Подставив найденные значения перемещений в канонические уравнения, получим:

 

Из первого уравнения находим Х₁= 1440/90 = 16 кН, а из совместного ре­шения второго и третьего уравнений получим: Х₂ = 24,37 кН; Х₃ = —7,48 кН∙м.

Отрицательное значение моментов Х₃ свидетельствует о том, что их направ­ления первоначально были выбраны неправильно.

 

6. Теперь значения всех сил, приложенных к основной системе известны, следовательно, можно приступить к построению окончательных эпюр М, Q и N. Не приводя вычислений, которые могут быть выполнены, как и в ранее решенных примерах, изображаем окончательные эпюры.

 

Пример расчета статически неопределимой рамы с использованием метода сил

I ₁ / I ₂ =2; I ₁ =2∙ I ₂ ;

I ₂ = I ; I ₁ =2∙ I

 

Определяем число лишних связей:

где С₀ - число опорных стержней;  

Ш – приведенное число простых шарниров, связывающие диски между

   собой;

Д – число дисков.

 

        

Выбор основной системы.

 

Основная система получается из заданной статически неопределимой системы путем исключения лишних внешних и внутренних связей.

    Во всех случаях основная система должна быть геометрически неизменяемой, неподвижной и статически определимой.

                                  «Основная система»

«Эквивалентная система»

 

 

Составление канонических уравнений.

 

В заданной системе в направлениях имеющихся связей, в том числе и тех, которые отброшены при переходе к эквивалентной системе, перемещений быть не может, поэтому в эквивалентной системе по направлениям отброшенных связей X₁ и X₂ перемещения должны быть равны нулю. Следовательно реакции отброшенных связей X₁ и X₂ должны иметь такие значения, при которых перемещения по их направлениям в эквивалентной системе отсутствуют.

        

Аналитически это условие записывается в виде канонических уравнений:

 

 

    В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных X ₁ и X ₂ стоят перемещения основной системы вызываемые единичными силами или моментами, действующими по направлению отброшенных связей.

    Первые индексы перемещений определяют, в направлении какой силы происходит перемещение, вторые указывают какой силой вызвано данное перемещение, т.е.  - перемещение по направлению х _i от действия х _k=1 в основной системе.

    Свободные члены  определяют перемещения, вызванные действием заданной нагрузки /q, p, m/ по направлению х _i.

 

    Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членах

    Коэффициенты  и свободные члены  как перемещения при изгибе в общем случае можно определить с помощью формулы Мора – Максвелла /интеграл Мора/:

 

 

где M – изгибающий момент в произвольном сечении х от заданной

         нагрузки, вызывающей перемещение;

   - изгибающий момент в том же сечении х от единичной силы, соответствующей определенному перемещению.

        

Так как единичная эпюра изгибающих моментов  всегда прямолинейна, то для вычисления интеграла Мора целесообразно пользоваться способом Верещагина.

 

где ω – площадь эпюры  М (изгибающий момент от заданно нагрузки);

У_с – ордината на эпюре (изгибающий момент от единичной силы) под центром тяжести эпюры  М.

 

    При вычислении перемещений строят эпюры изгибающих моментов от сил х₁=1, х₂=1, действующих поочередно на основную систему по направлению соответствующих лишних неизвестных.

 

 

                                   Эпюра М от единичной  силы  х₁=1

              ΣM_B=-V_A∙10+1∙5=0; V_A=0,5 kH;

             ΣM_A=-V_B∙10+1∙15=0; V_B=1,5 kH.

 

Эпюра М от единичной силы х₂=1

 

                 ΣM_B=-V_A∙10+1∙6=0; V_A=0,6 kH;

                 ΣM_A=-V_B∙10+1∙6=0; V_B=0,6 kH.

 

Грузовая эпюра М от заданной нагрузки

            ΣM_D =-14∙3+8+ V_C ∙10=0; V_C =3,4 kH ;

            ΣM_E =8+3,4∙10- H_C ∙3=0; H_C =14 kH ;

            ΣM_C = V_D ∙10+8+14∙3=0; V_D =3,4 kH .

 

Грузовая эпюра М_р изгибающих моментов от заданной нагрузки в основной системе

 

 

Все эпюры строятся на растянутых волокнах стержней рамы.

 

 

    Перемножением единичных эпюр вычисляют все коэффициенты при неизвестных системы канонических уравнений.

 

    Например, единичное перемещение  вычисляют умножением единичной эпюры  на единичную эпюру .

 

         Перемножением единичных эпюр  с грузовой  вычислят все возможные или грузовые члены:

 

        

При перемножении эпюр необходимо соблюдать следующие условия:

1. Одна из эпюр должна быть прямолинейной.

2. Ордината У_с  в выражении  должна быть взята с прямолинейной эпюры.

3. Если обе эпюры прямолинейны, то ордината У_с  под центром тяжести можно брать из любой эпюры.

4. Произведение положительно, если обе эпюры одного знака, т.е. эпюры отложены с одной стороны стержня.

Если перемножаемые эпюры разных знаков, то произведение, а следовательно и перемещение – отрицательны.

 

  Определяем  коэффициенты канонических уравнений по правилу Верещагина:

 

 

 

 

       Для проверки правильности коэффициентов канонических уравнений строим суммарную единичную эпюру М.

 

           

         Универсальная проверка:

 

             

         С другой стороны:

 

             

         Постолбцовая проверка:

 

      

         С другой стороны:

 

 

         Подставляя найденные коэффициенты в канонические уравнения, определяем х₁ и х₂:

 

                      X₁=7,717 kH

                        X₂=-6,373 kH

Поскольку рама симметрична, то изначально можно было использовать систему канонических уравнений вида

Строим исправленные эпюры моментов.

Окончательная эп. М    ( M = M ₁ + M ₂ + M_p)