Вопрос № 70. Понятие о переходных процессах. Причины возникновения переходных процессов. Законы коммутации. Независимые начальные условия.

Процесс, возникающий в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, то есть при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Причины возникновения переходных процессов:

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Законы коммутации:

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Независимые начальные условия:

Это электрические параметры, которые не изменяются скачком в момент коммутации, то есть, остаются неизменными в начале переходного процесса в электрической цепи.

Согласно законам коммутации, скачком не могут изменяться напряжения на ёмкостях и токи в индуктивностях. Поэтому значения этих величин в начале коммутации называются независимыми начальными условиями. Они не зависят от условий коммутации.

Все остальные величины — напряжения и токи на активных сопротивлениях, токи через ёмкости, напряжения на индуктивностях — в момент коммутации могут изменяться скачком (а могут и не изменяться). Значения этих величин в начале переходного процесса называются зависимыми начальными условиями.

Определение начальных независимых условий необходимо осуществить до начала расчёта переходного процесса, например, с помощью законов Ома и Кирхгофа, с помощью метода контурных токов и др.

Вопрос №71. Переходные процессы в RL-цепи первого порядка. Включение RL-цепи на постоянное напряжение. Короткое замыкание RL-цепи. Законы изменения тока и напряжения. Постоянная времени RL-цепи. Длительность процесса. Энергетический процесс.

Процессы в RL -цепи с последовательным соединением элементов (рис. 15.4, а) рассчитываются аналогично.

Рис. 15.4

Дифференциальное уравнение для тока имеет вид

L di/dt + Ri = u ₀(t).

Оно не требует преобразования, так как сам ток i является переменной состояния. Запишем общее решение уравнения в виде суммы вынужденной и свободной составляющих

Характеристическое уравнение

имеет корень l= – R / L, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид

где t= L / R — постоянная времени индуктивной цепи.

Вид частного решения i ' зависит от характера напряжения источника.

1. Включение к источнику постоянного напряжения (u ₀(t) = U ₀= const). В этом случае при t ® ¥в цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю, и все напряжение источника приложено к резистору. Поэтому этот ток будет равным i ' = U ₀/ R. Теперь для определения значений постоянной A в общем решении

используем, как и выше, закон коммутации — условие непрерывности тока в цепи в момент коммутации. Так как до замыкания i (– 0) = 0, то

и A = – U ₀/ R. Это приводит к окончательным выражениям для тока в цепи и напряжения на индуктивности

Характер зависимостей тока и напряжения на катушке от времени (рис. 15.4, б) аналогичен кривым для u_C (t) и i (t) в RC -цепи.

2. Замыкание цепи RL накоротко. Процессы при коротком замыкании цепи, в которой ранее протекал ток I ₀(рис. 15.5, а), описываются однородным уравнением (u ₀(t) = 0);

Рис. 15.5

общее решение для тока в цепи имеет лишь свободную составляющую

Из начального условия имеем i (0) = I ₀= A, поэтому окончательно

а напряжение на катушке равно

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.5, б. Ток после замыкания катушки сохраняет направление, а напряжение принимает скачком в момент коммутации значение – I ₀ R, после чего спадает по экспоненте. При большом значении сопротивления цепи разряда начальный скачок может вызвать перенапряжение на элементах цепи. Так, если закорачивающая ветвь сама имеет большое значение сопротивления R ₀>> R (изображено штриховой линией на рис. 15.5, а), модуль начального напряжения возрастет до значения I ₀(R + R ₀), что может привести к повреждению элементов цепи.

Вопрос №72. Переходные процессы в RС-цепях первого порядка. Включение RС-цепи на постоянное напряжение. Короткое замыкание RС-цепи. Законы изменения тока и напряжения. Постоянная времени RC-цепи. Реакция при нулевом входе и нулевом начальном состоянии. Длительность процесса. Энергетический процесс.

При анализе подключения RC -цепи к источнику напряжения u ₀(t) (рис. 15.1, а), согласно сказанному выше, из уравнений, составленных для цепи после коммутации, —

Рис. 15.1

при замкнутом ключе

исключим ток и сведем их к одному уравнению относительно переменной состояния u_C:

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений

Для нахождения второго из них составим характеристическое уравнение RC l+ 1 = 0, корнем которого являетсяl = – 1/ RC. Общее решение однородного уравнения — свободная составляющая напряжения u " _C — соответствует цепи с исключенным источником

где A — пока неопределенная константа;t= RC — величина, имеющая размерность времени, характеризующая скорость протекания переходного процесса, так называемая постоянная времени.

Характер частного решения — вынужденной составляющейu ' _C — определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника u ₀(t). В простейших случаях подключения цепи к постоянному источнику u ₀(t) = U ₀= const и замыкания конденсатора на резистор, когда u ₀(t) = 0, составляющую u ' _C можно найти, руководствуясь следующими соображениями. Вид общего решения u_C = u ' _C + Ae ^{– t /t}показывает, что u ' _C представляет собой значение напряжения на конденсаторе, которое будет достигнуто в установившемся режиме после окончания переходного процесса. Действительно, при t ® ¥ u_C (t)® u ' _C, так как свободная составляющая u " _C с течением времени затухает. Рассмотрим перечисленные случаи.