Определение. Решение дифференциального уравнения (1) или (2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Лекция 1.

§1 Основные понятия и определения.

Решая многие физические и технические задачи, не удается непосредственно найти законы, связывающие между собой величины, описывающие рассматриваемое явление. Однако, в большинстве случаев можно установить связь между этими величинами и их производными или дифференциалами. В результате получаем уравнения, в которые неизвестные функции или вектор-функции входят под знаком производной или дифференциала.

Определение. Уравнения, в которых функция или вектор – функция находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Например. 1.  Каждому из этих уравнений можно придать физический смысл. Так, первое – уравнение радиоактивного распада, второе - уравнение движения точки, третье – уравнение Пуассона, которому удовлетворяет потенциал электрического поля.

Анализируя, приведенные уравнения, можно заметить, что в первых двух и функция и вектор – функция зависят от одной независимой переменной, в третьем - от дста

Дифференциальные уравнения, в которых функция или вектор – функция зависит от одного аргумента (независимой переменной), называются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а уравнения, в которых искомая величина зависит от многих переменных, называются уравнениями в частных производных.

Кроме того, производные в уравнениях входят в разных порядках.

Определение. Наивысший порядок производной искомой величины в дифференциальном уравнении называется порядком дифференциальног о уравнения.

Выше - первое уравнение – уравнение первого порядка, два других – второго.

В нашем курсе будут рассмотрены обыкновенные дифференциальные уравнения. В общем виде дифференциальные уравнения принято обозначать:

                                 (1)

или                                                    (2)

 

Говорят, что первое уравнение n–го порядка разрешено относительно старшей производной, а второе – задано в неявном виде. Следует также заметить, что уравнения (1), (2) могут не содержать функцию, аргумент или часть производных, кроме старшей. Например,u’’’ = 12t.                                                   (3)

В этом уравнении третьего порядка отсутствуют функция и две ее производные.

Процесс отыскания функции называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения (1) или (2) называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Так, уравнение (3) своим решением имеет функцию – u = t⁴+C₁t²/2+C₂t+C₃. Из вида решения видно, что решение зависит от аргумента и трёх постоянных, называемых произвольными.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида                           

y ’ = f (x, y)                                                             (5)

Или

                                          F (x, y, y ’) = 0.                                            (6)

Например. y’ = 2y/x; xy’³ – y’y + 2 = 0; y’ = y²dx – x²dy = 0.

^{При определенных ограничениях, накладываемых на функции f(x,y) и F(x,y,y’)}дифференциальные уравнения (5) или (6) имеют единственное решение, удовлетворяющее начальному условию y₀ = y(x₀), а общее решение зависит от аргумента (независимой переменной х) и одной произвольной постоянной. Нетрудно видеть, что уравнение (5) устанавливает зависимость от положения точки с координатами (x,y) и угловым коэффициентом касательной  к графику решения в этой точке. Следовательно, дифференциальное уравнение вида (5) определяет поле направлений и задача интегрирования заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми, направления касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля.

Определение. Множество точек, в каждой из которых угловые коэффициенты равны называется изоклиной.

Чтобы получить уравнение изоклины, в уравнении (5) производную заменяют некоторым параметром: k = f(x,y).Например, для уравнения  уравнение изоклины будет k = - x/y. Придавая параметру различные значения, получаем уравнения прямых, в каждой точке которых тангенс угла наклона будет равен значению параметра. Так, если k = 0.5, то на прямой y = -2x касательные будут направлены под углом, тангенс которых равен 0.5, а на прямой y = 2x - под углом, тангенс которых равен - 0.5. (Привести рисунок).

 

Лекция 3.

§4 Линейные уравнения первого порядка.

                Уравнение Бернулли.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Линейное уравнение имеет вид y ’ + p (x)· y = q (x),                                     15)

где p(x) и q(x) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (15).

Если q (x) = 0,  то уравнение

y ’ + p (x)· y = 0                                        (16)

называется однородным и решением будет функция                            

,C ≠ 0.                                                   (17)

Для интегрирования неоднородного уравнения (15) может быть применен метод вариации произвольной постоянной.

Он заключается в следующем: 1. Находим решение (17) однородного уравнения (16); 2. В решении (17) полагаем произвольную постоянную функцией, так что

                              

                ;

3. находим производную этой функции как произведения

                   ;            

4. подставляем функцию y(x) и ее производную y’(x) в уравнение (15) и после соответствующих преобразований получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно произвольной постоянной C(x);

                  

5. интегрируя дифференциальное уравнение, получаем выражение произвольной постоянной             ;

6. подставляем произвольную постоянную в решение однородного дифференциального уравнения и получаем решение линейного дифференциального уравнения (15):

                       

(18)

 

Замечание 4. Выше введено обозначение e^z = exp(z).

Замечание 5. Решая линейное дифференциальное уравнение, не следует запоминать формулу (18), а рекомендуется запомнить алгоритм отыскания решения, который будет применен в других разделах.

Пример 4.1.Решить уравнение

Решаем соответствующее однородное уравнение В решении полагаем постоянную C функцией C(x) и, дифференцируя это решение y’ = C’(x)·x + C, после подстановки в исходное дифференциальное уравнение получаем дифференциальное уравнение относительно C(x):x·C’(x) = x² Интегрируя, получим C(x)=(x²/2) + C₁. Заменяя произвольную постоянную в решении однородного уравнения, получим решение линейного уравнения: y = x(

Пример 4.2. y’- y·ctgx = 2xSinx → y’- y·ctgx = 0 →

 

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнение вида y ’ + p (x)· y = yⁿ · q (x) называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли решается также как и линейное, так как уравнение Бернулли сводится к линейному заменой z = y^-(n-1). Действительно, дифференцируя замену  и подставляя ее вместе с производной в преобразованное уравнение Бернулли , получим линейное уравнение относительно функции z(x): z ’ + p (x)· z = q (x).

Замечание. Решая уравнение Бернулли, необязательно приводить его к линейному.

Пример 4.3. Найти решение дифференциального уравнения . Нетрудно видеть, что это уравнение Бернулли. Решаем его методом вариации постоянной как линейное: =

    §5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Лекция 4.

 

Заключение. Основная трудность при решении дифференциальных уравнений первого порядка заключается в определении типа уравнения. Для этого дифференциальное уравнение необходимо, разрешая его относительно производной

y’ =  и произведя необходимые преобразования, привести к виду y’ = f(x,y). Тогда, если

1. y’ = f(x)·φ(y), то это уравнение с разделяющимися переменными;

2. y’ = f(y/x), то это однородное дифференциальное уравнение;

3. y’ = f(x)y + q(x), то это уравнение линейное;

4. y’ = f(x)y + q(x)yⁿ, то это уравнение Бернулли;

5. то следует проверить условие  причем, если перед дробью стоит знак минус, то одну из функций надо брать со знаком минус. Если равенство выполняется, то уравнение в полных дифференциалах.

Пример 5.2. Определить тип дифференциального уравнения.

1.(2xy- 1)dx + (x² – 1)dy = 0;  2.(y² + x²)dy + (2xy – y²)dx = 0; 3.(y+y·e^x)dy=e^xdx; 4. y’ – y + y²Cosx = 0; 5. .

Решение. 1..(2xy- 1)dx + (x² – 1)dy = 0 →(x² – 1)dy = - (2xy- 1)dx→  Так как правая часть состоит из 2-х слагаемых, одно из которых содержит функцию в первой степени, а второе зависит только от аргумента, т.еy’ = p(x)y+q(x),то это линейное уравнение.

2. (y² + x²)dy + (2xy – y²)dx = 0→(y² + x²)dy = - (2xy – y²)dx→  Нетрудно видеть, что правая часть есть функция, зависящая от отношения переменных, т.е. y’ = f(y/x). Это уравнение однородное.

3. (y+y·e^x)·dy=e^x·dx; →  Правая часть приведены к произведению 2-х функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной, т.е. y’= f(x)·φ(y). Следовательно это уравнение с разделяющимися переменными.

4. y’ – y + y²Cosx = 0 → y’ = y - y²Cosx. Правая часть сумма двух слагаемых: в одно функция входит линейно (в первой степени), во второе – в степени. Имеем уравнение Бернулли y’ = p(x)y - yⁿ·f(x).

5.

.  Анализируя правую часть уравнения, можно заметить, что правую часть не представляется возможным представить в виде f(x)·φ(y) или f(y/x) и, следовательно, дифференциальное уравнение не может быть однородным или с разделяющимися переменными. Преобразуем правую часть, выделив линейную функцию  Теперь видно, что правая часть есть сумма двух слагаемых: в одно функция входит линейно (в первой степени), во второе – в степени -1. Это дифференциальное уравнения Бернулли. С другой стороны, нетрудно убедиться, что выполняется условие полного дифференциала:  Так как процесс восстановления функции по полному дифференциалу более простой применяем его для отыскания решения. Найдем решение восстановив функцию.

Таким образом, получаем решение  или 3ln(x²+y²)+2x³=C.

Лекция 5.

 

§7 Линейные дифференциальные уравнения n–го порядка

Определение. Линейным уравнением n–го называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеет вид

a₀(x)y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1)+ a₂(x)y^(n-2)+…………+ a_n-2(x)y”+ a_n-1(x)y’+ a_n(x)y= φ(x).              (21)

 

Если φ(x) = 0 (тождественно), то уравнение называется линейным однородным, так как оно однородно относительно неизвестной функции и её производных.

Если коэффициенты a_i(x) (i=0.1,2,….,n) непрерывны на некотором отрезке [α,β] и не в одной точке этого отрезка не обращаются в ноль, то, разделив уравнение (21) наa₀(x), приведем это уравнение при x, изменяющемся на отрезке [α,β], к виду

y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y= f(x).            (22)

или                                     

                         (22₁)

Нетрудно показать, что если коэффициенты p_i(x) (i=1,2,…..,n) и f(x) непрерывны на отрезке [a,b], то в окрестности любых начальных значений

y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀^’, y”(x₀)=y₀^”,…………., y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1),                        где x₀ – любая точка интервала (a,b), удовлетворяются условия теоремы существования и

единственности решения уравнения (22).

Пусть задано однородное линейное дифференциальное уравнение

       y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y= 0.    (23)

 

Запишем его кратко в виде

                              D(y) = 0,                                                                          (24)   где D(y) = y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y, который будем называть линейным дифференциальным оператором.                                                       Оператор D(y) обладает двумя следующими свойствами:

1. Постоянный множитель можно выносить из под знака оператора т.е. D(ky)=k·D(y).

Действительно, D(ky)= (ky)⁽ⁿ⁾+ p₁(x)(ky)^(n-1)+…………++ p_n-1(x)(ky)’+ p_n(x)(ky) = k(y⁽ⁿ⁾+ p₁(x)y^(n-1)+p₂(x)y^(n-2)+…………+p_n-2(x)y”+ p_n-1(x)y’+ p_n(x)y).=k·D(y).

2. Линейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций, равен сумме дифференциальных операторов этих функций, т.е.                D(y₁₊ y₂)= D(y₁)+D(y₂).                                                                                                  Доказывается аналогично, учитывая свойство производной суммы функций.

 

Следствие. Дифференциальный оператор, примененный к линейной комбинации функций равен линейной комбинации дифференциальных операторов данных функций. т.е.

Рассмотрим свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

Теорема 7.1. Если y ₁ решение уравнения (24), то и произведение постоянного множителя k и этого решения k · y ₁ также является решением.

Доказательство. По условию D(y₁) = 0. Тогда, учитывая первое свойство дифференциального оператора, получим D(k·y₁) = k· D(y₁) = k·0 = 0. Свойство доказано.

Теорема 7.2. Если y ₁ и y ₂, решения уравнения (24), то и их сумма является решением уравнения (24).                                                                      Доказательство. По условию D(y₁) = 0, D(y₂) = 0. Тогда, учитывая второе свойство дифференциального оператора, получимD(y₁+y₂) = D(y₁)+ D(y₂) = 0. Свойство доказано.

 

Следствие. Если y_i (i =1, 2,…., n) решения уравнения (24), то и их линейная комбинация является решением уравнения (24), т.е.

Теорема 7.3. Если линейное однородное уравнение D (y) = 0 с действительными коэффициентами p_i (x)имеет комплексное решение y (x)= u (x)+ i · v (x), то действительная часть этого решения u (x) и его мнимая часть v (x) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения.

Замечание. Не вдаваясь в подробности теории комплексных чисел и функций отметим, что комплексным числом называется число вида a +i·b, где i= - мнимая единица, a – действительная часть комплексного числа, i·b – мнимая часть комплексного числа, a, b - действительные числа.

Комплексная функция действительного аргумента имеет вид - u(x)+i·v(x), где u (x), v (x) - функции действительного аргумента x.

 Сформулируем теорему 5.4, необходимую для доказательства теоремы 5.3:

две комплексные функции равны тогда и только тогда, когда равны функции их действительных и мнимых частей соответственно.

В частности, если u (x)+ i · v (x) = 0, то u (x)=0, v (x)=0.

Приведем также формулу Эйлера, связывающую показательное представление комплексного числа и тригонометрическое:

                   e^α+i·β =e^α(Cosβ + i·Sinβ)                                                   (25)

Доказательство теоремы 5.3. Пусть комплексная функция u(x)+i·v(x) является решением уравнения D(y) = 0, т.е. D(u(x)+i·v(x)) = 0. Тогда, учитывая свойства дифференциального оператора, можно записать D(u(x)+i·v(x)) =D(u(x)) + i· D(v(x)) = 0. Следовательно, согласно теореме 5.4, можем записать D(u(x)) = 0 и D(v(x)) = 0. А это означает, что функции u(x) и v(x) являются решениями линейного однородного уравнения. 

Определение. Функции y ₁ (x), y ₂ (x), y ₃ (x),……., y_n (x)называются линейно зависимыми на некотором отрезке a ≤ x ≤ b, если существуют постоянные величины α₁,  α₂, α₃,………., α _n такие, что на том же отрезке

α _{n ·} y_n (x) + α _{n ·} y_n (x) + α _{n ·} y_n (x) + ………..+ α _{n ·} y_n (x) = 0,                                     (26)

причем, хотя бы одно α _i ≠ 0.

Если же тождество (26) справедливо лишь при α₁ = α₂ =……… = α _n = 0, то совокупность функций y ₁ (x), y ₂ (x), y ₃ (x),……., y_n (x) называется линейно независимой на том же отрезке.

Укажем некоторые совокупности линейно независимых функций:

а) 1, x, x², x³, x⁴,………., x^k; b) e^k_1, e^k_2, e^k_{3, ………,} e^k_n, (k_i≠ k_j);

c) Cosα, Sinα, Cos2α, Sin2α, Cos3α, Sin3α,………….,Cosnα, Sinnα.

d) f(x), x f(x), x² f(x), x³ f(x), x⁴ f(x),………., x^k f(x); 

Для определения линейной зависимости или независимости совокупности функций y₁(x), y₂(x), y₃(x),……., y_n(x) применяется определитель Вронскогоn-го порядка, состоящего из совокупности функций и их производных до n-1 порядка.

Если определитель Вронского отличен от нуля во всех точках некоторого множества, то совокупностьy₁(x), y₂(x), y₃(x),……., y_n(x) функций линейна независима на этом множестве. Если же хотя бы в одной точке обращается в ноль, то - зависима на этом множестве.

       Учитывая, что в этом курсе будут рассмотрены дифференциальные уравнения не выше четвертого порядка, укажем более простой признак зависимости совокупности функций y₁(x), y₂(x), y₃(x),……., y_n(x).

       Если попарное отношение двух функций является функцией, то совокупность линейна независима на множестве, а если отношение хотя бы одной пары равна константе(числу), то линейно зависима на этом множестве.

       Пример 7.1. Показать, что функции e^x, e^2x, e^3xлинейно независимы. Действительно →  Таким образов, попарные отношения функций – функции и, следовательно, функции e^x, e^2x, e^3x линейно независимы.

       Пример. Определить зависимость функций – e^βx, x·e^βx, x²·e^βx.

Решение. Найдем попарное отношение функций:  Отношения функций также являются функциями. Следовательно, совокупность функций линейна независима.

 

Лекция 6.

 

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (без доказательства).

Общим решением на множестве x ϵ [ a, b ] линейного однородного дифференциального уравнения

y ^{( n )} + p ₁ (x) y ^{( n -1)} + p ₂ (x) y ^{( n -2)} +…………+ p_{n -2} (x) y ”+ p_{n -1} (x) y ’+ p_n (x) y = 0.                        с непрерывными на отрезке [ a, b ] коэффициентами p_i (x) (i =1,2,3,4,…., n) является линейная комбинация n линейно независимых на том же отрезке частных решений y_i (x) (i =1,2,3,4,…., n) с произвольными постоянными коэффициентами.

Следствие. Из определения следует, что частных решений должно быть ровно столько каков порядок линейного однородного дифференциального уравнения, и они должны быть линейно независимы.

 

§8. Линейные однородные дифференциальные уравнения

          с постоянными коэффициентами

Если в линейном однородном уравнении

a₀y⁽ⁿ⁾+ a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2)+…………+a_n-2y”+ a_n-1y’+ a_ny= 0                          (27) 

 все коэффициенты a_i постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде y=e^kx, где k – постоянная.

Действительно, подставляя в уравнение (27) y=e^kx и y⁽ⁱ⁾ = kⁱ·e^kx(i=1,2,…….,n), получим:      a₀kⁿe^kx+ a₁k^n-1e^kx+a₂k^n-2e^kx+…………+a_n-2k²e^kx+ a_n-1ke^kx+ a_ne^kx= 0.  

Так как показательная функция не обращается в ноль на всей числовой оси, то, сокращая на e^kx, получим алгебраическое уравнение относительно k:

a₀kⁿ+ a₁k^n-1+a₂ k^n-2 +…………+a_n-2 k²+ a_n-1k+ a_n= 0,                              (28)  

 

которое называется характеристическим для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Это уравнение n-ой степени определяет те значения k, при которых y=e^kx является решениемисходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (27).

       Таким образом, если k_s– решение уравнения (28), то функция y=e^k_s^x есть частное решение уравнения (27).

       В дальнейшем будут рассматриваться линейные дифференциальные уравнения второго порядка

a₀y” + a₁y’ + a₂y = 0,                                                                   (29)

 

но все результаты и выводы можно распространить и на уравнения n-го порядка.

Характеристическое уравнение для уравнения (29) имеет вид:                          

a₀ k² + a₁k + a₂ = 0.

Оно имеет два корня k₁ и k_2.  Рассмотрим три случая вида общего решения уравнения (29) в зависимости от значений корней характеристического уравнения.

1. Корни k₁ и k₂ действительные и различные k₁ ≠ k₂. Им отвечают два частных решения y₁=e^k₁^x; y₂=e^k₂^x. Убедимся, что они линейно независимы

e^k₁ ^x/e^k₂ ^x= e ^(k₁^-k₂ ^x)≠const. Поэтому общее решение, согласно теореме о структуре   y= C₁y_{1 +}   C₂y₂=C₁e^k₁^x+C₂e^k₂^x

Пример 8.1. y’” – 2y” – 8y’ = 0. Характеристическое уравнение соответствующее однородному -k³ – 2k² – 8k = 0 или k(k² – 2k – 8) = 0. Его решениями будут     k₁ = 0, k₂ = -2, k₃ = 4. Тогда общим решением будет y = C₁ + C₂e^-2x + C₃e^4x.

 

2. Корни k₁ и k₂ действительные и одинаковые k₁ = k₂. Им отвечают два частных решения y₁=e^k₁^x; y₂=e^k₂^x. Убедимся, что они линейно зависимы

e^k₁ ^x/e^k₂ ^x= e ^(k₁^-k₂ ^x) = e⁰ = 1= const.Для того чтобы они были независимыми умножим второе решение на аргумент, т.е. y₂ = x·y₁ = x·e^k₁^x. Убедимся, что эта функция будет решением уравнения (29), учитывая что y₁ –частное решение.

 Подставим y₂ = x·y₁ в (29), учитывая y₂^’= x·y₁^’+ y₁; y₂” = x·y₁” + 2· y₁^’ → a₀ (x·y₁” + 2· y₁^’)+ a₁(x·y₁^’+ y₁) + a₂y₁ = 0. Учитывая, что a₀y₁” + a₁y₁’ + a₂y₁ = 0 и y₁=e^k₁^x, получим e^k₁^x(2k₁a₀ + a₁) = 0. Так как по теореме Виетта 2k₁ = -a₁/a₀.

Таким образом, в случае кратного корня общее решение уравнения (29) имеет вид

                              y = (C₁ + C₂x) e^kx, где k – корень характеристического уравнения кратности 2.

       Если корень кратности p, то ему отвечает решение (C ₁ + C ₂ x + C ₃ x ² +……+ C_px^{p -1}) e^k_p ^x

           

       Пример 8.2. Найти общее решение уравнения y’”-3y”+3y’-y = 0.

Его характеристическое уравнениеk³- 3k²+3k-1=0 или (k – 1)³=0. Следовательно, k = 1, которому отвечает частное решениеy₁=e^x. Так как корень кратности 3, то два других частных решения будут y₂=x·e^xy₃=x²·e^x. Итак, общее решение y = (C₁ + C₂x + C₃x²)e^x.

 

Корни комплексно-сопряженные k_1,2 = α ± iβ. Этим корням отвечают два частных решения y₁=e^{(α-iβ) x}, y₂=e^{(α+iβ) x}. Но если задача решается на множестве действительных чисел, то работа с комплексными числами вызывает определенные трудности, которые можно обойти, применяя формулу Эйлера, так что

                   e^{(α-iβ) x} = e^αxCosβx - ie^αxSinβx

                          e^{(α+iβ) x} = e^αxCosβx + ie^αxSinβx.

       Таким образом, учитывая теорему 7.3, частными решениями будут функции

       y₁= e^αxCosβx, y₂ = e^αxSinβx, а общим решением - y =e^αx(C₁·Cosβx+ C₂·Sinβx).

           

       Пример 8.3. Решить y” - 6y’+ 13y = 0.

Характеристическое уравнение – k² – 6k + 13 = 0 → . Итак, частными решениями будут функции y₁=e^3xCos2x, y₂=e^3xSin2xи общим - y =e^3x(C₁Cos2x + C₂Sin2x).

 

    §9. Неоднородные линейные уравнения высших порядков

       Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:

       a₀(x)y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1)+ a₂(x)y^(n-2)+…………+ a_n-2(x)y”+ a_n-1(x)y’+ a_n(x)y= φ (x)

или, после деления на a ₀ (x), если коэффициент a ₀ (x) ≠ 0 на отрезке x ϵ [ a, b ] и φ(x)≠0, уравнение:

y ^{( n )} + p ₁ (x) y ^{( n -1)} + p ₂ (x) y ^{( n -2)} +…………+ p_{n -2} (x) y ”+ p_{n -1} (x) y ’+ p_n (x) y = f (x). (30)

Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, можно записать в виде:

                                          D(y) = f(x).                                                           (31)

Если при всех x ϵ [a,b] коэффициенты уравнения и правая часть непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям

                   y^(k)(x₀) = y₀^(k)                      (k = 1,2,3,………,n-1),                            где y₀^(k)- любые действительные числа, а x_{0 –} любая точка интервала (a,b).

Назовём уравнение                    

D(y) = 0                                                                (32)

однородным, соответствующим неоднородному уравнению (31).

Из двух свойств линейного оператора D(y) непосредственно следуют следующие свойства решений неоднородного уравнения

1) Сумма частного решения y _ч неоднородного уравнения и y ₀ соответствующего однородного является решением неоднородного уравнения (31).

Доказательство. По условию D(y_ч) = f(x), а D(y₀) = 0. Тогда D(y_ч+y₀) = D(y_ч)+ D(y₀) = f(x). Что и требовалось    доказать.

2) Если y_i является решением уравнения D(y_i) = f_i(x) (i=1, 2,…..,k), то y = т является решением уравнения (31)  где α_i – постоянные.

Доказательство. По условиюD(y_i) = f_i(x)  Что и требовалось доказать.    

Это свойство еще называется принципом суперпозиции (или наложения) и может быть распространено на случай k→∞

 

Теорема 9.1(без доказательства). Общее решение на отрезке x ϵ [ a, b ] уравнения D (y) = f (x) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами p_i (x) и правой частью f (x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (32) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения (31), линейно независимого с решениями однородного, т.е.

,

где y_ч – частное решение, y_i – частные решения соответствующего однородного уравнения, c_i – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

 

       Лекция 7

§10. Метод вар и ации произвольных постоянных решения

       неоднородных линейных дифференциальных уравнений  

 

Метод вариации рассмотрим на примере дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть дано уравнение

a₀(x)y” + a₁(x)y’ + a₂(x)y = f(x)                                       (33)     

 

и пусть                     y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x)                                                               (34)

общее решение соответствующего однородного уравнения a₀(x)y” + a₁(x)y’ + a₂(x)y =0. Положим в этом решении произвольные постоянные функциями C₁(x), C₂(x), которые необходимо определить,и найдем производную решения (34)

      

Положим в этом решении первые два слагаемых нулю и, таким образом, получим первое условие для отыскания C₁(x) и C₂(x):

                              C₁^’(x)y₁(x) + C₂^’(x) y₂(x) = 0                                                       (35)

Вычислим вторую производную, учитывая равенство (35),

      

и подставим ее, первую производную и решение в уравнение (33).

Приведем подобные члены с C₁(x) и C₂(x) и получим

Нетрудно видеть, что первые две квадратных скобки обращаются в ноль, так как y₁(x) и y₂(x) являются частными решениями однородного уравнения, и в результате получаем второе уравнение для отыскания C₁(x), C₂(x).   

       Таким образом, для получения функций C₁(x) и C₂(x) следует решить систему двух дифференциальных уравнений

                                          C₁^’(x)y₁(x) + C₂^’(x) y₂(x) = 0 

                                          C₁^’(x)y’₁(x) + C₂^’(x) y’₂(x) = f(x)/a₀.                                    

Результатом решения системы будут два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными, интегрируя которые получим выражения для C₁(x)  и C₂(x)

       C₁(x) = C (₂x) = .

Подставляя их в решение (35), окончательно получим решение уравнения (33)

                   y = k₁y₁(x) + k₂y₂(x) + y₁(x)  + y₂(x)

       Пример 10.1. Найти общее решение уравнения y” + y = 1/Cosx

1. Решим однородное соответствующее неоднородному y” + y = 0

2. Характеристическое уравнение k² +1 = 0

3. Корни k = ±iи частные решения y₁=Cosx, y₂=Sinx

4. Общее решение однородного уравнения y = C₁Cosx + C₂Sinx

5. Полагаем произвольные постоянные функциямиy = C₁(x)Cosx + C₂(x)Sinx

6. Составляем систему уравненийC’₁Cosx + C’₂Sinx = 0       |·Cosx +

-C’₁Sinx + C’₂Cosx = 1/Cosx |·(-Sinx)

7. Решаем систему и получаем

C’₁ = =-

 8. Интегрируем и получаем C₁(x) =ln(k₁|Cosx|); C₂(x) = x + k₂

 9. Подставляем решение однородного уравнения и получаем общее решение неоднородного уравнения

                          y = Cosx· ln(k₁|Cosx|) + Sinx·(x + k₂)

Пример 10.2. Найти решение уравнения y’”-3y”+3y’-y = 2x – 1.

Из примера 8.2 решением однородного y’”-3y”+3y’-y = 0 соответствующего неоднородному является функция y = (C₁ + C₂x + C₃x²)e^x. Считая произвольные постоянные функциями, составим систему уравнений:

                  

В результате получили систему алгебраических уравнений относительно производных произвольных постоянных. Систему решаем, исключая постоянные, путем вычитания второго уравнения из третьего, первого из второго и, наконец, в полученной системе из третьего – второе.

Исключаяиз второго C₃’, из первого C₃’ и C₂’,получим три дифференциальных уравения с разделяющимися переменными:

C₁’=(x³ – 0.5x²)e^-x, C₂’ = - (2x² – x)e^-x, C₃’ = (x – 0.5)e^-x. Решая эти уравнения найдем выражения произвольных постоянных:

Нетрудно видеть, что вычисление интегралов потребует применение метода интегрирования по частям и, следовательно, достаточно значительного времени. Так для определения C₁необходимо три раза применить формулу интегрирования почастям.

Ниже будет приведен метод определения частного решения неоднородного дифференциального уравения с правой частью специального вида, под который подпадает права часть рассмотренного уравения.

 

     §11 Линейные неоднородный уравнения

       с постоянными коэффициентами

Решая неоднородные линейныеуравения с постоянными коэффициентами, нередко удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к интегрированию однородного дифференциального уравения.

Пусть заданонеоднородное линейное дифференциальноеуравение с постоянными коэффициентами

       a₀y⁽ⁿ⁾+ a₁y^(n-1)+a₂y^(n-2)+…………+a_n-2y”+ a_n-1y’+ a_ny= f(x)          (36)        

 

и пусть функция f(x) имеет вид, называемый специальным:

                              f(x) = Pn(x)·e^αx·(M·Cosβx +