Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

Теорема сложения вероятностей совместных событий

2017-05-23 292
Теорема сложения вероятностей совместных событий 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Вверх
Содержание
Поиск

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте.

Пример. Поступление в магазин одного вида товара — событие . Поступление второго вида товара — событие . Поступить эти товары могут и одновременно. Поэтому и - совместные события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB). (2.5)

Доказательство. Событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий , , . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

(2.6)

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: , . Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем . Откуда

(2.7)

Аналогично для события Откуда

.

Подставив (2.7) и (2.8) в (2.6), находим

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB).

Пример. Если вероятность поступления в магазин одного вида товара равна P(A) = 0,4, а второго товара — P(B) = 0,5, и если допустить, что эти события независимы, но совместны, то вероятность суммы событий равна

P(A+B) = 0,4 + 0,5 — 0,4×0,5 = 0,7.

7. Правило умножения вероятностей для "n" событий в общем случае (события могут быть совместными)

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). (2.2)

Доказательство. Предположим, что из всевозможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и равна

.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на . Получим

.

Аналогично доказывается и формула

.

На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

P(A) = 5/35 = 1/7.

Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношения

Искомая вероятность будет

.

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий

P(AB) = P(A)×P(B). (2.3)


Поделиться с друзьями:

Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.011 с.