Графический метод наложения характеристик

Наличие балансов среды и энергии в системе позволяют получить систему из двух уравнений, которую можно решить относительно расхода в системе

Σ Р  = 0                                          

Σ G  = 0                                     (2.7а)

или

Р_н = Р_с                                     

G_н = G_с                                (2.7б)

Для систем, в которых перемещается жидкость с постоянной плотностью, можно заменить массовый расход на объемный

Р_н = Р_с                    

Q_н = Q_с                                     (2.7в)

Учитывая, что имеются определенные зависимости давлений нагнетателя и сети от расхода, получим

f_н(Q_н) = f_c(Q_c)                             

Q_н = Q_с                                     (2.7г)

Если зависимости Р_н = f_н(Q_н) и Р_с = f_c(Q_c) известны, то система может быть решена алгебраическим или численным способом, так как имеются два уравнения и два неизвестных – расходы Q_н и Q_с. Фактически, зная что эти расходы одинаковы, получаем одно уравнение с неизвестным расходом

f_н(Q) = f_c(Q)                                          (2.8)

 Зависимость Р_с = f_c(Q)  для гидравлической характеристики сети хорошо изучена – в самом простом случае это уравнение квадратичной параболы Р = А Q ² и его модификации. Однако уравнение   Р_н = f_н(Q) для гидравлической характеристики нагнетателя обычно не известно, так как она чаще всего приводится в графической форме.

Поэтому, хотя система (2.7) или уравнение (2.8) могут быть решены любым способом, графический метод решения используется наиболее часто. Кроме того, он является очень наглядным, что важно на начальном этапе изучения материала. В дальнейшем мы будем ориентироваться именно на графический способ решения, а различные вычислительные методы рассматриваются в специальных дисциплинах и используется для достаточно сложных систем.

Графическое решение уравнения (2.8) показано на рисунке 2.3. Сама идея метода проста: надо в системе координат Р – Q  построить графическую характеристику нагнетателя Р_н = f_н(Q) и графическую характеристику сети Р_с = f_с(Q), после чего найти точку их пересечения Ф. Эта точка и является решением системы. Она отображает тот режим, который установится в системе. Данный метод решения получил название метод наложения характеристик.

Рисунок 2.3 – Иллюстрация метода наложения характеристик

Отметим ряд важных обстоятельств:

а) решение в виде точки пересечения Ф будет существовать всегда, так как графическая характеристика нагнетателя и сети не параллельны – первая имеет отрицательный общий наклон, а вторая – положительный;

б) точка Ф, как точка пересечения, одновременно принадлежит двум линиям – характеристике нагнетателя и характеристике сети. Таким образом, она одновременно отображает фактический режим работы нагнетателя, и фактический рабочий режим сети.

в) на рисунке точка Ф является единственной точкой, параметры которой удовлетворяют условию (2.7б), то есть в данном случае она является единственным решением. Учитывая, что графические характеристики нагнетателя и сети могут иметь перегибы, может получаться несколько точек пересечения. В этом случае выбор точки, соответствующей действительному режиму системы, производится с учетом дополнительных обстоятельств.

г) в большинстве случаев, при правильном выборе плана решения задачи, нет необходимости строить характеристики нагнетателя и сети в области отрицательных координат (II – IV квадранты). Вполне достаточно ограничиться построениями в пределах I квадранта. Если же все-таки точка пересечения получается в пределах отрицательных расходов, то это просто означает, что принятое при решении направление движения потока в сети неверно, и поток движется в обратном направлении.

Лекция 3