Дифференциальные уравнения высшего порядка

§6 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

1.Пусть дано дифференциальное уравнение вида

y ^{( n )} = f (x).                                        (19)

Учитывая, что правая часть является функцией только аргумента и, учитывая определение производной n-го порядкаy⁽ⁿ⁾ = [y^(n-1)]’, перепишем уравнение в виде:

                              z’ = f(x),   где z(x) = y^(n-1)                                                      (20)

 

Дифференциальное уравнение (20) – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. После интегрирования и обратной замены, получим:

                                                                         (20)

Таким образом, в результате такой замены и последующего интегрирования получено дифференциальное уравнение на один порядок ниже. Произведя аналогичную операцию n раз, получим решение уравнения (19):

 

Пример 6.1.            

2. Уравнение не содержит независимого переменного:

                              F(y, y’, y”,………,y⁽ⁿ⁾) = 0.

В этом случае порядок уравнения может быть понижен на единицу подстановкойy’ = p(y). Правая часть подстановки рассматривается как новая переменная, зависящая от y(x), и, следовательно, все производные необходимо выразить через производные новой неизвестной функции p(y) поy, дифференцируя функцию p(y) как сложную.

В частности, если уравнение второго порядка F (y, y ’, y ”)=0 не содержит независимой переменной, то указанная замена приводит к уравнению первого порядка. Действительно, дифференцируя подстановку y’=p(y), найдем вторую производную и, произведя замену, получим дифференциальное уравнение первого порядка: F(y, p, p’) = 0.

Пример 6.2.                                                           Так как дифференциальное уравнение не содержит независимую переменную, то заменой y’ = p(y), y” = p’p приведем его к виду: p’p + p² = 1→ p’·p =1 – p². Полученное уравнение с разделяющимися переменными первого порядка и начальным условием y’(0) = p(0) = 1.Интегрируя уравнение, получим ln|1-p²| = -2y + C₁ →|1-p²| = C₁e^-2y и, после подстановки начального условия и определения произвольного постоянного С₁=0, получаем уравнение вида p² = 1→ p = 1→y’ = 1 с начальным условием y(0) = 0. Его решение y = x + C₂,y(0) = 0.    Окончательное решение y = x.  

Пример 6.3.  дифференциальное уравнение не зависит от аргумента. Произведем выше указанную замену. Данное уравнение имеет решение p = 0 или y = C. После сокращения на p, получим дифференциальное уравнение решение которогоln|p| = 2ln|y-1| + lnC₁→ p=C₁(y-1)². Произведем обратную замену p = dy/dx и придём к уравнению  после интегрирования которого,получаем решение дифференциального уравнения → или

3. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка   k -1 включительно: 

F(x,  y^(k), y^(k+1), y^(k+2),………,y⁽ⁿ⁾) = 0.

В этом случае порядок дифференциального уравнения может быть понижен до n- k подстановкой y^(k) = z(x), y^(k+1) = z’(x), y^(k+2) = z”(x)…….., y⁽ⁿ⁾= z^(n-k).

В частности, уравнение второго порядка F(x,y’,y”) = 0 подстановкой y’ = z(x), y” = z’(x) сводится к уравнению первого порядка F(x,z,z’) = 0.

Пример 6.3. Уравнение не содержит неизвестную функцию u(r). Произведём замену  Подставим в уравнение и после преобразования получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решение которого  . После обратной замены и интегрирования уравнения найдём искомую функцию

Лекция 5.

 

§7 Линейные дифференциальные уравнения n–го порядка

Определение. Линейным уравнением n–го называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеет вид

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1)+ a₂(x)y^(n-2)+…………+ a_n-2(x)y”+ a_n-1(x)y’+ a_n(x)y= φ(x).              (21)

 

Если φ(x) = 0 (тождественно), то уравнение называется линейным однородным, так как оно однородно относительно неизвестной функции и её производных.

Если коэффициенты a_i(x) (i=0.1,2,….,n) непрерывны на некотором отрезке [α,β] и не в одной точке этого отрезка не обращаются в ноль, то, разделив уравнение (21) наa₀(x), приведем это уравнение при x, изменяющемся на отрезке [α,β], к виду

y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y= f(x).            (22)

или                                     

                         (22₁)

Нетрудно показать, что если коэффициенты p_i(x) (i=1,2,…..,n) и f(x) непрерывны на отрезке [a,b], то в окрестности любых начальных значений

y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀^’, y”(x₀)=y₀^”,…………., y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1),                        где x₀ – любая точка интервала (a,b), удовлетворяются условия теоремы существования и

единственности решения уравнения (22).

Пусть задано однородное линейное дифференциальное уравнение

       y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y= 0.    (23)

 

Запишем его кратко в виде

                              D(y) = 0,                                                                          (24)   где D(y) = y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y, который будем называть линейным дифференциальным оператором.                                                       Оператор D(y) обладает двумя следующими свойствами:

1. Постоянный множитель можно выносить из под знака оператора т.е. D(ky)=k·D(y).

Действительно, D(ky)= (ky)⁽ⁿ⁾+ p₁(x)(ky)^(n-1)+…………++ p_n-1(x)(ky)’+ p_n(x)(ky) = k(y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y).=k·D(y).

2. Линейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций, равен сумме дифференциальных операторов этих функций, т.е.                D(y₁₊ y₂)= D(y₁)+D(y₂).                                                                                                  Доказывается аналогично, учитывая свойство производной суммы функций.

 

Следствие. Дифференциальный оператор, примененный к линейной комбинации функций равен линейной комбинации дифференциальных операторов данных функций. т.е.

Рассмотрим свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

Теорема 7.1. Если y ₁ решение уравнения (24), то и произведение постоянного множителя k и этого решения k · y ₁ также является решением.

Доказательство. По условию D(y₁) = 0. Тогда, учитывая первое свойство дифференциального оператора, получим D(k·y₁) = k· D(y₁) = k·0 = 0. Свойство доказано.

Теорема 7.2. Если y ₁ и y ₂, решения уравнения (24), то и их сумма является решением уравнения (24).                                                                      Доказательство. По условию D(y₁) = 0, D(y₂) = 0. Тогда, учитывая второе свойство дифференциального оператора, получимD(y₁+y₂) = D(y₁)+ D(y₂) = 0. Свойство доказано.

 

Следствие. Если y_i (i =1, 2,…., n) решения уравнения (24), то и их линейная комбинация является решением уравнения (24), т.е.

Теорема 7.3. Если линейное однородное уравнение D (y) = 0 с действительными коэффициентами p_i (x)имеет комплексное решение y (x)= u (x)+ i · v (x), то действительная часть этого решения u (x) и его мнимая часть v (x) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения.

Замечание. Не вдаваясь в подробности теории комплексных чисел и функций отметим, что комплексным числом называется число вида a +i·b, где i= - мнимая единица, a – действительная часть комплексного числа, i·b – мнимая часть комплексного числа, a, b - действительные числа.

Комплексная функция действительного аргумента имеет вид - u(x)+i·v(x), где u (x), v (x) - функции действительного аргумента x.

 Сформулируем теорему 5.4, необходимую для доказательства теоремы 5.3:

две комплексные функции равны тогда и только тогда, когда равны функции их действительных и мнимых частей соответственно.

В частности, если u (x)+ i · v (x) = 0, то u (x)=0, v (x)=0.

Приведем также формулу Эйлера, связывающую показательное представление комплексного числа и тригонометрическое:

                   e^α+i·β =e^α(Cosβ + i·Sinβ)                                                   (25)

Доказательство теоремы 5.3. Пусть комплексная функция u(x)+i·v(x) является решением уравнения D(y) = 0, т.е. D(u(x)+i·v(x)) = 0. Тогда, учитывая свойства дифференциального оператора, можно записать D(u(x)+i·v(x)) =D(u(x)) + i· D(v(x)) = 0. Следовательно, согласно теореме 5.4, можем записать D(u(x)) = 0 и D(v(x)) = 0. А это означает, что функции u(x) и v(x) являются решениями линейного однородного уравнения. 

Определение. Функции y ₁ (x), y ₂ (x), y ₃ (x),……., y_n (x)называются линейно зависимыми на некотором отрезке a ≤ x ≤ b, если существуют постоянные величины α₁,  α₂, α₃,………., α _n такие, что на том же отрезке

α _{n ·} y_n (x) + α _{n ·} y_n (x) + α _{n ·} y_n (x) + ………..+ α _{n ·} y_n (x) = 0,                                     (26)

причем, хотя бы одно α _i ≠ 0.

Если же тождество (26) справедливо лишь при α₁ = α₂ =……… = α _n = 0, то совокупность функций y ₁ (x), y ₂ (x), y ₃ (x),……., y_n (x) называется линейно независимой на том же отрезке.

Укажем некоторые совокупности линейно независимых функций:

а) 1, x, x², x³, x⁴,………., x^k; b) e^k_1, e^k_2, e^k_{3, ………,} e^k_n, (k_i≠ k_j);

c) Cosα, Sinα, Cos2α, Sin2α, Cos3α, Sin3α,………….,Cosnα, Sinnα.

d) f(x), x f(x), x² f(x), x³ f(x), x⁴ f(x),………., x^k f(x); 

Для определения линейной зависимости или независимости совокупности функций y₁(x), y₂(x), y₃(x),……., y_n(x) применяется определитель Вронскогоn-го порядка, состоящего из совокупности функций и их производных до n-1 порядка.

Если определитель Вронского отличен от нуля во всех точках некоторого множества, то совокупностьy₁(x), y₂(x), y₃(x),……., y_n(x) функций линейна независима на этом множестве. Если же хотя бы в одной точке обращается в ноль, то - зависима на этом множестве.

       Учитывая, что в этом курсе будут рассмотрены дифференциальные уравнения не выше четвертого порядка, укажем более простой признак зависимости совокупности функций y₁(x), y₂(x), y₃(x),……., y_n(x).

       Если попарное отношение двух функций является функцией, то совокупность линейна независима на множестве, а если отношение хотя бы одной пары равна константе(числу), то линейно зависима на этом множестве.

       Пример 7.1. Показать, что функции e^x, e^2x, e^3xлинейно независимы. Действительно →  Таким образов, попарные отношения функций – функции и, следовательно, функции e^x, e^2x, e^3x линейно независимы.

       Пример. Определить зависимость функций – e^βx, x·e^βx, x²·e^βx.

Решение. Найдем попарное отношение функций:  Отношения функций также являются функциями. Следовательно, совокупность функций линейна независима.

 

Лекция 6.

 

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (без доказательства).

Общим решением на множестве x ϵ [ a, b ] линейного однородного дифференциального уравнения

y ^{( n )} + p ₁ (x) y ^{( n -1)} + p ₂ (x) y ^{( n -2)} +…………+ p_{n -2} (x) y ”+ p_{n -1} (x) y ’+ p_n (x) y = 0.                        с непрерывными на отрезке [ a, b ] коэффициентами p_i (x) (i =1,2,3,4,…., n) является линейная комбинация n линейно независимых на том же отрезке частных решений y_i (x) (i =1,2,3,4,…., n) с произвольными постоянными коэффициентами.

Следствие. Из определения следует, что частных решений должно быть ровно столько каков порядок линейного однородного дифференциального уравнения, и они должны быть линейно независимы.

 

§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения

          с постоянными коэффициентами

Если в линейном однородном уравнении

a₀y⁽ⁿ⁾+ a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2)+…………+a_n-2y”+ a_n-1y’+ a_ny= 0                          (27) 

 все коэффициенты a_i постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде y=e^kx, где k – постоянная.

Действительно, подставляя в уравнение (27) y=e^kx и y⁽ⁱ⁾ = kⁱ·e^kx(i=1,2,…….,n), получим:      a₀kⁿe^kx+ a₁k^n-1e^kx+a₂k^n-2e^kx+…………+a_n-2k²e^kx+ a_n-1ke^kx+ a_ne^kx= 0.  

Так как показательная функция не обращается в ноль на всей числовой оси, то, сокращая на e^kx, получим алгебраическое уравнение относительно k:

a₀kⁿ+ a₁k^n-1+a₂ k^n-2 +…………+a_n-2 k²+ a_n-1k+ a_n= 0,                              (28)  

 

которое называется характеристическим для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Это уравнение n-ой степени определяет те значения k, при которых y=e^kx является решениемисходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (27).

       Таким образом, если k_s– решение уравнения (28), то функция y=e^k_s^x есть частное решение уравнения (27).

       В дальнейшем будут рассматриваться линейные дифференциальные уравнения второго порядка

a₀y” + a₁y’ + a₂y = 0,                                                                   (29)

 

но все результаты и выводы можно распространить и на уравнения n-го порядка.

Характеристическое уравнение для уравнения (29) имеет вид:                          

a₀ k² + a₁k + a₂ = 0.

Оно имеет два корня k₁ и k_2.  Рассмотрим три случая вида общего решения уравнения (29) в зависимости от значений корней характеристического уравнения.

1. Корни k₁ и k₂ действительные и различные k₁ ≠ k₂. Им отвечают два частных решения y₁=e^k₁^x; y₂=e^k₂^x. Убедимся, что они линейно независимы

e^k₁ ^x/e^k₂ ^x= e ^(k₁^-k₂ ^x)≠const. Поэтому общее решение, согласно теореме о структуре   y= C₁y_{1 +}   C₂y₂=C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x

Пример 8.1. y’” – 2y” – 8y’ = 0. Характеристическое уравнение соответствующее однородному -k³ – 2k² – 8k = 0 или k(k² – 2k – 8) = 0. Его решениями будут     k₁ = 0, k₂ = -2, k₃ = 4. Тогда общим решением будет y = C₁ + C₂e^-2x + C₃e^4x.

 

2. Корни k₁ и k₂ действительные и одинаковые k₁ = k₂. Им отвечают два частных решения y₁=e^k₁^x; y₂=e^k₂^x. Убедимся, что они линейно зависимы

e^k₁ ^x/e^k₂ ^x= e ^(k₁^-k₂ ^x) = e⁰ = 1= const.Для того чтобы они были независимыми умножим второе решение на аргумент, т.е. y₂ = x·y₁ = x·e^k₁^x. Убедимся, что эта функция будет решением уравнения (29), учитывая что y₁ –частное решение.

 Подставим y₂ = x·y₁ в (29), учитывая y₂^’= x·y₁^’+ y₁; y₂” = x·y₁” + 2· y₁^’ → a₀ (x·y₁” + 2· y₁^’)+ a₁(x·y₁^’+ y₁) + a₂y₁ = 0. Учитывая, что a₀y₁” + a₁y₁’ + a₂y₁ = 0 и y₁=e^k₁^x, получим e^k₁^x(2k₁a₀ + a₁) = 0. Так как по теореме Виетта 2k₁ = -a₁/a₀.

Таким образом, в случае кратного корня общее решение уравнения (29) имеет вид

                              y = (C₁ + C₂x) e^kx, где k – корень характеристического уравнения кратности 2.

       Если корень кратности p, то ему отвечает решение (C ₁ + C ₂ x + C ₃ x ² +……+ C_px^{p -1}) e^k_p ^x

           

       Пример 8.2. Найти общее решение уравнения y’”-3y”+3y’-y = 0.

Его характеристическое уравнениеk³- 3k²+3k-1=0 или (k – 1)³=0. Следовательно, k = 1, которому отвечает частное решениеy₁=e^x. Так как корень кратности 3, то два других частных решения будут y₂=x·e^xy₃=x²·e^x. Итак, общее решение y = (C₁ + C₂x + C₃x²)e^x.

 

Корни комплексно-сопряженные k_1,2 = α ± iβ. Этим корням отвечают два частных решения y₁=e^{(α-iβ) x}, y₂=e^{(α+iβ) x}. Но если задача решается на множестве действительных чисел, то работа с комплексными числами вызывает определенные трудности, которые можно обойти, применяя формулу Эйлера, так что

                   e^{(α-iβ) x} = e^αxCosβx - ie^αxSinβx

                          e^{(α+iβ) x} = e^αxCosβx + ie^αxSinβx.

       Таким образом, учитывая теорему 7.3, частными решениями будут функции

       y₁= e^αxCosβx, y₂ = e^αxSinβx, а общим решением - y =e^αx(C₁·Cosβx+ C₂·Sinβx).

           

       Пример 8.3. Решить y” - 6y’+ 13y = 0.

Характеристическое уравнение – k² – 6k + 13 = 0 → . Итак, частными решениями будут функции y₁=e^3xCos2x, y₂=e^3xSin2xи общим - y =e^3x(C₁Cos2x + C₂Sin2x).

 

    §9. Неоднородные линейные уравнения высших порядков

       Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:

       a₀(x)y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1)+ a₂(x)y^(n-2)+…………+ a_n-2(x)y”+ a_n-1(x)y’+ a_n(x)y= φ (x)

или, после деления на a ₀ (x), если коэффициент a ₀ (x) ≠ 0 на отрезке x ϵ [ a, b ] и φ(x)≠0, уравнение:

y ^{( n )} + p ₁ (x) y ^{( n -1)} + p ₂ (x) y ^{( n -2)} +…………+ p_{n -2} (x) y ”+ p_{n -1} (x) y ’+ p_n (x) y = f (x). (30)

Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, можно записать в виде:

                                          D(y) = f(x).                                                           (31)

Если при всех x ϵ [a,b] коэффициенты уравнения и правая часть непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям

                   y^(k)(x₀) = y₀^(k)                      (k = 1,2,3,………,n-1),                            где y₀^(k)- любые действительные числа, а x_{0 –} любая точка интервала (a,b).

Назовём уравнение                    

D(y) = 0                                                                (32)

однородным, соответствующим неоднородному уравнению (31).

Из двух свойств линейного оператора D(y) непосредственно следуют следующие свойства решений неоднородного уравнения

1) Сумма частного решения y _ч неоднородного уравнения и y ₀ соответствующего однородного является решением неоднородного уравнения (31).

Доказательство. По условию D(y_ч) = f(x), а D(y₀) = 0. Тогда D(y_ч+y₀) = D(y_ч)+ D(y₀) = f(x). Что и требовалось    доказать.

2) Если y_i является решением уравнения D(y_i) = f_i(x) (i=1, 2,…..,k), то y = т является решением уравнения (31)  где α_i – постоянные.

Доказательство. По условиюD(y_i) = f_i(x)  Что и требовалось доказать.    

Это свойство еще называется принципом суперпозиции (или наложения) и может быть распространено на случай k→∞

 

Теорема 9.1(без доказательства). Общее решение на отрезке x ϵ [ a, b ] уравнения D (y) = f (x) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами p_i (x) и правой частью f (x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (32) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения (31), линейно независимого с решениями однородного, т.е.

,

где y_ч – частное решение, y_i – частные решения соответствующего однородного уравнения, c_i – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

 

       Лекция 7

§10. Метод вар и ации произвольных постоянных решения

       неоднородных линейных дифференциальных уравнений  

 

Метод вариации рассмотрим на примере дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть дано уравнение

a₀(x)y” + a₁(x)y’ + a₂(x)y = f(x)                                       (33)     

 

и пусть                     y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x)                                                               (34)

общее решение соответствующего однородного уравнения a₀(x)y” + a₁(x)y’ + a₂(x)y =0. Положим в этом решении произвольные постоянные функциями C₁(x), C₂(x), которые необходимо определить,и найдем производную решения (34)

      

Положим в этом решении первые два слагаемых нулю и, таким образом, получим первое условие для отыскания C₁(x) и C₂(x):

                              C₁^’(x)y₁(x) + C₂^’(x) y₂(x) = 0                                                       (35)

Вычислим вторую производную, учитывая равенство (35),

      

и подставим ее, первую производную и решение в уравнение (33).

Приведем подобные члены с C₁(x) и C₂(x) и получим

Нетрудно видеть, что первые две квадратных скобки обращаются в ноль, так как y₁(x) и y₂(x) являются частными решениями однородного уравнения, и в результате получаем второе уравнение для отыскания C₁(x), C₂(x).   

       Таким образом, для получения функций C₁(x) и C₂(x) следует решить систему двух дифференциальных уравнений

                                          C₁^’(x)y₁(x) + C₂^’(x) y₂(x) = 0 

                                          C₁^’(x)y’₁(x) + C₂^’(x) y’₂(x) = f(x)/a₀.                                    

Результатом решения системы будут два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными, интегрируя которые получим выражения для C₁(x)  и C₂(x)

       C₁(x) = C (₂x) = .

Подставляя их в решение (35), окончательно получим решение уравнения (33)

                   y = k₁y₁(x) + k₂y₂(x) + y₁(x)  + y₂(x)

       Пример 10.1. Найти общее решение уравнения y” + y = 1/Cosx

1. Решим однородное соответствующее неоднородному y” + y = 0

2. Характеристическое уравнение k² +1 = 0

3. Корни k = ±iи частные решения y₁=Cosx, y₂=Sinx

4. Общее решение однородного уравнения y = C₁Cosx + C₂Sinx

5. Полагаем произвольные постоянные функциямиy = C₁(x)Cosx + C₂(x)Sinx

6. Составляем систему уравненийC’₁Cosx + C’₂Sinx = 0       |·Cosx +

-C’₁Sinx + C’₂Cosx = 1/Cosx |·(-Sinx)

7. Решаем систему и получаем

C’₁ = =-

 8. Интегрируем и получаем C₁(x) =ln(k₁|Cosx|); C₂(x) = x + k₂

 9. Подставляем решение однородного уравнения и получаем общее решение неоднородного уравнения

                          y = Cosx· ln(k₁|Cosx|) + Sinx·(x + k₂)

Пример 10.2. Найти решение уравнения y’”-3y”+3y’-y = 2x – 1.

Из примера 8.2 решением однородного y’”-3y”+3y’-y = 0 соответствующего неоднородному является функция y = (C₁ + C₂x + C₃x²)e^x. Считая произвольные постоянные функциями, составим систему уравнений:

                  

В результате получили систему алгебраических уравнений относительно производных произвольных постоянных. Систему решаем, исключая постоянные, путем вычитания второго уравнения из третьего, первого из второго и, наконец, в полученной системе из третьего – второе.

Исключаяиз второго C₃’, из первого C₃’ и C₂’,получим три дифференциальных уравения с разделяющимися переменными:

C₁’=(x³ – 0.5x²)e^-x, C₂’ = - (2x² – x)e^-x, C₃’ = (x – 0.5)e^-x. Решая эти уравнения найдем выражения произвольных постоянных:

Нетрудно видеть, что вычисление интегралов потребует применение метода интегрирования по частям и, следовательно, достаточно значительного времени. Так для определения C₁необходимо три раза применить формулу интегрирования почастям.

Ниже будет приведен метод определения частного решения неоднородного дифференциального уравения с правой частью специального вида, под который подпадает права часть рассмотренного уравения.

 

     §11 Линейные неоднородный уравнения

       с постоянными коэффициентами

Решая неоднородные линейныеуравения с постоянными коэффициентами, нередко удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к интегрированию однородного дифференциального уравения.

Пусть заданонеоднородное линейное дифференциальноеуравение с постоянными коэффициентами

       a₀y⁽ⁿ⁾+ a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2)+…………+a_n-2y”+ a_n-1y’+ a_ny= f(x)          (36)        

 

и пусть функция f(x) имеет вид, называемый специальным:

                              f(x) = Pn(x)·e^αx·(M·Cosβx + N·Sinβx)                                        (37)    

 

или его частные виды как из отдельных сомножителей функции (37), так и различных сочетаний (f(x) = Pn(x), f(x) = e^αx, f(x) = M·Cosβx, f(x) = e^αx·Sinβx, f(x) = Pn(x)·(M·Cosβx + N·Sinβx) и т.д.)

Функция (37) в общем случае содержит многочлен, показательную функцию и одну или две тригонометрические функции синус и косинус. Причем, все коэффициенты, входящие в многочлен Pn(x) и в функцию (37) (α, β, M, N), имеют числовые значения.

Из теоремы 9.1 следует, что общее решение неоднородного дифференциального уравения состоит из общего решения однородного, соответствующего неоднородному, и какого-либо частного решения неоднородного.

Одним из методов отыскания частного решения в случае правой части функции специального вида является метод неопределенных коэффициентов.

Метод заключается в отыскании частного решения в том виде, в котором задана правая часть, но коэффициенты многочлена и коэффициенты перед тригонометрическими функциями неопределенные. Другими словами коэффициенты не числа, а буквы.

Пример 11.1. Правая часть задана функцией f(x) = (4x³ – 3x)·e^4xЭта функция специального вида и ей отвечает частное решение y_ч = (Ax³ + Bx² + Cx + D)·e^4x. Видно, что многочлен в частном решении записывается по всем степеням, несмотря на то, что в многочлене функции некоторые степени отсутствуют. Показатель экспоненты не меняется.

Пример 11.2. f(x) = 2e^4xSin7x. Правой части отвечает частное решение y_ч = e^4x(A·Cos7x + B·Sin7x). В правой части функция зависит от одной тригонометрической функции, а в частном решении обязательно надо записывать сумму тригонометрических функций, так как при дифференцировании функции меняют вид.

Пример 11.3. f(x) = (x² + 1)·Cos2x +3e^2x. В этом случае частное решение записываем в видеy_ч = (Ax² + Bx + C)Cos2x + (Dx² + Ex + F)Sin2x + R·e^2x. Так как правая часть уравения состоит из суммы двух функций специального вида, то по второму свойству решений неоднородного дифференциального уравения (принцип суперпозиции) в частом решении записывается сумма функций с неопределенными коэффициентами.

Пример 11.4. f(x) = 5x⁴ + 3·e^5x. →y_ч = (Ax⁵ + B x⁴ + C x³ + D x² + Ex + F) + Qe^5x. В решении многочлен записан по всем степеням и перед экспонентой поставлен многочлен нулевого порядка.

 

       Лекция 8.

 

§12 Порядок решения линейного неоднородного дифференциального уравения

            с функцией специального вида в правой части

 

1. Решаем однородное дифференциальное уравение соответствующее неоднородному (36) и записываем общее решение:

y_о = C₁y₁+ C₂y₂+ C₃y₃+………+ C_iy_i+………….+ C_ny_n.

2. Записываем частное решениеy_ч с неопределенными коэффициентами, отвечающее правой части уравения (37)

3. Проверяем линейную независимость частного решения с частными решениями однородного уравения, определяя их отношения y_ч /y_i. Если какое-либо отношение равно постоянной (const), то частное решение умножается на аргумент (x·y_ч) и вновь проверяем линейную независимость. Процесс продолжается до тех пор пока отношение не станет функцией.

4. Для определения значений неопределенных коэффициентов подставляем частное решение y_ч в уравнение (36)

5. Приводим подобные члены и приравниваем нулю коэффициенты у функций в полученном равенстве. В результате получаем систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

6. Решаем систему и получаем значения неопределенных коэффициентов

7. Подставляем значения в частное решение и записываем общее решение неоднородного уравения.

 

Покажем применение метода на примерах.

Пример 12.1 Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравения y’”-3y”+3y’-y = 2x – 1.

 

Решение соответствующего однородного получено в примере 10.2 и имеет вид  y_о = (C₁ + C₂x + C₃x²)e^x и состоит из трех частных решений y₁ = e^x, y₂=xe^x, y₂ =x²e^x. Записываем частное решение. Так как правая часть является функцией специального вида, а именно многочленом, то и решение записываем в виде многочлена y_ч = Ax+B. Легко убедиться в линейной независимости y_ч и y_i (i=1,2,3). Найдя предварительно необходимые производныеy_ч’= A, y_ч” =0, подставляем y_чв уравнение → 3A – (Ax+B)=2x-1→ (A+2)x+(B-3A-1) = 0. Составляем систему алгебраических уравнений: A+2=0, (B-3A-1)=0 и решаем ее. Таким образом, A = -2, B = -5. Итак y_ч = -2x – 5 и общее решение неоднородногоуравения y =  (C₁ + C₂x + C₃x²)e^x -2x -5.

Пример 12.2. Решить уравение y” + y’ = 2x² + 5e^-x.

Решение произведем в такой же последовальности, что и выше.

y” + y’ = 0 → k²+k=0 →k(k+1)=0→k₁ = 0, k₂ = -1→ y₁ = e^0x=1, y₂ = e^-x →y_o = C₁ + C₂e^-x →Ищем частные решения в виде y_ч1 =(Ax²+Bx+C),  y_ч2 = De^-x.→ Проверяем линейную независимость y₁/ y_ч1=1/C=const, поэтому многочлен умножается на аргумент → y_ч1 =(Ax²+Bx+C=Ax³+Bx²+Cx.Проверим линейную независимость второго частного решения. Видно, что решения линейно зависимы так какy_ч2/ y₂=De^-x/e^-x=D=const, поэтому y_ч2=D·x·e^-x. Вычисляем производные частного решения y_ч = Ax³+Bx²+Cx+ D·x·e^-x:       y’_ч =3Ax²+2Bx+C+ D·e^-x - D·x·e^-x, y”_ч = 6Ax+2B- 2 D·e^-x+ D·x·e^-x. Подставляем в уравнение и приводим подобные члены 6Ax+2B- 2·D·e^-x + D·x·e^-x+3Ax²+2Bx+C+ D·e^-x - D·x·e^-x=2x² + 5e^-x → (3A-2)x²+(6A +2B-0)x+(C-0)-(2D+5)e^-x+(D-D)xe^-x=0. Чтобы функция в левой части равенства обращалась в ноль необходимо чтобы коэффициенты при функциях обращались в ноль. В результате решения системы уравнений получаем A=2/3, B=-2, C=0, D=-2.5, а частное решение y_ч= 2x³/3-2x²-2.5·x·e^-x. Таким образом, общее решение имеет вид y = C₁ + C₂e^-x+2x³/3-2x²-2.5·x·e^-x.

Пример 12.3. Решить уравение y” + 9y = e^5x

y” + 9y =0 → k²+9=0 → k=±3i → y₁ = Cos3x, y₂=Sin3x →y_o= C₁Cos3x+C₂Sin3x

y_ч = Ae^5x. Нетрудно видеть, что функции y₁, y₂, y_ч линейно независимы. После подстановки частного решения в уравнение, получим A = 1/34. Общее решение имеет вид y= C₁Cos3x+C₂Sin3x + e^5x/34.

       Замечание. В учебных примерах, вообще говоря,если вид функции частного решения не совпадает с видом функций частных решений однородного уравнения, то функции линейно независимы, а если совпадают –линейно зависимы

Пример 12.4 Решить уравение y” + 9y = 12Cos3x.

y_o = C₁Cos3x+C₂ Sin3x. y_ч = ACos3x +BSin3x.В данном случае функции частных решений и однородного и неоднородного уравнения совпадают, поэтому частное решение неоднородного уравнения умножаем на аргумент → y_ч = (ACos3x +BSin3x)x. Теперь функции не совпадают (Sin3x ≠ x·Sin3x) и решения линейно независимы. Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение вторую производную и частное решение, получим y’_ч =(-3ASin3x+3BCos3x)x+ACos3x +BSin3x → y”_ч =(-9ACos3x -9BSin3x) +2(-3ASin3x+3BCos3x) → B = 2

       Итак, общее решение имеет вид y= C₁Cos3x+C₂Sin3x + 2xSin3x.

       Пример 12.5 Решить уравение y’” –4y’ =9x·e^x

y’” – 4y’ = 0 → k³-4k=0 → k(k²-4)=0 → k(k+2)(k-2)=0 → k₁=0, k₂=-2, k₃=2 → y₁=1, y₂=e^-2x, y₃=e^2x → y_o =C₁+ C₂e^-2x+ C₃e^2x → y_ч =(Ax+B)e^x. Следуя замечанию частное ре