Подобие процессов переноса масс.

 

Наиболее строгий и принципиально возможный путь нахождения коэффициента массообмена заключается в интегрировании уравнения диффузии в движущейся среде согласно с уравнением движения (уравнение Навье – Стокса, неразрывности потока при заданных граничных и начальных условиях). Эта система из указанных уравнений практически не имеет общего решения. Поэтому также как для гидродинамических, теплообменных уравнений не решая систему уравнений можно критериями подобия найти связь между переменными, характеризующими процесс переноса энергии в фазах в виде обобщенного (критериального) уравнения массоотдачи. Рассмотрим подобие граничных условий на границе между ядром потока фазы и пограничным слоем, а также на границе раздела фаз. На границе ядра потока с пограничным слоем

с₀ ≈ const. Подобие переноса вещества на границе раздела фаз установим на основе представления о диффузионном пограничном подслое. Масса вещества, переносимая в единицу времени к границе фазы в соответствии с уравнением массообмена составляет:

Та же масса вещества, переносимого молекулярной диффузией через пограничный слой и следовательно при τ = 1, т.е. процесс установившийся, имеем:

(1)

Приравнивая, сокращая, найдем зависимость, характеризующую подобие условия переноса на границе фаз. Обозначим у – у_гр = ∆у и подставим выше:

Учитывая, что для подобных процессов отношения сходственных величин равно отношению величин им пропорциональным. Запишем

dy ~ ∆y, а dn ~ ℓ - некоторым характерным линейным размерам. Разделив левую на правую и сократив, получим безразмерный комплекс величин, который носит название критерия Нуссельта для массообмена:

В сходственных точках подобных систем подобные точки равны. Равенство критериев Нуссельта отражает подобие переноса вещества у границы фаз в этих системах. В соответствии с уравнением массоотдачи, т.е.

 (*)

в первом приближении на основании этого уравнения (1) получим:

δ_эф – толщина диффузионного пограничного подслоя.

Приравнивая два уравнения, находим, что:

,

тогда критерий Nu будет представлен в виде

Таким образом, можно считать, что по порядку величины критерия Nu выражают отношения характерного геометрического размера к толщине диффузионного пограничного слоя. Для определения условий переноса вещества в пограничном слое используем дифференцированное уравнение конвективной диффузии для одномерного потока массы вдоль оси х, перпендикулярной поверхности раздела фаз:

- отражает изменение концентрации во времени,

- характеризует распределение концентрации, обусловленной конвективным переносом,

- распределение концентрации за счет молекулярной диффузии.

Запишем в таком виде:

Разделим 1 член левой части на правую часть, получим выражение, которое называется критерием Фурье:

Чтобы устранить неудобства, связанные с применением расчета больших численных значений, этот комплекс заменяют на

Отношение второго левого слагаемого уравнения 2 к его правой части называется критерием Пекле (Кр Ре) – выражает меру отношения массы вещества, перемещаемой путем конвективного переноса и молекулярной диффузии в подобных точках сходных систем. Во многих случаях вместо критерия Ре используют отношение критериев Ре и Rе, которое представляет собой критерий подобия Прандтля:

В критерий Pr входят только величины, отражающие физические свойства потока. Критерий Pr отражает постоянство физических свойств жидкости или газа в сходственных точках подобных потоков. Обычно определяемой величиной при расчетах массообмена является коэффициент массоотдачи (β), значение которого находится из критерия Nu. Следовательно, этот критерий можно считать определяемым. Обобщенное функциональное значение критериев Nu от определяющих критериев и симплексов подобия для неустановившихся процессов массообмена может быть выражено:

Nu = f (F₀, P_e, R_e, F_r, Г₁, Г₂,…)

Для установившихся процессов массообмена условия равенства критериев Фурье в сходственных точках отпадает и приведенная выше обобщенная зависимость приобретает вид: Nu = f (P_e, R_e, F_r, Г₁, Г₂,…).

 

 

Уравнение массопередачи.

 

Как отмечалось, процесс массопередачи включает процессы массообмена в пределах каждой из двух взаимодействующих фаз. И кроме того, процесс переноса распределяемого вещества через поверхность раздела фаз. Сложность расчета процесса распределяемого вещества через поверхность раздела фаз. Сложность расчета процесса связанности, что невозможно измерить концентрации фаз непосредственно у границы раздела. Учитывая это основное уравнение массопередачи, определяющее массу вещества, переносимого из фазы в фазу через поверхность в единицу времени, выражают уравнением:

где у*, х* - равновесные концентрации в данной фазе, соответствие концентрации распределяемого вещества в основной массе другой фазы.

к_у, к_х – коэффициенты массопередач, выраженные соответственно через концентрации фаз Фу и Фх. Коэффициент массопередачи показывает, какая масса вещества переходит из фазы в фазу через единицу поверхности контакта фаз за единицу времени при движущей силе массопередачи, равной единице. По физическому смыслу коэффициент массопередачи отличается от массообмена, но выражены в одинаковых с ним единицах измерения. Концентрация фаз изменяется при их движении вдоль поверхности раздела, соответственно изменяется движущая сила массопередач. Поэтому в уравнении массопередачи вводят величину средней движущей силы (∆у_ср или ∆х_ср). Тогда уравнение массопередачи запишется следующим образом:

С помощью этих уравнений находят среднюю поверхность раздела фаз и по ней рассчитывают основные размеры аппарата. Величина М рассчитывается либо из мат. баланса, либо задается.

 

 

75. Зависимость между коэффициентами массообмена и массопередачи.

 

Чтобы установить зависимость между β и К обычно принимают, что на границе раздела фаз достигается равновесие. Т.е. будем считать, что сопротивлением при переходе через границу раздела фаз можно пренебречь. Допустим, что распределяемое вещество переходит из фазы Фу в фазу Фх и движущая сила массопередачи выражается в концентрациях фазы Фу. При установившемся процессе массопередачи количество вещества, переходящего из фазы в фазу определим из основного уравнения массопередачи. Рассмотрим когда равновесная зависимость между концентрациями в фазах линейная, т.е. линия равновесия описывается уравнением:

y^*= mx, где m – тангенс угла наклона линии равновесия. Выразим движущую силу в уравнении массообмена в концентрациях фазы Ф_у. Принимаем, что концентрация распределяемого вещества в фазах непосредственно у границы равновесны друг другу. Тогда из уравнения линии равновесия следует,

что

 

где у^* - концентрация фазы Ф_у, равновесной с концентрацией х фазы Ф_х. Подставляя значения х_гр и х в уравнение массообмена, получим:

откуда:   (1)

Вместе с тем, из уравнения массообмена имеем:

(2)

Складывая уравнения (1) и (2) получим, исключая неизвестную нам концентрацию на границе раздела фаз, получим следующее:

 

Из уравнения массопередачи у нас будет:

Ну и приравнивая и сокращая подобные, получим:

(3)

При выражении коэффициент массопередачи в фазе Ф_х аналогичные рассуждения приводят к зависимости:

(4)

В левой части уравнений (3) и (4) члены представляют собой общее сопротивление при переносе вещества из фазы в фазу, т.е. сопротивление массопередачи. А их правые части – сумму сопротивлений массообменных масс в фазах. При m = const уравнение (4) можно получить, разделив уравнение (3) на m => что величины к_у и к_х связаны зависимостью:

.