Формула Бернулли в теории вероятностей

Физико-математический факультет, 2 курс, профили «Прикладная математика», «Прикладная информатика»

Изучая и анализируя различные работы в области теории вероятностей и математической статистики, особое внимание мы обратили на научные труды швейцарского математика Якоба Бернулли. Так как именно с его трактата «Искусство предположений», над которым он работал двадцать лет, начинается становление теории вероятностей как науки, нами было решено подробнее разобраться в результатах его деятельности.

       Имя Якоба носит огромное количество работ, теорем и схем, например: «Числа Бернулли», «Многочлен Бернулли», «Дифференциальное уравнение Бернулли», «Распределение Бернулли» и «Формула Бернулли». Давайте остановимся на двух последних.

       Формула Бернулли – формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события определённое количество раз при проведении нескольких независимых испытаний. Этой схемой (формулой) можно пользоваться для решения задач различного уровня сложности: от простых (подбрасывание монетки) до сложных (проценты). Однако чаще всего схема Бернулли применяется в решении таких задач, которые связаны с контролем свойств различной продукции и уверенности в самых разных механизмах. В данном случае важно отметить, что для решения задачи до начала работы должны быть заранее известны все необходимые условия и значения.

       Таким образом, в связи с важностью рассматриваемой формулы в практической жизни, мы разработали программу, вычисляющую вероятность некоторого события по исследуемой формуле, на языке программирования Java и создали к ней довольно простой графический интерфейс, используя основные элементы библиотеки Swing. В коде программы также вычисляются промежуточные значения, необходимые для решения некоторой задачи по формуле Бернулли, такие как факториал, сочетания, вероятность непроисхождения события.

Рис. 1. Вычисление вероятности некоторого события в созданной программе

В ходе работы над нашим докладом я и моя коллега также решили внимательно просмотреть современный курс «Теории вероятностей и математической статистики», который изучают студенты-прикладники нашего университета. В результате был сделан вывод, что большой популярностью пользуются задачи на написание биномиального распределения или распределения Бернулли, в основе которого лежит рассматриваемая нами формула Бернулли.

       Биномиальное распределение – это распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p. Другими словами, это распределение вероятностей случайной величины X, вычисленных при помощи формулы Бернулли, где X – это переменная, принимающая целочисленные значения и обозначающая количество «успехов». Это распределение описывает ситуации, где испытание имеет успех либо неуспех, например, при бросании монеты или при моделировании удачной или неудачной хирургической операции.

       В целях облегчения работы с изучаемым студентами материалом рекомендуем использовать такое программное обеспечение, как электронные таблицы, а именно встроенную в них функцию БИНОМ.РАСП(). Там же можно построить и график биномиального распределения с помощью «Мастера диаграмм».

       Список литературы

1. Халафян А.А. Теория вероятностей, математическая статистика и анализ данных. Основы теории и практика на компьютере STATISTICA. Excel. Более 150 примеров решения задач: учебное пособие / А.А. Халафян, В.П. Боровиков, Г.В. Калайдина. - Москва: URSS, 2017. - 320 c.

2. Хомутова Е.А. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ / Е.А. Хомутова, В.А. Калиниченко // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3-4.

УДК 514.112.3

Л.В. Сергеева

(научный руководитель: Титоренко Светлана Алексеевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики)