Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2021-10-05 | 51 |
5.00
из
|
Заказать работу |
ЧИСЕЛ Y |
Y |
5 |
A |
b |
M |
-4 |
3 0 K |
X |
B |
A |
0 |
-5 |
a |
X |
Рис.2 |
Рис.1 |
Комплексные числа можно изобразить в декартовой системе координат. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число а + bi мы изображаем точкой М, абсцисса которой равна – a, т.е. действительной части комплексного числа, а ордината – мнимой.
Примеры. На рис.2 точка A с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка B (-4,-5) изображает комплексное число -4 - 5i.
Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид а+0i) изображают точками оси ОХ, а чисто мнимые точками оси ОУ.
Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А' на рис. 2 изображают сопряжённые числа
3 +5i и 3 -5i.
Комплексные можно изображать также отрезками или векторами, начинающимися в точке O и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости.
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости (при изучении течения жидкости, задач теории упругости).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Абсцисса а и ордината b комплексного числа a+bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами: a=rcosq; r=a/cosq; b=rsinq; r=b/sinq.
r - длина вектора (а+bi), q - угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).
Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде
r(cosq+ isinq), где r> 0, т.е. z= a+ bi = r(cos q+ i sin q)
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или тригонометрической формой комплексного числа.
ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ СРАВНЕНИЕ
a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
СЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Определение. Суммой комплексных чисел а+ bi и a'+b'i называют комплексное число (а+ а') + (b+ b')i. Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.
Пример 1. (-3 + 5i) + (4- 8i)=1 - 3i.
Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i)=9 + 0i. Так как запись 2 + 0i обозначает то же, что и 2 наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).
Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.
ВЫЧИТАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Определение. Разностью комплексных чисел а+bi и а’+bi называется комплексное число (а- а') + (b- b')i.
Пример 1. (-5 + 2i) -(3- 5i) = -8 + 7i.
Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.
УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Определение. Произведением комплексных чисел а+bi и a'+b'i
называется комплексное число (аа' – bb') + (ab' + ba')i.
Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2= -1
Пример. (1 - 2i)(3 + 2i)=3 - 6i + 2i - 4i2 =3 - 6i + 2i + = 7- 4i.
ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
Определение. Чтобы разделить комплексное число a+bi на комплексное число
а' + b'i необходимо найти такое число x+yi, которое в произведении с a’+b’
даст a+ bi
Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряжённое со знаменателем
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА И МУАВРА
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (cos j+isin j)n=cos(jn)+isin(n j).
Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: eix= cosx+isinx,
которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что еi p= -1. Таким образом можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. С помощью формулы Муавра выводится формула извлечения корня из комплексного числа.
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!