Аксиоматическое определение вероятности.

Геометрическое определение

Недостаток классического определения – он не применим к испытаниям с бесконечным числом исходов. Геометрическое определение – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости).

 

 

 

 

 

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте.

Пример. Поступление в магазин одного вида товара — событие . Поступление второго вида товара — событие . Поступить эти товары могут и одновременно. Поэтому и - совместные события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB). (2.5)

Доказательство. Событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий , , . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

(2.6)

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем . Откуда

(2.7)

Аналогично для события Откуда

.

Подставив (2.7) и (2.8) в (2.6), находим

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB).

Пример. Если вероятность поступления в магазин одного вида товара равна P(A) = 0,4, а второго товара — P(B) = 0,5, и если допустить, что эти события независимы, но совместны, то вероятность суммы событий равна

P(A+B) = 0,4 + 0,5 — 0,4×0,5 = 0,7.

7. Правило умножения вероятностей для "n" событий в общем случае (события могут быть совместными)

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). (2.2)

Доказательство. Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и равна

.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на . Получим

.

Аналогично доказывается и формула

.

На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

P(A) = 5/35 = 1/7.

Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношения

Искомая вероятность будет

.

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до :

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

. (5.4.1)

Введем обозначение:

. (5.4.2)

Функция - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только длянепрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна . Величина называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (рис. 5.4.2).

Рис. 5.4.2.

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до (рис 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок , не включая в него левый конец, т.е. отбрасывая знак равенства в .

Геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.).

Рис. 5.4.3.

Формула выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

,

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

.

Геометрически есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки (рис. 5.4.4).

Рис. 5.4.4.

Укажем основные свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

.

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

.

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что .

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения , как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения , как видно из формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения .

в) Найти вероятность попадания величины на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. а) Так как функция распределения величины непрерывна, то при , откуда .

б) Плотность распределения величины выражается формулой

в) По формуле (5.3.1) имеем:

.

Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

при

при или .

а) Найти коэффициент а.

б) Построить график плотности распределения .

в) Найти функцию распределения и построить её график.

г) Найти вероятность попадания величины на участок от 0 до .

Решение. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:

,

откуда .

б) График плотности представлен на рис. 5.4.5.

в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения:

График функции изображен на рис. 5.4.6.

Рис. 5.4.6.

г) По формуле (5.3.1) имеем:

.

Тот же результат, но несколько более сложным путем, можно получить по формуле (5.4.3).

Пример 3. Плотность распределения случайной величины задана формулой:

.

а) Построить график плотности .

б) Найти вероятность того, что величина попадет на участок (-1, +1).

Решение. а) График плотности дан на рис. 5.4.7.

Рис. 5.4.7.

б) По формуле (5.4.3) имеем:

.

 

 

17. Понятия о способах представления многомерных данных. Использование пакета EXEL. Демонстрационные примеры.

Первый интерфейс сводных таблиц, называемых также сводными отчеты, был включен в состав Excel еще в 1993м году (версии Excel 5.0). Несмотря на множество полезных функциональных возможностей, он практически не применяется в работе большинством пользователей Excel. Даже опытные пользователи зачастую подразумевают под термином «сводный отчет» нечто построенное с помощью сложных формул.

Моменты

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k -й степени случайной величины x, т.е. a _k = M x ^k.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m _k, определяемая формулой m _k = M (x - M x) ^k.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a₁ = M x, а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a ₂ = M x ² = M (x - M x)² = D x.

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m ₂ =a ₂ -a ₁², m ₃ = a ₃ - 3a _{2a 1} + 2a ₁³.

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = M x, то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

 

19. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Математическое ожидание смешанной случайной величины. Демонстрационный вариант.

Числовые характеристики случайных величин

1. Математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины X, называется величина

В случае ряда (n=) и несобственного интеграла предполагается, что они абсолютно сходятся, в противном случае математическое ожидание не существует.

Смысл математического ожидания: если проведено большое количество опытов и в каждом из них определено значение случайной величины, то среднее арифметическое полученных значений приближенно равно математическому ожиданию, чем больше число опытов, тем «ближе» среднее наблюдаемых значений к математическому ожиданию.

Так как математическое ожидание теоретическая величина, которую можно найти без проведения опытов, то тем самым можно указать среднее значение случайной величины в большом числе опытов без проведения самих опытов.

Поэтому математическое ожидание называют также средним значением, средним ожидаемым, центром рассеивания, центром распределения.

Обозначение: M, M(x), M(X). Размерность математического ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины.

Свойства математического ожидания:

M(C)=C, где С - некоторая постоянная величина.

M(C∙X)=C∙M(X).

M(X+Y)= M(X)+M(Y).

M(X∙Y)=M(X)∙M(Y), если Х и Y независимые случайные величины.

Если Y=φ(X) функция от случайной величины Х, то

2. Дисперсия.

Центрированной случайной величиной или отклонением, называется случайная величина

На основании свойств математического ожидания:

Дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения.

Используя определение математического ожидания, можно получить:

Размерность дисперсии равна квадрату размерности самой случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины это величина:

Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.

Свойства дисперсии:

D(C)=0, где С - некоторая постоянная величина.

D(C∙X) =

(дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания).

Если Х и Y независимые случайные величины, то

D(X =D(X)+D(Y).

Если Х и Y зависимые случайные величины, то

D(X =D(X)+D(Y)+2∙ M (

Число M( называется корреляционным моментом случайных величин X и Y, и обозначается К(, Y). Зависимые случайные величины иногда называют скоррелированными друг с другом.

 

3. Моменты случайных величин.

Пусть случайная величина k N.

Величина M( называется начальным моментом k-го порядка. Математическое ожидание – начальный момент первого порядка.

Величину M(( называют центральным моментом k-го порядка. Дисперсия – центральный момент второго порядка.

 

Величина M() - абсолютный момент k-го порядка.

 

4. Мода и медиана случайной величины.

Модой () случайной величины называют её наиболее вероятное значение, для которого вероятность или плотность вероятности f(x) достигают максимума.

Если вероятность или плотность вероятности достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, то распределение называют полимодальным.

Медианой непрерывной случайной величиной называют такое её значение, для которого P( =P(

2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х.

 

20. Числовые характеристики случайных величин. Мода случайной величины, медиана случайной величины (особенности применения для дискретных случайных величин)
Демонстрационные примеры. Повышение точности оценок математического ожидания с помощью медианы (одномерный и многомерный случаи)

Модой непрерывной случайной величины называется такое значение х, в котором f (x) достигает своего локального максимума.

Мода есть «центр сгущения» случайной величины в смысле наиболее часто встречающихся значений случайной величины. Распределение с одной модой называется унимодальным, а распределение с несколькими модами - мультимодальным. Для симметричного унимодального распределения мода совпадает с математическим ожиданием, а следовательно, и с медианой. Как в случае с медианой, иногда математическому ожиданию приписывают смысл моды, что, конечно же, неверно, так как математическое ожидание и мода для несимметричных распределений не совпадают.

Медианой случайной величины X называется такое ее значение Me, для которогоP(X<Me)=P(X>Me),

т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Me. Геометрическая медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

 

 

21. Числовые характеристики случайных величин. Начальные моменты случайной величины.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание случайной величины .

Если - дискретная случайная величина, принимающая конечное число значений, то

Если - дискретная случайная величина, принимающая бесконечное, но счетное число значений, то

Если - непрерывная случайная величина, принимающая значение на конечном промежутке, то

Если - непрерывная случайная величина, принимающая значения на всей числовой оси, то

Начальный момент 1-го порядка - это математическое ожидание случайной величины: .
Начальные моменты высших порядков главным образом используются для вычисления центральных моментов.

 

22. Числовые характеристики случайных величин. Центральные моменты случайной величины. Свойство второго центрального центрального момента. Использование центрального момента 3-го порядка для характеристики крутости (островершинности) распределения.

 

23. Связь между центральными и начальными моментами.

 

24. Некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величин.
Биномальное распределение. Геометрическое распределение. Примеры экспериментальных расчетов с помощью EXEL

Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.

Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1– p) = q – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем.

Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна

P(X= k) = , где k=0,1,…n

называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.

 

25. Некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величин.
Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она имеет бесконечное счетное множество возможных значений 0, 1, 2,... m, …, а соответствующие им вероятности определяются формулой:

Примерами случайных явлений, подчиненных закону распределения Пуассона, являются: последовательность радиоактивного распада частиц, последовательность отказов при работе сложной компьютерной системы, поток заявок на телефонной станции и многие другие.
Закон распределения Пуассона (23) зависит от одного параметра а, который одновременно является и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Таким образом, для распределения Пуассона имеют место следующие основные числовые характеристики:

 

 

26. Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин. Равномерное распределение. Показательное распределение.
Демонстрационный пример.

Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

\

Для случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x 1, x 2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

График плотности равномерного распределения

 

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

График плотности распределения вероятностей, представлен на рис. 5.

График плотности показательного распределения

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ, физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

 

27. Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
Нормальное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал (расчет с помощью функции Лапласа). Примеры экспериментальных расчетов с помощью математического пакета EXEL

Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

Для случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x 1, x 2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

График плотности равномерного распределения

 

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале

 

 

28. Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин.
Распределение xи-квадрата (закон Пирсона), распределение Стьюдента, распределение Фишера. Примеры использования и экспериментальных расчетов с помощью математического пакета EXEL

 

 

 

29. Проверка гипотезы о математическом ожидании контролируемого параметра большой партии изделий с нормальных законом распределения и известной дисперсией по выборке малого объема. Примеры использования и экспериментальных расчетов с помощью математического пакета EXEL

Пусть мы имеем выборку случайных величин, рас­пределенных по нормальному закону . В этом слу­чае задачи проверки гипотез о математических ожиданиях и дисперсиях формулируются следующим образом.

1. В критерии проверки гипотез вида при известной диспер­сии используется статистика , которая при справедли­вости гипотезы подчиняется нормальному распределению: . Проверяемая гипотеза отклоняется при боль­ших отклонениях от .

2. Для проверки гипотезы при неизвестной дисперсии используется статистика , где , . При справедливости статистика распределена как – распределение Стьюдента.

 

 

 

30. Оперативный статистический контроль качества производственных изделий на основе формирования случайных величин с известным законом распределения.
Проверка гипотезы о средних значениях контролируемого параметра двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и известными дисперсиями по двум выборкам малого объема. Примеры экспериментальных расчетов с помощью математического пакета EXEL.

Выборочный контроль, построенный на научной основе, т.е. исходящий из теории вероятностей и математической статистики, называют статистическим контролем.

 

Наиболее распространенными являются две вероятностные модели—биномиальная и гипергеометрическая. В биномиальной модели предполагается, что результаты контроля n единиц можно рассматривать как совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин Х₁, Х₂,....,Х_n, где Х_i = 1, если i‑ ое измерение показывает, что есть нарушение, т.е. превышено ПДК (предельная норма концентрации) или i‑ ое изделие дефектно, и Х_i = 0, если это не так. Тогда число Х превышений ПДК или дефектных единиц продукции в партии равно

Х= Х₁+ Х₂+...+ Х_n. (1)

Из формулы (1) и Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей вытекает, что при увеличении объема выборки n распределение Х сближается с нормальным распределением. Известно, что распределение Х имеет вид

Р(Х= k) = C_n^k p^k (1—p)^n-k, (2)

где C_n^k - число сочетаний из n элементов по k, а p —уровень дефектности (в другой предметной области - доля превышений ПДК в генеральной совокупности), т.е. p = Р(Х_i= 1). Формула (2) задает так называемое биномиальное распределение.

Гипергеометрическое распределение соответствует случайному отбору единиц в выборку. Пусть среди N единиц, составляющих генеральную совокупность, имеется D дефектных. Случайность отбора означает, что каждая единица имеет одинаковые шансы попасть в выборку. Мало того, ни одна пара единиц не должна иметь при отборе в выборку преимущества перед любой другой парой. То же самое —для троек, четверок и т.д. Это условие выполнено тогда и только тогда, когда каждое из сочетаний по n единиц из N имеет одинаковые шансы быть отобранным в качестве выборки. Вероятность того, что будет отобрано заранее заданное сочетание, равна, очевидно, 1/ .

Отбор случайной выборки согласно описанным правилам организуют при проведении различных лотерей. Пусть Y —число дефектных единиц в случайной выборке, организованной таким образом. Известно, что тогда P (Y = k) – гипергеометрическое распределение, т.е.

(3)

Замечательный математический результат состоит в том, что биномиальная и гипергеометрическая модели весьма близки, когда объем генеральной совокупности (партии) по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки. Другими словами, можно принять, что

Р(Х = k) = P (Y = k), (4)

если объем выборки мал по сравнению с объемом партии. При этом в качестве p в формуле (4) берут D/N. Близость результатов, получаемых с помощью биномиальной и гипергеометрической моделей, весьма важна с философской точки зрения. Дело в том, что эти модели исходят из принципиально различных философских предпосылок. В биномиальной модели случайность присуща каждой единице -она с какой-то вероятностью дефектна, а с какой-то - годна. В то же время в гипергеометрической модели качество определенной единицы детерминировано, задано, а случайность проявляется лишь в отборе, вносится экологом или экономистом при составлении выборки. В науках о человеке противоречие между аналогичными моделями выборки еще более выражено. Биномиальная модель предполагает, что поведение человека, в частности, выбор им определенного варианта при ответе на вопрос, определяется с участием случайных причин. Например, человек может случайно сказать «да», случайно—«нет». Некоторые философы отрицают присущую человеку случайность. Они верят в причинность и считают поведение конкретного человека практически полностью детерминированным. Поэтому они принимают гипергеометрическую модель и считают, что случайность отличия ответов в выборке от ответов во всей генеральной совокупности определяется всецело случайностью, вносимой при отборе единиц наблюдения в выборку.

Соотношение (4) показывают, что во многих случаях нет необходимости принимать чью-либо сторону в это