Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2021-10-05 | 259 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Содержание
Введение
1. История возникновения комплексных чисел……………………………...4
1.1. Развитие понятия числа....................................................................... 4
1.2. Развитие комплексных чисел............................................................... 6
2.Комплексные числа……………………………………………………….....7
1.3. Алгебраическая запись комплексного числа……………………………7
1.4. Геометрическое изображение комплексных чисел............................ 8
1.5. Тригонометрическая форма комплексного числа………………………10
1.6. Действия над комплексными числами…………………………………..11
1.7. Формула Эйлера и Муавра................................................................13
3.Применение комплексных чисел…………………………………………..14
3.1. Применение комплексных чисел в науке……………………………....14
4.Результаты социологического исследования……………………………..17
5.Заключение………………………………………………………………….18
6.Литература…………………………………………………………………..19
ВВЕДЕНИЕ
-1 |
имеют вид
a + b
. Указанные уравнения не имеют решения на области
действительных чисел, однако эти задачи имеют вполне определённый физический смысл.
В настоящие время комплексные числа широко используются для математического описания и решения многих вопросов физики и техники (в механике, электротехнике, атомной физике и др.)
Цель исследования:
Выяснить какие факторы повлияли на возникновение новых чисел и узнать об использовании комплексных чисел в прикладных науках.
Задачи исследования:
1) познакомиться с историей возникновения комплексного числа;
2) рассмотреть теоретические положения, связанные с понятием комплексного числа и его формами представления;
3) рассмотреть области применения комплексных чисел в различных разделах математики и физики.
Объект исследования: комплексные числа.
Проблема: невозможность решения квадратных уравнений на поле действительных чисел. Почему возникает новый вид чисел?
Гипотеза: комплексные числа - математическая модель для описания и решения задач, неразрешимых на поле действительных чисел.
Методы исследования:
1. библиографический метод;
2. общенаучный метод (обобщение и систематизация научных положений);
3. метод моделирования и обоснования выводов;
4. метод классификации.
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа.
Натуральные числа (N) возникли в глубокой древности, когда возникла необходимость счёта.
Операции, которые можно проводить с натуральными числами: сложение, умножение, не всегда выполнимы операции вычитания, деления.
Целые числа (Z), так же возникли в глубокой древности. А в математический обиход их ввели Михаэль Штифель (1487—1567) в книге
«Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).
Операции, которые можно проводить с отрицательными числами: сложение, вычитание, умножение; обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком, но нельзя извлекать из под корня.
Затем необходимость выполнения деления привела к понятиям дробных чисел. Рациональные числа (Q). Впервые в Европе термин дроби употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). А десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске.
Операции, которые можно проводить с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, но не во всех случаях можно извлекать из под корня.
Рациональных чисел оказывается недостаточно для измерения длин отрезков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину, необходимо
добавить к рациональным числам числа иррациональные. Ограничившись рассмотрением только рациональных чисел, не возможно было бы решить уравнение x2-2=0, так как в множестве рациональных чисел это уравнение не имеет решений.
Множество действительных чисел (R) - в это множество входят рациональные и иррациональные числа. Все выше перечисленные операции выполнимы во множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа.
Но и действительных чисел оказывается недостаточно для решения алгебраических уравнений. Ведь на множестве действительных чисел не имеет решений квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, в том числе простейшие квадратные уравнения с натуральными коэффициентами, например, x2 + 1=0, x2+x+1=0. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появление новых чисел, отличных от действительных, их назвали комплексными числами (С).
Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, так как может создать представление о комплексных числах как о чем-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в 16 веке, они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: «Комплексное число - это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и не бытием». Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа».
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
СЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Определение. Суммой комплексных чисел а+ bi и a'+b'i называют комплексное число (а+ а') + (b+ b')i. Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.
Пример 1. (-3 + 5i) + (4- 8i)=1 - 3i.
Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i)=9 + 0i. Так как запись 2 + 0i обозначает то же, что и 2 наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).
Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.
ВЫЧИТАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Определение. Разностью комплексных чисел а+bi и а’+bi называется комплексное число (а- а') + (b- b')i.
Пример 1. (-5 + 2i) -(3- 5i) = -8 + 7i.
Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.
УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Определение. Произведением комплексных чисел а+bi и a'+b'i
называется комплексное число (аа' – bb') + (ab' + ba')i.
Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2= -1
Пример. (1 - 2i)(3 + 2i)=3 - 6i + 2i - 4i2 =3 - 6i + 2i + = 7- 4i.
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
Определение. Чтобы разделить комплексное число a+bi на комплексное число
а' + b'i необходимо найти такое число x+yi, которое в произведении с a’+b’
даст a+ bi
Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряжённое со знаменателем
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА И МУАВРА
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (cos j+isin j)n=cos(jn)+isin(n j).
Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: eix= cosx+isinx,
которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что еi p= -1. Таким образом можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. С помощью формулы Муавра выводится формула извлечения корня из комплексного числа.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия и в настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому нам надо расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.
Думаем, что мы добились поставленной цели. Познакомились с историей развития числа, понятием комплексного числа, формами записи комплексных чисел, с действиями над комплексными числами. Показали, как с помощью комплексных чисел можно вывести некоторые формулы тригонометрии.
Подводя итоги, мы пришли к следующему важному выводу: комплексные числа тесно взаимосвязаны с различными науками, но при этом, как показал опрос, уровень школьных знаний о них недостаточный, так как комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики. И поэтому, я считаю, что изучение комплексных чисел необходимо ввести в программу элективных курсов по алгебре.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г,
2. Колмогоров А.Н., Абрамов, Дудицин Алгебра и начала анализа 10- 11кл, Просвещение 2005г
3. Никольский С.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10- 11кл, Просвещение 2005г
4. Алгебра и начало анализа.10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича.
ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ
1. http://www.people.su/39021
2. http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg26.html
Содержание
Введение
1. История возникновения комплексных чисел……………………………...4
1.1. Развитие понятия числа....................................................................... 4
1.2. Развитие комплексных чисел............................................................... 6
2.Комплексные числа……………………………………………………….....7
1.3. Алгебраическая запись комплексного числа……………………………7
1.4. Геометрическое изображение комплексных чисел............................ 8
1.5. Тригонометрическая форма комплексного числа………………………10
1.6. Действия над комплексными числами…………………………………..11
1.7. Формула Эйлера и Муавра................................................................13
3.Применение комплексных чисел…………………………………………..14
3.1. Применение комплексных чисел в науке……………………………....14
4.Результаты социологического исследования……………………………..17
5.Заключение………………………………………………………………….18
6.Литература…………………………………………………………………..19
ВВЕДЕНИЕ
-1 |
имеют вид
a + b
. Указанные уравнения не имеют решения на области
действительных чисел, однако эти задачи имеют вполне определённый физический смысл.
В настоящие время комплексные числа широко используются для математического описания и решения многих вопросов физики и техники (в механике, электротехнике, атомной физике и др.)
Цель исследования:
Выяснить какие факторы повлияли на возникновение новых чисел и узнать об использовании комплексных чисел в прикладных науках.
Задачи исследования:
1) познакомиться с историей возникновения комплексного числа;
2) рассмотреть теоретические положения, связанные с понятием комплексного числа и его формами представления;
3) рассмотреть области применения комплексных чисел в различных разделах математики и физики.
Объект исследования: комплексные числа.
Проблема: невозможность решения квадратных уравнений на поле действительных чисел. Почему возникает новый вид чисел?
Гипотеза: комплексные числа - математическая модель для описания и решения задач, неразрешимых на поле действительных чисел.
Методы исследования:
1. библиографический метод;
2. общенаучный метод (обобщение и систематизация научных положений);
3. метод моделирования и обоснования выводов;
4. метод классификации.
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа.
Натуральные числа (N) возникли в глубокой древности, когда возникла необходимость счёта.
Операции, которые можно проводить с натуральными числами: сложение, умножение, не всегда выполнимы операции вычитания, деления.
Целые числа (Z), так же возникли в глубокой древности. А в математический обиход их ввели Михаэль Штифель (1487—1567) в книге
«Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).
Операции, которые можно проводить с отрицательными числами: сложение, вычитание, умножение; обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком, но нельзя извлекать из под корня.
Затем необходимость выполнения деления привела к понятиям дробных чисел. Рациональные числа (Q). Впервые в Европе термин дроби употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). А десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске.
Операции, которые можно проводить с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, но не во всех случаях можно извлекать из под корня.
Рациональных чисел оказывается недостаточно для измерения длин отрезков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину, необходимо
добавить к рациональным числам числа иррациональные. Ограничившись рассмотрением только рациональных чисел, не возможно было бы решить уравнение x2-2=0, так как в множестве рациональных чисел это уравнение не имеет решений.
Множество действительных чисел (R) - в это множество входят рациональные и иррациональные числа. Все выше перечисленные операции выполнимы во множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа.
Но и действительных чисел оказывается недостаточно для решения алгебраических уравнений. Ведь на множестве действительных чисел не имеет решений квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, в том числе простейшие квадратные уравнения с натуральными коэффициентами, например, x2 + 1=0, x2+x+1=0. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появление новых чисел, отличных от действительных, их назвали комплексными числами (С).
Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, так как может создать представление о комплексных числах как о чем-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в 16 веке, они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: «Комплексное число - это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и не бытием». Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа».
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!