа иерархий?

2. Назовите недостатки метода анализа иерархий. Как их можно устранить?

3. Опишите основные этапы принятия решений с помощью метода анализа иерархий.

4. Какие показатели используются для оценки однородности суждений эксперта?

5. Опишите алгоритм иерархического синтеза.

6. Какую шкалу использует метод анализа иерархий?

 

Список основной литературы

1. Шикин, Е.В., Чхартишвили, А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. Пособие.−2-е изд., испр.−М.: Дело, 2002.−440 с., с.65-79.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учеб. пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 575 с., с.412-497.

3. Осипов, А.Л. Математика: учеб. пособие для дистанц. обучения и самост. работы / А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич; СибАГС. - Новосибирск, 2005. - 276 с.- То же [Электронный ресурс]. – Доступ из Б-ки электрон. изданий / Сиб. ин-т упр. – филиал РАНХиГС. – Режим доступа: http://www.sapanet.ru, требуется авторизация (дата обращения: 19.03.2013). - Загл. c экрана.

4. Тюрин, Ю.Н. Анализ данных на компьютере: учеб. пособие /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. – М.: ФОРУМ, 2008. – 366 с.