Доказательство Черного Короля

— Я докажу три суждения, — начал Король, — а именно:

1. Я принадлежу к Типу А;

2. Я не сплю;

3. Моя теория верна.

Прежде всего, тебе придется принять как предпосылку, что я убежден во всех трех суждениях. Ты это допускаешь?

— О, конечно! — ответила Алиса, — я ничуть не сомневаюсь, что вы в них убеждены, единственный вопрос, который я себе задаю — истинны ли эти суждения!

— Из самого факта, что я в них убежден, — сказал Король, — следует, что они должны быть истинны!

— Что?! — воскликнула Алиса в изумлении. — Вы хотите сказать, что если кто-то в чем-то убежден, это обязательно должно быть истинно?!

— Разумеется, нет! — воскликнул Король. — Я не хуже тебя знаю, что просто потому, что кто-то в чем-то убежден, это «что-то» вовсе не обязательно должно быть истинно. Тем не менее, именно эти три суждения имеют замечательное свойство — убежденность во всех трех делает их истинными!

— Как такое возможно? — недоумевала Алиса.

— Вот это я и собираюсь тебе доказать! — заявил Король. — Слушай же внимательно, дитя мое: поскольку я убежден в том, что я бодрствую, значит, я должен принадлежать к Типу А.

— Это следует из Утверждения 1, — подтвердила Алиса.

— Совершенно верно! — воскликнул Король. — А согласно Утверждению 2, раз я считаю, что принадлежу к Типу А, следовательно, я сейчас должен бодрствовать.

— Да, — согласилась Алиса.

— Превосходно, — заключил Король торжествующим голосом. — Поскольку я одновременно бодрствую и принадлежу к Типу А, значит, все мои убеждения в настоящий момент должны быть истинны. Раз мои убеждения в настоящий момент истинны и я верю в предложенную мной теорию, значит, моя теория верна! Какое еще доказательство тебе требуется?!

Глава 12. Какая Алиса?

П огодите-ка, — запротестовал Майкл, — вы что же, хотите, чтобы я поверил в теорию Черного Короля?

— Почему нет? — ответил я, еле сдерживая улыбку.

— Да это же самая нелепая теория, которую я когда-либо слышал!

— Почему? — спросил я. — Разве эта теория логически невозможна?

— Конечно, нет! — вскричал Майкл. — Вся эта теория — полнейший бред от начала и до конца!

— Но ведь Король доказал, что его теория верна, разве нет? — спросил я.

Все озадаченно молчали. Первой тишину нарушила Алиса:

— Не совсем, — произнесла она. — Доказательство Черного Короля было ошибочно.

— И где же содержится ошибка? — с самым невинным видом поинтересовался я.

— Вся его аргументация сводилась к замкнутому кругу, — пояснила Алиса. — Тот, кто считает себя принадлежащим к Типу А, должен бодрствовать, а тот, кто считает себя бодрствующим, должен принадлежать к Типу А. При этом оба этих утверждения обусловлены теорией Черного Короля, которая одновременно «доказывается» с их помощью!

— Молодец! — похвалил я Алису. — Да, именно здесь и кроется ошибка!

— Так я был прав! — воскликнул Майкл. — Теория действительно ошибочна!

— Нет-нет! — решительно поправил я его. — Алиса ведь не доказала, что теория ошибочна; она лишь доказала, что Черный Король не доказал, что теория правильна. Но ошибочность доказательства еще не означает ошибочности самой теории.

— Но это самая глупая теория, какую только можно придумать! — упорствовал Майкл.

— Одно дело — глупая, другое дело — логически невозможная, — заметил я. — Я допускаю, что данная теория в высшей степени невероятна, но это не означает, что она логически невозможна.

— В аргументации Короля есть один момент, заслуживающий

внимания, — добавил я, — а именно: если бы сам Король принадлежал к одному из двух типов (А или Б), тогда от того, что он убежден в своих трех суждениях, они действительно стали бы истинными! Доводы Короля приобрели бы весомость, добавь мы предпосылку о том, что Король принадлежит к Типу А либо к Типу Б. Если Король принадлежит к одному из этих двух типов, отсюда действительно следует, что и все остальные тоже принадлежат к тому или другому типу — другими словами, это означает, что теория должна быть правильной.

— И все же, это самая идиотская теория, которую я когда-либо слышал, — упрямо повторил Майкл. На этом, казалось, вопрос был исчерпан.

Однако вопрос вовсе не был исчерпан! Той ночью Алисе приснился удивительный сон. Когда она ложилась спать, голову ее переполняли необычные головоломки, услышанные накануне. Особое впечатление на нее произвели зазеркальные логики, которые истинное подменяли ложным, и странная теория Черного Короля. «Возможно ли, чтобы теория Черного Короля была правильной? — размышляла Алиса. — И если да, интересно, к какому типу принадлежала бы я — А или Б?»

А потом Алисе приснился сон. Ей снилось, что она другая Алиса — та Алиса из Зазеркалья. Ей снилось, что она встретила

Черного Короля и объяснила ему, в чем был пробел в его доказательстве. Он исправил ошибку, предложив ей доказательство того, что он и в самом деле принадлежит либо к Типу А, либо к Типу Б (к сожалению, проснувшись наутро, Алиса не могла вспомнить это доказательство, поэтому и я вам не могу ничего сказать о нем!). В любом случае, во сне Алиса была совершенно убеждена, что Король принадлежит либо к Типу А, либо к Типу Б, и следовательно (согласно первому аргументу Короля), все существа на свете принадлежат к тому или другому типу. Затем между Алисой и Королем состоялся следующий разговор:

— Есть другая Алиса, — сказал Король, — которая прямо сейчас спит, и ей снится, что она — это ты.

— Как странно! — воскликнула Алиса. — А может быть, это я сейчас сплю, и мне снится, что я — это она?

— Это одно и то же, — ответил Король.

Замечание Короля поставило Алису в полный тупик! Она совершенно не понимала, почему это вдруг одно и то же.

— Как думаешь, ты какая из Алис? — поинтересовался Король.

— Я уж теперь и не знаю! — жалобно ответила Алиса.

— А к какому типу ты принадлежишь: Типу А или Типу Б? — снова спросил Король.

— Боюсь, что этого я тоже не знаю, — вздохнула Алиса. — На самом деле, я даже не уверена, сплю я или бодрствую.

— Давай проверим, — предложил Король. — Какого цвета твои глаза?

— Карие, конечно! Ой, нет, кажется, голубые! Подождите, это зависит от того, какая я из Алис. Какая я из Алис, и какого цвета мои глаза?

— Поставим вопрос иначе, — уклонился от прямого ответа Король. — Бармаглот знает и про тебя, и про другую Алису. Когда Бармаглот спит, он считает, что у одной из вас карие глаза, а у другой — голубые. Когда он бодрствует, он считает, что у тебя карие глаза, а у другой Алисы глаза голубые. Теперь можешь мне сказать, какого цвета твои глаза?

Что ж, дорогой читатель, предоставлю вам самому решить эту маленькую загадку. Какого цвета глаза у моей знакомой девочки Алисы? А у другой Алисы?

Второй вопрос. К какому типу (А или Б) принадлежит Бармаглот?

Решения

Глава 1

Кто Джон?

Чтобы узнать, кто из двух братьев Джон, спросите одного из них: «Джон правдив?» Если он ответит «да», это должен быть Джон, независимо от того, солгал он или сказал правду. Если же он ответит «нет», значит, он не Джон. И вот как это подтверждается.

Ответив «да», говорящий утверждает, что Джон правдив. Если его утверждение истинно, значит, Джон действительно правдив, а раз говорящий тоже сказал правду, он и должен быть Джоном. Если же его утверждение лживо, значит Джон на самом деле не правдив, а лжет точно так же, как и говорящий, следовательно, и в этом случае говорящий должен быть Джоном. Так мы доказали, что, независимо от того, сказал ли говорящий правду или солгал, отвечая на вопрос, именно он должен быть Джоном (в том случае, если он ответил «да»).

Если же на заданный вопрос был получен ответ «нет», значит, ответивший утверждает, что Джон не правдив. Если его утверждение истинно, то Джон не правдив. Если его утверждение ложно, то Джон правдив. В любом из этих двух случаев говорящий не соответствует характеристике, данной им Джону, следовательно, он должен быть братом Джона. Таким образом, ответ «нет» говорит нам о том, что говорящий — не Джон.

Безусловно, если мы сформулируем вопрос иначе («Джон лжет?»), такой вопрос тоже подойдет. Ответ «да» будет означать в

этом случае, что говорящий не Джон, а ответ «нет» укажет на то, что говорящий и есть Джон.

Это единственные вопросы из двух слов, которые мне удалось придумать, чтобы найти решение задачи. Интересно, есть ли другие?

Что касается второй задачи, а именно: найти вопрос, с помощью которого можно определить, лжет ли Джон — вам нужно лишь спросить: «Ты Джон?»

Предположим, что последует ответ «да». Это может быть либо правда, либо ложь. Предположим, это правда. Тогда говорящий и в самом деле Джон, и раз он говорит правду, значит, Джон правдив. С другой стороны, предположим, что ответивший солгал. Тогда он не Джон (ведь его заявление о том, что он Джон, не может быть правдой). Если он лжет и он не Джон, значит, Джоном должен быть его правдивый брат. Таким образом, мы видим, что, если ответ будет «да», то Джон должен быть правдив независимо от того, солгал ли отвечающий или сказал правду.

Предположим теперь, что был получен ответ «нет». Ответивший либо солгал, либо сказал правду. Предположим, он сказал правду. Тогда он действительно не Джон, а Джон — это его брат, и (раз ответивший сказал правду) Джон должен быть тем братом, который лжет. С другой стороны, предположим, что ответивший солгал. В этом случае (ведь он заявляет о том, что он не Джон), на самом деле он и должен быть Джоном, и тогда Джон — это тот, кто лжет. Мы видим, таким образом, что если ответ будет «нет», то, независимо от того, солгал отвечавший или же сказал правду, Джоном должен быть тот, кто лжет.

Решения этих двух задач можно объединить в довольно симпатичное резюме: чтобы узнать, кто Джон, задайте вопрос «Джон лжет?»; чтобы узнать, лжет ли Джон, задайте вопрос «Ты Джон?»

Глава 2

История первая

Шляпник заявил, по существу, что повидло украл либо Мартовский Заяц, либо Соня. Если Шляпник солгал, значит ни Мартовский Заяц, ни Соня повидла не крали. Раз Мартовский Заяц кражи не совершал, то он, следовательно, сказал на суде правду. Поэтому, если мы предположим, что Шляпник солгал, то в этом случае Мартовский Заяц не солгал, поэтому не может быть так, чтобы Шляпник и Мартовский Заяц солгали оба. Следовательно, Соня сказала правду, заявив, что Шляпник и Заяц солгали не оба. Итак, теперь мы знаем, что Соня сказала правду. Но нам известно, что Соня и Мартовский Заяц не могли оба сказать правду. Поскольку мы уже выяснили, что Соня сказала правду, значит солгал Мартовский Заяц. Раз он солгал, следовательно, его показания ложны и это означает, что повидло украл именно Мартовский Заяц.

История вторая

Предположим, что муку украл Мартовский Заяц. Так как нам известно, что вор сказал правду, это означало бы, что показания Мартовского Зайца были правдивы. Другими словами, муку украл Шляпник. Но нам известно, что только один из этой троицы совершил кражу, и, значит, невозможно, чтобы муку украл Мартовский Заяц. Поэтому Заяц невиновен, но мы-то знаем, что оба невиновных дали лживые показания, следовательно, Мартовский Заяц солгал. Значит заявление Зайца о том, что муку украл Шляпник, лживо. Раз

ни Мартовский Заяц, ни Шляпник кражи не совершали, муку украла Соня.

История третья

Если бы повариха Герцогини стащила перец, она бы уж точно знала об этом и, следовательно, сказала бы правду, заявив, что ей известно, кто украл перец. Но мы-то знаем, что те, кто крадут перец, никогда не говорят правды. Поэтому повариха Герцогини должна быть невиновна.

Итак кто же украл перец?

Если предположить, что перец украл Мартовский Заяц, значит, он солгал (ведь те, кто крадут перец, всегда лгут), следовательно, его заявление о невиновности Шляпника в этом случае было бы лживым, что означало бы, что и Шляпник участвовал в краже. Но нам известно, что кража была совершена в одиночку. В этом случае Мартовский Заяц не мог быть к ней причастен. Раз Мартовский Заяц невиновен, значит, по условиям задачи, он сказал правду, и Шляпник также невиновен. Если Шляпник невиновен, то и он тоже сказал правду, что означает, что и Соня невиновна. Значит ни один из подозреваемых перца не крал.

5. И все же, кто украл перец?!

Предположим, что виновен Грифон. В этом случае он солгал на суде, и его показания о невиновности Как-Бы-Че-репахи лживы, и Как-Бы-Черепаха виновен. В этом случае у нас получилось бы двое виновных, что невозможно (вспомните условия предыдущей задачи). Следовательно, Грифон невиновен. В этом случае его показания правдивы и Как-Бы-Черепаха также невиновен. Раз Как-Бы-Черепаха невиновен, то и его показания правдивы, и вина, таким образом, должна быть возложена на Омара.

Метазадача

Те, кто читал «Приключения Алисы в Стране Чудес» Льюиса Кэрролла, знают, что Омар, в отличие от Грифона и Как-Бы-Черепахи, никогда не был персонажем книги. Он упоминается лишь в одном из стихотворений, рассказанных Алисой.

История четвертая

Предположим, сахар украла Герцогиня. В этом случае она солгала, что означает, что ее показания о том, что повариха сахар не крала, лживы. Другими словами, повариха в этом случае тоже должна быть причастна к краже. Но нам дано, что кражу совершила лишь одна из них. Таким образом, Герцогиня не могла украсть сахар. А раз так, то кражу совершила повариха. (Соответственно, обе они солгали.)

История пятая

Если мы предположим, что соль съел Чеширский Кот, в этом случае выходит, что все трое солгали, а это исключается по условиям задачи. Если соль съел Билль, то в таком случае все трое сказали правду, что тоже невозможно. Следовательно, соль съела Гусеница (и, таким образом, первые два заявления были лживыми, а третье — правдивым).

История шестая

Если противень украл Швейцар-Головастик, то и он, и Валет солгали, так что это исключается. Если противень украл Лакей-Карась, то в этом случае солгали и он, и Валет, поэтому эта версия тоже исключается. А раз так, то кражу совершил Червонный Валет (и, как ни странно, на этот раз он сказал правду, как и Лакей-Карась).

История седьмая

Чеширский Кот украсть не мог, так как в этом случае вор сказал бы правду. Следовательно, Чеширский Кот к краже непричастен (и тогда и он, и Герцогиня солгали). Если бы книгу украла Повариха, то получилось бы, что солгали все трое, а это противоречит условиям задачи. Таким образом, книгу украла Герцогиня (и в этом случае Герцогиня солгала, Чеширский Кот солгал, а повариха сказала правду).