Интегрирующие и дифференцирующие цепи

   

На логических элементах собираются всякие формирователи, генераторы импульсов, устройства задержки. Для этого используют различные сочетания логических элементов с конденсаторами и резисторами. Наиболее употребительными являются RC-цепи, изображенные ниже.

Рис. 1 - Дифференцирующая цепочка и форма напряжения на входе и выходе

Вот такое соединение резика и кондера называется дифференцирующей цепью или укорачивающей цепью. На графиках показаны эпюры напряжения на входе и выходе этой цепи. Допустим кондер разряжен. При подаче на вход RC-цепи импульса напряжения кондер сразу же начнет заряжаться током, проходящим через него самого и резик. Сначала ток будет максимальным, затем по мере увеличения заряда конденсатора постепенно уменьшится до нуля по экспоненте. Когда через резик проходит ток, на нем образуется падение напряжения, которое определяется, как U=i R, где i-ток заряда кондера. Поскольку ток изменяется экспоненциально, то и напряжение будет изменяться также - экспоненциально от максимума до нуля. Падение напряжения на резике как раз таки и является выходным. Его величину можно определить по формуле U_вых = U₀e^-t/τ. Величина τ называется постоянной времени цепи и соответствует изменению выходного напряжения на 63% от исходного (e^-1 = 0.37). Очевидно, что время изменения выходного напряжения зависит от сопротивления резистора и емкости конденсатора и, соответственно, постоянная времени цепи пропорциональна этим значениям, т. е. τ = RC. Если емкость в Фарадах, сопротивление в Омах, то τ в секундах.

Если поменять местами резистор и конденсатор, как показано на рисунке 2, то получим интегрирующую цепь или удлиняющую цепь.

Рис. 2 Интегрирующая цепочка и формы напряжения на входе и выходе

Выходным напряжением в интегрирующей цепи является напряжение на кондере. Естественно, если кондер разряжен, оно равно нулю. При подаче импульса напряжения на вход цепи кондер начнет накапливать заряд, и накопление будет происходить по экспоненциальному закону, соответственно, и напряжение на нем будет нарастать по экспоненте от нуля до своего максимального значения. Его значение можно определить по формуле U_вых = U₀(1 - e^-t/τ). Постоянная времени цепи определяется по такой же формуле, как и для дифференцирующей цепи и имеет тот же смысл.

Для обеих цепей резик ограничивает ток заряда кондера, поэтому чем больше его сопротивление, тем больше время заряда конденсатора. Также и для кондера, чем больше емкость, тем большее время он заряжается.

     

38) - 39)

 Электрическая цепь синусоидального тока с емкостью

В экспериментальной установке включим в цепь набор конденсаторов (рис. 1, а). Считаем источники и конденсатор идеальными.Емкость составляет 106 мкФ. Приборы показывают те же самые показания, что и для установки с индуктивностью. Только изменился знак реактивной мощности. Если по аналогии с активным сопротивлением выразить сопротивление емкостей Х_С, то оно тоже составит 30 Ом.

 

Рис. 1.

Для постоянного тока оно бесконечно большое. В цепи с емкостью имеем два тока: в проводах, соединяющих конденсатор и емкость, - ток проводимости, в диэлектрике между пластинами конденсатора - такой же емкостной ток (ток смещения). Поскольку q = CU, а ток , то чем больше C, U_m и скорость изменения заряда q (которая зависит от частоты ), тем больший по амплитуде будет переменный ток i(t):

Выразим i(t) через U(t). Примем начальную фазу , т.е. . Тогда:

Когда ,

Выпишем отдельно полученные тригонометрические функции:

где

или для действующих значений,

,

где множитель - модуль емкостной проводимости B_C (Ом^-1)

Обратная ей величина - модуль емкостного сопротивления Х_С (Ом):

которое для установки (рис. 1, а) составляет 120 В / 40 А = 30 Ом. Те же 30 Ом получим из указанной выше формулы, подставив = 314 и С = 106 мкФ. Заменим временные функции символическими векторами:

Вектор (рис. 1, в) совпадает по направлению с действительной осью, опережает напряжение на угол . Отношение к дает комплексное (в данном случае емкостное - jX_C) сопротивление:

,

поскольку . Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости С и частоте . Мгновенная мощность равняется

Активная мощность - нулевое среднее значение заштрихованной на рис. 1, в синусоиде p(t) удвоенной частоты: в первую четверть периода зарядный ток и напряжение на емкости совпадают по направлению, электрическое поле увеличивает энергию CU² / 2, забирая ее у источника, емкость в режиме потребителя; во вторую четверть ток разряда емкости изменяет свое направление, энергия конденсатора уменьшается, потому что конденсатор разряжается на источник, который перешел сам в режим потребителя; далее происходит перезарядка конденсатора напряжением источника противоположного знака и, в последнюю четверть, - разрядка перезаряженного конденсатора. Прибор, измеряющий реактивную мощность Q, показывает Q_C = - 480 (ВАР). Дело в том, что прибор измеряет не просто амплитуду UI колебаний реактивной мощности, а значение , где . В случае с индуктивностью ; с емкостью . Поэтому принято считать, что Q_L > 0, а Q_C < 0.
Закон Ома для электрической цепи синусоидального тока с емкостью:

где комплексное сопротивление равняется мнимой величине - jX_C, что является емкостным сопротивлением.
Энергия W_C электрического поля конденсатора (рис. 1, в), как и катушки индуктивности, имеет пульсирующий характер.

40)

Реальный конденсатор (с потерями) можно представить эквивалентной схемой последовательного соединения резистивного сопротивления R и емкостного X_c

При последовательном соединении R и Xc приложенное напряжение U, согласно второму закону Кирхгофа, равно сумме падений напряжения в резистивном сопротивлении UR и на емкости UС

При синусоидальном токе

Напряжение на резистивном сопротивлении

Т.к. U_R совпадает по фазе с током.

Напряжение на ёмкости

Т.е. напряжение U_C отстаёт от тока на .

Действующие значения напряжений определяется по формулам.

Уравнение общего напряжения можно записать в следующем виде:

Несовпадение по фазе слагаемых в уравнении затрудняет определение амплитуды и действующего значения приложенного к цепи напряжения.

Воспользуемся векторным способом сложения синусоидальных величин

41) –

42) -

43)

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока.
Методы расчета цепей синусоидального тока

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

П е р в ы й: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

, (2.8)

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

В т о р о й: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

, (2.9)

где m – число ветвей, образующих контур.

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Кирхгофа в векторной форме:	Законы Кирхгофа в символической форме:
(2.10)	(2.11)

44)

Компенса́цияреакти́вноймо́щности — целенаправленное воздействие на баланс реактивной мощности в узле электроэнергетической системы с целью регулирования напряжения, а в распределительных сетях и с целью снижения потерь электроэнергии^[1]. Осуществляется с использованием компенсирующих устройств. Для поддержания требуемых уровней напряжения в узлах электрической сети потребление реактивной мощности должно обеспечиваться требуемой генерируемой мощностью с учетом необходимого резерва. Генерируемая реактивная мощность складывается из реактивной мощности, вырабатываемой генераторами электростанций и реактивной мощности компенсирующих устройств, размещенных в электрической сети и в электроустановках потребителей электрической энергии.

Компенсация реактивной мощности особенно актуальна для промышленных предприятий, основными электроприёмниками которых являются асинхронные двигатели, в результате чего коэффициент мощности без принятия мер по компенсации составляет 0,7— 0,75. Мероприятия по компенсации реактивной мощности на предприятии позволяют:

· уменьшить нагрузку на трансформаторы, увеличить срок их службы,

· уменьшить нагрузку на провода, кабели, использовать их меньшего сечения,

· улучшить качество электроэнергии у электроприемников (за счёт уменьшения искажения формы напряжения),

· уменьшить нагрузку на коммутационную аппаратуру за счет снижения токов в цепях,

· избежать штрафов за снижение качества электроэнергии пониженным коэффициентом мощности,

· снизить расходы на электроэнергию.

 

46. «Проводимости ветвей и полная проводимость. Треугольники токов и проводимостей. Связь между действующими (и амплитудными) значениями тока и напряжения. Энергетический процесс.»

1. для расчета сложных электрических цепей и цепей переменного тока, вместо сопротивления используют проводимость.

Проводимость в цепи постоянного тока g — величина, обратная сопротивлению

3 типа: активное-g, реактивное- b, полное- y. Полная проводимость равна обратному полному сопротивлению: y= 1/z

первый- треугольник токов, второй, проводимостей.

47. «сущность символического метода. Три формы записи комплексного числа»

Суть метода состоит в том, что величины, характеризующие электрическую цепь (сила тока, напряжение, сопротивление, мощность), описываются c помощью аппарата комплексных чисел, a они в свою очередь, могут быть представлены в виде векторов на комплексной плоскости. Ha этих векторах в ходе расчета строят так называемые векторные диаграммы

 алгебраическая запись

 тригонометрическая запись

 показательная форма записи

48. «выражение тока, напряжения, сопротивления, проводимости, эдс электромагнитной индукции, мощность комплексными числами. Законы ома и кирхгофа в символическом виде»

напряжение комлексным числами  ток комплексными числами полное сопротивление полное проводимость  полная мощность

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Тогда по второму закону Кирхгофа,

 

49. «комплексная передаточная функция. Частотные характеристики. АЧХ, ФЧХ. Годограф. Частотные характеристики простейших двухполюсников»

Передаточная комплексная функция (коэффициент передачи, системная функция) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме. Предполагается, что в цепи действует одно внешнее воздействие, т. е. цепь содержит один источник воздействия, а другие независимые источники напряжения или тока отсутствуют или не действуют.
Различают четыре вида передаточных функций:
передаточная функция по напряжению

передаточная функция по току

передаточное сопротивление

передаточная проводимость

Передаточные функции

Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного сигнала. А также функция выражающая (описывающая) эту зависимость. А также — график этой функции. (Математически амплитуда — это модуль некоторой комплекснозначной функции от частоты.) Также может рассматриваться АЧХ других комплекснозначных функций частоты, например, спектральной плотности мощности сигналаФа́зочасто́тная характеристика (ФЧХ) — зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции.

· Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.

Годограф вектор-функции х (t) – кривая, описываемая концом переменного вектора х (t), начало которого при всех значениях t – постоянная точка О (t – действительная переменная величина, например, время).
Годограф даёт наглядное представление об изменении величины, изображаемой переменным вектором, и о скорости этого изменения, направленной по касательной к годографу. Например, если скорость точки – величина, изображаемая переменным вектором то, отложив значения этого вектора в разные моменты времени от какой-то точки О, получим годограф скорости. При этом вектор, характеризующий быстроту изменения скорости в некоторой точке М, т.е. ускорение в этой точке, в любой момент времени направлен по касательной к годографу скорости в соответствующей его точке.

комплексные спектральные плотности

 где - спектральная плотность напряжения, - фазовая плотность напряжения.

50. «понятие о колебательном контуре. Свободные колебания в идеальном контуре. Полное сопротивление контура. Свободные колебания в реальном контуре. Затухание колебаний. Добротность колебаний»

Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Свободные электрические колебания в идеальном колебательном контуре являются гармоническими.

Заряд на конденсаторе изменяется по закону:

q = q0cos ω0t.

Учитывая, что U = q / C, можно так же получить уравнение для изменения напряжения на конденсаторе:

u = U0cos ω0t.

Ток в катушке индуктивности:

i = I0cos (ω0t + π/2),

или

i = I0sin ω0t.

Период свободных колебаний определяется параметрами самой колебательной системы: индуктивностью и емкостью (формула Томсона):

Угловая частота свободных колебаний в реальном колебательном контуре:

 Реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, поэтому при воздействии в контуре свободных колебаний энергия предварительно заряженного конденсатора постепенно тратится, переобразуясь в тепловую.

Свободные колебания в контуре являются затухающими, так как в каждый период энергия уменьшается и амплитуда колебаний в каждый период будет уменьшаться.

 Угловая частота свободных колебаний в реальном колебательном контуре:

для характеристики интенсивности затухания свободных колебаний используется понятие “затухание контура” - отношение активного сопротивления к характеристическому:

добротность контура:

51. «последовательный колебательный контур. Вынужденные колебания. Полное сопротивление контура, его составляющие и зависимость их от частоты. Резонанс напряжений, условие его возникновения. Признаки резонанса. Резонансная частота. Векторная диограмма»

сопротивление последователь­ного колебательного контура

.

Условие резонанса:

,

где ω₀ – резонансная частота.

Из этого условия находим . Если частота эдс – Е меняется вблизи резонансной в наибольших пределах, то можно написать

,

где .

 

 

52. «последовательный колебательный контур. Коэффициент мощности. Коэффициент передачи по напряжению. Добротность. АЧХ и ФЧХ»

Послед. Колебат. Контур см. выше.

Для расчётов в случае гармонических переменных U (напряжение) и I (сила тока) используются следующиематематические формулы:

1.

2.

3.

4.

Здесь — активная мощность, — полная мощность, — реактивная мощность.

Коэффициент передачи по напряжению

 Добротность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Для последовательного Колебательного контура в RLC цепях, в котором все три элемента включены последовательно:

,

где , и — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

Зависимость тока в контуре или напряжения на реактивных элементах от частоты питающего генератора при постоянном по величине напряжении генератора называется резонансной кривой или амплитудно-частотной характеристикой контура.

= .

Окончательно уравнение амплитудно-частотной характеристики контура запишется в виде:

.

Фазовая характеристика контура

53. «последовательный колебательный контур. Расстройка. Полоса пропускания и избирательность. Практическое использование последовательных колебательных контуров»

При настройке контура в резонанс , обобщенная расстройка , реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю и эквивалентное сопротивление контура равно . Характер зависимости свидетельствует о том, что колебательный контур обладает свойством избирательности. Количественно избирательность контура оценивается коэффициентом прямоугольности , который равен отношению ширины резонансной кривой на уровне 0,7 к ширине на уровне 0,1. Чем больше значение добротности, тем лучше избирательность контура. Для одиночных колебательных контуров .

выражение для полосы пропускания колебательного контура. Полоса пропускания оценивается по уменьшению тока в контуре или напряжений на реактивных элементах в раз по сравнению с их значениями на резонансной частоте. Из формулы для АЧХ контура найдем полосу пропускания:

. (3.88)

Отсюда полоса пропускания контура на уровне Будет равна:

В схемотехнике последовательный колебательный контур применяется, если необходимо пропустить сигнал определенной частоты и отфильтровать все другие. Колебательные контуры бывают небольшие, рассчитанные на работу с небольшими токами и напряжениями, например, во входных и внутренних цепях радиоприемника. Но бывают и силовые, рассчитанные на большие токи и напряжения, например, в радиопередатчиках, силовых резонансных фильтрах и т. д.

 

54. «параллельный колебательный контур. Токи в ветвях и в неразветвленной части цепи. Резонанс токов, условие его возникновения. Признаки резонанса. Резонансная частота. Векторная диаграмма»

Параллельный колебательный контур состоит из параллельно включенных катушки индуктивности и конденсатора. Активное сопротивление катушки индуктивности равно , а потери электромагнитной энергии в конденсаторе эквивалентны некоторому активному сопротивлению . Контур питается идеальным генератором тока.

Входное сопротивление контура при резонансе становится активным и равно:

(3.95)

Следовательно, ток в контуре на резонансной частоте равен:

(3.96)

Таким образом, токи в ветвях контура при резонансе в раз превышают ток внешнего генератора. Поэтому говорят, что в параллельном контуре имеет место резонанс токов.

Токи в ветвях контура также зависят от частоты. На резонансной частоте сопротивление катушки индуктивности по модулю становится равным модулю сопротивления конденсатора и токи в ветвях контура будут равны по абсолютной величине и противоположны по фазе. При этом ток в общей ветви в случае идеального контура был бы равен 0. На резонансной частоте в контуре протекает ток

Условия получения резонанса токов такие же, как и для резонанса напряжений: f = f₀ или x_L = х_C. Однако по своим свойствам резонанс токов во многом противоположен резонансу напряжений. В этом случае на катушке и на конденсаторе напряжение такое же, как у генератора. При резонансе сопротивление контура между точками разветвления становится максимальным, а ток генератора будет минимальным. Полное (эквивалентное) сопротивление контура (Z) для генератора при резонансе токов R_эможно подсчитать по любой из следующих формул

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона:

Векторная диаграмма параллельной RLC-цепи (рис. 2) соответствует комплексной схеме замещения и правилам качественного построения векторных диаграмм.

55. «параллельный колебательный контур. Полное эквивалентное сопротивление контура при резонансе при расстройках, его активная и реактивная составляющие. Эквивалентная добротность параллельного контура с учетом влияния внутреннего сопротивления генератора»

Полное (эквивалентное) сопротивление контура (Z) для генератора при резонансе токов R_э

Сопротивление R_э, называемое резонансным сопротивлением, является чисто активным и поэтому при резонансе токов нет сдвига фаз между напряжением генератора и его током.

Ζ = R + (jωL + 1 / jωC) = R + jωX (при расстройках)

эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой по уровню с круговой частотой резонанса

где δ — логарифмический декремент затухания, равный отношению полуширины резонансной кривой к частоте резонанса, — число колебаний за время релаксации.

 

56. «параллельный колебательный контур. АЧХ и ФЧХ характеристики параллельного контура. Полоса пропускания контура и ее зависимость от внутреннего сопротивления генератора. Избирательность параллельного контура при различных внутренних сопротивлений генератора»

График АЧХ для последовательного контура приведён на рис.3. Из графика видно, что графики АЧХ для C и L пересекаются при резонансной частоте w = . Найдём частоты, при которых АЧХ достигает максимума. Они равны

w = (1)

w = (2)

- для R,

- для C,

- для L.

рис.3.

Графики ФЧХ выглядят следующим образом

рис.4

- для R

каждый контур хорошо пропускает колебания в пределах некоторой полосы частот, располагающейся по обе стороны от резонансной частоты. Ее называют полосой пропускания контура Ппр и условно определяют по резонансной кривой на уровне 0,7 от максимального значения тока или напряжения, соответствующего резонансной частоте (рис.1).

 

Рис.1 - Полоса пропускания контура

контур хорошо пропускает колебания тогда, когда их амплитуда уменьшается не более, чем на 30% по сравнению с амплитудой при резонансе. Полосу пропускания контура иногда называют также шириной кривой резонанса. Качество контура влияет на форму резонансной кривой.

Внутреннее сопротивление генератора, питающего параллельный контур, также влияет на добротность контура и его поласу пропускания. Это можно легко объяснить следующим образом.
Пусть генератор в какой-то момент прекратил свое действие. Тогда колебания в контуре станут затухать, а внутреннее сопротивление генератора, присоединенного к контуру, будет играть роль шунтирующего сопротивления, увеличивающего затухание.
Чем больше Ri генератора, тем слабее его влияние, а значит, кривая резонанса контура острее и его полоса пропускания меньше, т.е. резонансные свойства контура выражены резче. При малом Ri генератора добротность контура настолько снижается и полоса пропускания становится такой широкой, что резонансные свойства у контура практически отсутствуют.