Материальный баланс рабочей линии.

 

Рабочие концентрации распределяемого вещества не равны равновесным и в действующих аппаратах никогда не достигают равновесных значений. Зависимость между рабочими концентрациями распределяемого вещества в фазах y = f (x) изображается какой-то линией, которая носит название рабочей линии процесса. Вид функции y = f (x) или уравнение рабочей линии в ее общем виде является одинаковым для всех массообменных процессов и получается из их материальных балансов.

Рассмотрим схему массообменного аппарата, работающего в режиме идеального вытеснения при противотоке фаз. Пусть в процессе массовой передачи из фазы в фазу, например, из газовой фазы в жидкую, переходит только один распределяемый элемент (например, аммиак). Сверху в аппарат поступает L_н кг/с первой фазы (жидкой фазы), содержащей х_н весовых долей распределяемого элемента, а снизу удаляется из аппарата

L_к кг/с той же фазы, содержащей х_к весовой доли компонента. Снизу в аппарат поступает G_к кг/с другой фазы (Г) концентрацией у_н и сверху удаляется G_к кг/с этой фазы, имеющей концентрацию у_к весовых долей компонента. Тогда материальный баланс по всему веществу будет:

G_н + L_н = G_к + L_к

И материальный баланс по распределяемому компоненту:

G_нy_н + L_нх_н = G_кy_к + L_кх_к

Запишем уравнение материального баланса для части аппарата от его нижнего конца до его некого произвольного сечения, для которого расходы фаз составляют G; L фаз, а их концентрации у; х соответственно. Материальный баланс по всему веществу для этого сечения:

G_н + L = G + L_к

Материальный баланс по распределяемому компоненту:

G_нy_н + Lх = Gy + L_кх_к

Решая это уравнение по у, получим:

У =        (1)

 

Уравнение (1) представляет собой уравнение рабочей линии, выражающее связь между рабочими концентрациями распределяемого элемента в фазах для произвольного элемента в фазах. Расходы фаз постоянны по высоте аппарата, например в процессах ректификации, когда числа молей компонентов, которыми обмениваются фазы, равны. В других случаях если концентрация фаз мало изменяется по высоте аппарата, то размеры фаз по его высоте можно считать постоянной для практических целей, т.е. принять L = const и G = const, при этом L_k = L и G_н = G и уравнение (1) примет вид:

(2)

Вводя обозначение

находим у = А_х + В (3)

Выражения (2) и (3) являются уравнениями рабочей линии, которыми обычно пользуются при расчете массообменных расчетов. Т.о. рабочая линия представляет собой прямую, которая наклонена к горизонту под углом, тангенс которого равен А и отсекает на оси ординат отрезок, равный В. Рабочая линия для аппарата ограничена точками х_н и у_к (верхний конец аппарата) и х_к и у_н (нижний конец аппарата).

 

 

Направление массопередачи.

 

Распределяемое вещество всегда переходит из фазы, где его содержание выше равновесного, в фазы, где его концентрация ниже равновесной. Направление переноса распределяемого вещества, т.е. направление массопередачи можно определить с помощью линии равновесия и рабочей линии.

 

Пусть массопередача происходит между фазами Ф_х и Ф_у, рабочие концентрации которых равны соответственно х и у. Если рабочая линия расположена ниже линии равновесия (рис.1), то для точки А рабочей линии y<y* и x>x*, где x*, y* - равновесные концентрации. Следовательно, распределяемое вещество будет переходить из компонентов одной фазы в другую. Перенос такого направления происходит, например, в процессе ректификации, где компонент переходит из жидкой фазы с какой – то концентрацией в газообразную. Если же рабочая линия расположена выше линии равновесия, то на произвольно выбранной точке на рабочей линии y>y* и x<x*, при этом распределяемый элемент будет переходить из фазы Ф_у в фазу Ф_х. В качестве примера такого направления массопередачи можно указать направление абсорбции, где распределяемый компонент переходит из газовой в жидкую фазу. Т.о. на у-х диаграмме направление массопереноса может быть определено по взаимному расположению равновесной и рабочей линий.

 

 

Скорость массопередачи

 

Скорость массопередачи связана с механизмом переноса распределяемого вещества в фазах, между которыми и происходит массообмен. Перенос вещества внутри фазы может происходить только путем молекулярной диффузии, либо путем молекулярной диффузии и конвенции одновременно. Посредством одной молекулярной диффузии среда перемещается в неподвижной среде. В движущейся среде перенос вещества осуществляется как молекулярной диффузией, так и самой средой в направлении ее движения, так и молекулами в разнообразных направлениях. В турбулентном потоке перенос молекулярной диффузии преобладает только вблизи границы фазы. При турбулентном движении возникают нерегулярные пульсации скорости, под действием которых наряду с общим движением потока происходит общее перемещение частиц во всех направлениях (в том числе и поперечном).

Молекулярной диффузией называют перенос распределяемого вещества, обусловленный беспорядочным движением атомов, ионов, коллоидных частиц, молекул. Молекулярная диффузия описывается первым законом Фикка, согласно которому масса вещества, продиффундировавшегося через поверхность, пропорциональна grad концентрации этого вещества. Масса вещества выражается:

dM= -DdFdτ

или

M= -DFτ  (1)

Из уравнения (1) следует, что удельный поток вещества, переносимого молекулярной диффузией через единицу поверхности в единицу времени, или скорость молекулярной диффузии составляет:

q_м=  

по своей структуре закон Фикка аналогичен закону Фурье, описывающему передачу тепла теплопроводностью. Причем аналогом grad температур является в данном случае grad концентрации, представляющий собой изменение концентрации диффундирующего вещества на единицу длины нормали между двумя поверхностями постоянных, но различных концентраций. Коэффициент пропорциональности D в выражениях закона Фикка называется коэффициентом молекулярной диффузии или просто коэффициент диффузии. Знак «-» указывает на то, что молекулярная диффузия протекает в направлениях уменьшения концентрации распределяемого компонента. Согласно уравнению 1 коэффициент диффузии выражается следующим образом:

Коэффициент диффузии показывает, какая масса вещества диффундирует через единицу поверхности в единицу времени и grad-те концентрации, равном единице. Сравнивая с процессом распространения тепла можно отметить, что коэффициент диффузии является аналогом теплопроводности (а).

Коэффициент молекулярной диффузии представляет собой физическую постоянную и представляет характеристику вещества проникать в среду. Величина коэффициента диффузии не зависит от гидродинамических условий, в которых протекает процесс. Значением коэффициента диффузии является функция свойств определенного вещества, свойств среды, через которые оно диффундирует, температура и давление. Обычно коэффициент диффузии возрастает с повышением температуры и уменьшением давления.

 

Конвективный перенос.

 

  

 

Скорость конвективного переноса вещества вместе с самой средой в направлении, совпадающем с направлением общего движения, равна:

q_к = cω

c – коэффициент пропорциональности

ω – скорость движения потока жидкости, газа, пара.

Суммарный перенос вещества вследствие молекулярной диффузии и переноса вещества по аналогии с тепловым обменом называется конвективным массообменом или конвективной диффузией. Распределение концентрации путем конвективной диффузии определяется в самом общем виде уравнением конвективной диффузии.

Выделим в потоке данной фазы элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Рассмотрим материальный баланс по распределяемому веществу для параллелепипеда в наиболее общем случае неустановившегося массообмена. Будем считать, что процесс переноса происходит в условиях установившегося потока массы. Распределяемое вещество проходит через грани параллелепипеда как путем конвективного переноса, так и путем молекулярной диффузии. Обозначим концентрацию распределяемого вещества в плоскости левой грани параллелепипеда площадью dydz через с. При проекции скорости на оси координат для данного элемента потока через ω_x, ω_y, ω_z, тогда масса вещества. Поступающего только путем конвективной диффузии через площадь dydz, т.е. в направлении оси х за время dτ составит:

На противоположной грани параллелепипеда скорость в направлении осей равна:

И концентрация:

Следовательно, за время dτ через противоположную грань параллелепипеда выходит путем конвективной диффузии:

Разность между массами вещества, прошедшего через противоположные грани за время dτ в направлении оси х равна:

 

аналогично оси х и у:

Таким образом, содержание распределяемого вещества в объеме параллелепипеда изменится за время dτ вследствие перемещения вещества только путем конвективной диффузии на величину:

В развернутом виде:

Согласно с уравнением для установившегося потока фазы величина в круглых скобках будет равна нулю. Следовательно,

Масса распределяемого вещества, поступающая в параллелепипед только путем молекулярной диффузии через грань dydz за единицу времени, составляет:

Масса вещества, выходящего путем молекулярной диффузии через противоположную грань, составляет:

Разность между массами продиффундировавшего через противоположные грани вещества за единицу времени:

Аналогично в направлении осей у и z:

Масса распределяемого вещества в объеме всего объема параллелепипеда за время dτ изменяется молекулярной диффузией на величину (*):

В результате изменения массы распределяемого вещества за время в объеме параллелепипеда соответствует:

Изменение массы распределяемого вещества за счет конвективной и молекулярной диффузии в объеме параллелепипеда по закону сохранения массы должно равняться соответственно изменению массы этого вещества во времени, т.е.

Соответственно получается, проводя соответствующие сокращения и перегруппировывая члены уравнения (*), получим:

 

или в краткой форме:

Уравнение (1) представляет собой уравнение конвективной диффузии. Оно выражает закон распределения концентрации данных компонентов в движущейся стационарной среде при стационарном процессе массообмена. Уравнение (1) по структуре аналогично уравнению конвективного теплообмена (уравнение Фурье – Кирхгоффа). Для установившегося теплообмена уравнение (1) примет вид:

при массообмене в неподвижной среде, т.е. конвективная составляющая в левой части равна нулю,

а

Уравнение (2) носит название второго закона Фика. В дифференциальном уравнении массообмена в движущейся среде, помимо концентрации, переменной является скорость потока. Поэтому данное уравнение надо рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями гидродинамики: уравнениями Навье – Стокса и уравнением неразрывности потока. Однако эта система уравнений не имеет аналитического решения и для получения расчетных зависимостей по массообмену приходится прибегать к преобразованию дифференциального уравнения массообмена в движущейся среде методами теории подобия.