Синтез цифровых регуляторов для динамических систем

 

Определение параметров цифрового регулятора осуществляется путем пересчета параметров синтезированного непрерывного регулятора. Замена непрерывного регулятора эквивалентным цифровым называется переоборудованием. Этот термин в наибольшей степени отражает суть осуществляемых преобразований в синтезируемой мехатронной системе.

Рис. 3.3 – Переход от непрерывной модели к дискретной.

 

Замкнутая система с непрерывным объектом управления и синтезированным непрерывным регулятором с передаточной функцией (рис. 3.3,а) переоборудуется к системе с цифровым регулятором и фиксатором вычисленных значений с передаточной функцией .

Переоборудование базируется на представлении интеграла суммой. Эта сумма может быть вычислена тремя методами. Рассмотрим методы численного интегрирования, которые использованы в среде Matlab-Simulink.

Прямой метод Эйлера.

Прямой метод Эйлера представлен на рис. 2.4. Значение выходного сигнала в момент t= nT здесь находится из выражения:

                                               (2.5)

Рис. 2.4 – Прямой метод Эйлера.

При подстановке оператора запаздывания в выражение (2.5), получим:

Сигнал на выходе может быть представлен в виде:

.                                                               (2.6)

Т.о. при использовании прямого метода Эйлера осуществляется замена переменной:

 

Обратный метод Эйлера

Рассмотрим другой пример, когда аппроксимирующая функция характеризуется "перебором" значений, как это показано на рис. 2.5.

Рис. 2.5 – Обратный метод Эйлера.

Значение выходного сигнала в момент t= nT здесь находится из выражения:

   

При подстановке оператора запаздывания получим:

.

Сигнал на выходе может быть представлен в виде:

.                                                       (2.7)

Т.о. при использовании обратного метода Эйлера осуществляется замена переменной:

.

 

Метод трапеций

В пакете Simulink используется еще одна (трапецеидальная) аппроксимирующая функция (метод Тастина) (рис. 2.6).

Значение выходного сигнала в момент t=nT здесь находится из выражения:

Рис. 2.6 – Метод трапеции.

Сигнал на выходе может быть представлен в виде:

В этом случае аналогом оператора интегрирования  является оператор .

Таким образом, ту роль, которую в непрерывных системах играет оператор интегрирования , в дискретных системах играет оператор , либо , либо в зависимости от выбора способа численного интегрирования.

Если известна операторная передаточная функция непрерывного регулятора, то, используя различные методы численного интегрирования, можно определить передаточную функцию цифрового регулятора.

Заметим, что последняя зависит не только от способа численного интегрирования, но и от значения периода дискретизации Т.

В дальнейшем переоборудование непрерывного регулятора будем рассматривать на примере обобщенного ПИД регулятора с реальным дифференцирующим звеном, передаточная функция которого имеет вид , при этом для дифференцирующего звена должно выполняться неравенство .

При переоборудовании используется несколько методов представления операторной функции.

 

1. Метод параллельного программирования.

При использовании метода параллельного программирования каждое отдельное слагаемое в операторной функции заменяется ее дискретным аналогом с их последующим параллельным суммированием. Эти преобразования помещены в таблицу 2.1

Таблица 2.1

	КП
Прямой метод Эйлера
Обратный метод Эйлера
Метод трапеций

 

На рис. 2.7 представлена модель И-регулятора, реализованная тремя метдами в соответствии с уравнениями табл. 3.1 для Ки=2, Т=0.5.

Рис. 2.7 – Модель И-регулятора.

 

Для реального дифференцирующего звена на рис. 2.8 построены модели, соответствующие трем методам преобразований. Для реализации пропорционального дискретного регулятора необходимо последовательно

с непрерывным звеном включить экстраполятор Zero Order Hold.

Рис. 2.8 – Модель реального интегрирующего звена.