Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2021-03-18 | 449 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§1. Некоторые сведения о матрицах
Ортогональные и унитарные матрицы
Определение. Комплексная квадратная матрица А называется унитарной, если . Множество всех унитарных матриц n -го порядка будем обозначать .
Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.
►Из определения следует: , значит, .◄
2. .
В силу равносильности любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.
Определение. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если . Множество всех ортогональных матриц n -го порядка будем обозначать .
Следствия. 1. .
2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.
3. .
Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.
Свойства ортогональных и унитарных матриц
1º. . 1'. .
2º. . 2'. .
3º. . 3'. .
►Докажем, например, первое свойство для унитарных матриц (для ортогональных доказательство отличается только тем, что отсутствует комплексное сопряжение).
.◄
Теорема 7.1 о матрице перехода. Пусть в евклидовом пространстве заданы: ортонормированный базис
(7.1)
и ещё какой-либо базис
. (7.2)
Для того чтобы базис (7.2) был ортонормированным, необходимо и достаточно, чтобы матрица Т перехода от (7.1) к (7.2) была унитарной для комплексного евклидова пространства, и ортогональной для действительного.
|
►Доказательство проводим для комплексного случая. Если и – матрицы Грама базисов (7.1) и (7.2) соответственно, то и . Тогда
{(7.2) – ортонормированный} .◄
Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц
Вспомним, что комплексная квадратная матрица А называется эрмитовой, если , а действительная квадратная матрица А – симметричной, если . Будем обозначать – множество всех эрмитовых матриц n -го порядка, а – множество всех действительных симметричных матриц n -го порядка. Очевидно, . Запишем некоторые свойства этих матриц, которые вы можете легко доказать в качестве упражнения.
1º. . 1'. .
2º . 2'. .
3º. . 3'. .
Свойства сопряженных операторов
1º. , т. е. тождественный оператор сопряжен самому себе.
►Очевидным образом вытекает из определения.◄
2º. .
► : . Утверждение вытекает из леммы 7.1. ◄
3º. .
► (объясните каждый шаг цепочки).◄
4º. Если оператор имеет обратный и имеет сопряженный, то также имеет сопряженный, причем .
► . Аналогично доказывается, что , значит, и есть .◄
5º. .
Это свойство вы можете легко доказать самостоятельно.
Если обозначить
, , (7.16)
, (7.17)
то (7.15) запишется в виде
.
Сравнивая (7.13) и (7.16), (7.10) и (7.17), замечаем, что
, .
Завершает доказательство цепочка рассуждений:
{ – центр симметрии Ф} { – центр симметрии Ф}
{ } { }.◄
Вывод. Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии кривой второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле .
Точно так же доказываются аналогичные утверждения и для поверхностей второго порядка.
Пример. Определить видповерхности второго порядка
,
приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту поверхность.
▼1. Проверяем существование центра симметрии. Для этого вычисляем частные производные и составляем систему вида (7.14):
|
Решая эту систему, находим . С помощью параллельного переноса помещаем начало координат в центр поверхности . При этом квадратичная часть уравнения не изменится, слагаемые первой степени пропадут, свободный член .
2. Приводим к каноническому виду квадратичную часть.
; ,
; .
Записываем каноническое уравнение поверхности:
или
и видим, что это однополостный гиперболоид.
Находим базис, состоящий из собственных векторов, используя алгебраические дополнения:
; ; .
Заметим, что нормировать базисные векторы нет необходимости. Нормированные векторы были бы нам нужны для записи ортогонального преобразования переменных, приводящего квадратичную часть к каноническому виду. Но в данном примере это преобразование не используется. Остается поверхность нарисовать (рис. 7.2). ▲
Изометрии
Определение. Линейный оператор f евклидова пространства Е в себя называется изометрией, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если
(7.18)
Изометрии в комплексном евклидовом пространстве называются унитарными операторами, а в действительном – ортогональными.
Теорема 7.10. Если l – собственное значение изометрии, то |l|=1.
►Пусть – собственный вектор изометрии , l – его собственное значение. Положим . Тогда: (7.18) .◄
Замечание. Собственные значения ортогонального оператора равны 1 или –1. Ортогональный оператор в пространстве четной размерности может и не иметь собственных значений, но в пространстве нечетной размерности имеет хотя бы одно.
Теорема 7.11. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы он сохранял длины векторов.
► Необходимость очевидна.
Достаточность (доказываем для комплексного случая). Пусть f сохраняет длины векторов, т. е. . Тогда :
. (7.19)
Так как (7.19) справедливо для всех комплексных l, то при l = 1 получаем . Если же , то (7.19) принимает вид , и, таким образом, утверждение доказано.◄
|
Следствие. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.
Теорема 7.12. Изометрия любой ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис. Обратно, если линейный оператор некоторый ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис, то f – изометрия.
►Первое утверждение, очевидно, справедливо. Действительно, согласно определению, ортонормированный базис переходит в ортонормированную систему из n векторов, которая в силу теоремы 6.4 линейно независима и поэтому в n -мерном линейном пространстве является базисом.
Обратно. Пусть линейный оператор некоторый ортонормированный базис
(7.20)
пространства переводит в ортонормированный базис
, (7.21)
и пусть и – произвольные векторы пространства . Тогда каждый из векторов и можно разложить по базису (7.20): Так как базисы (7.20) и (7.21) ортонормированны, то . Значит,
и, таким образом, f – изометрия.◄
Теорема 7.13. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы .
►На основании теоремы 7.2 любой линейный оператор имеет сопряженный. Тогда:
{ f – изометрия}
[лемма 7.1] { }. (7.22)
Если А – матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то – матрица оператора в том же базисе, и из (7.22) для изометрии получаем
. (7.23)
Из (7.23) вытекает, во-первых, что матрица изометрии невырождена, значит, любая изометрия – невырожденный линейный оператор, причем . Во-вторых, для того чтобы линейный оператор f комплексного евклидова пространства в себя был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была унитарной. Для того чтобы линейный оператор f действительного евклидова пространства в себя был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была ортогональной.◄
|
Ортогональные операторы
Виду пары квадратичных форм
Теорема 7.15. Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем одна из них положительно определена. Тогда в существует базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.
►Пусть, например, квадратичная форма положительно определена. Тогда соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже положительно определена. С помощью этой билинейной формы можно задать скалярное произведение на линейном пространстве и после этого оно превращается в евклидово пространство . Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис
, (7.27)
в котором форма имеет канонический вид. Так как базис (7.27) ортонормированный, то . Значит, квадратичная форма в базисе (7.27) имеет единичную матрицу, и поэтому форма в этом базисе имеет нормальный вид. ◄
К каноническому виду
Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем положительно определена. Выберем в какой-либо базис
, (7.28)
и обозначим и матрицы форм и соответственно в этом базисе. В пространстве скалярное произведение зададим с помощью симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме . Это значит, линейное пространство превращается в евклидово , а матрица Грама базиса (7.28) совпадает с . Как и во всяком евклидовом пространстве, в существует ортонормированный базис
. (7.29)
Если – матрица Грама базиса (7.28), а – матрица квадратичной формы в этом базисе, то , . В силу ортонормированности базиса (7.29) , значит, , откуда получаем, что
.
Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение
(7.30)
а чтобы найти векторы искомого базиса, следует для каждого собственного значения решить систему линейных уравнений
, (7.31)
где – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.29). Но
{(7.30)} { } { }
{ },
откуда вытекает, что (7.30) равносильно уравнению
|
. (7.32)
Система же (7.31) преобразуется так: {(7.31)} { }
{ } { }. Если – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.28), то , значит, система (7.31) равносильна следующей:
. (7.33)
Таким образом, диагональные элементы матрицы – это корни уравнения (7.32), а векторы искомого базиса – это решения системы линейных уравнений (7.33) для каждого из найденных значений .
Из вышесказанного получаем следующее правило одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:
1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся – .
2. Составляем уравнение (7.32), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм: будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы совпадают с найденными собственными значениями .
3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7.33) при каждом из найденных собственных значений .
4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !).
5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов и по ней записываем линейное невырожденное преобразование переменных .
Пример. Приведем одновременно к каноническому виду квадратичные формы
и .
▼1. Записываем матрицы обеих квадратичных форм:
, .
Исследуем на знакоопределенность форму по критерию Сильвестра: . Итак, положительно определена форма . Значит,
, .
2.
.
Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:
Канонический вид квадратичной формы , а формы .
3.
:
4.
5. ;
|
ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§1. Некоторые сведения о матрицах
Ортогональные и унитарные матрицы
Определение. Комплексная квадратная матрица А называется унитарной, если . Множество всех унитарных матриц n -го порядка будем обозначать .
Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.
►Из определения следует: , значит, .◄
2. .
В силу равносильности любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.
Определение. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если . Множество всех ортогональных матриц n -го порядка будем обозначать .
Следствия. 1. .
2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.
3. .
Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!