Разложение произвольного линейного оператора

В действительном евклидовом пространстве в произведение

Симметричного и ортогонального

 

Теорема 7.14. Пусть  – действительное евклидово пространство. Для любого невырожденного линейного оператора  существуют симметричный  и ортогональный  операторы такие, что .

►Рассмотрим линейный оператор . Так как , то оператор  симметричный. Если  – собственное значение оператора , а  – соответствующий ему собственный вектор, то . С другой стороны, . Итак, , откуда вытекает, что . На самом деле, в силу невырожденности , . Как и для любого симметричного оператора, для в  существует ортонормированный базис

                                            ,                                   (7.25)

в котором матрица оператора  имеет диагональный вид

,

причем , и не обязательно различные. Обозначим  тот линейный оператор, который в базисе (7.25) имеет матрицу

.

Так как , то . Очевидно, оператор  – симметричный и невырожденный, поэтому существует обратный ему линейный оператор , также симметричный (его матрица в базисе (7.25) – это

 

,

она тоже симметрична). Положим

                                          .                                       (7.26)

Учитывая, что [симметрия ] = , делаем вывод, что  – ортогональный оператор. Теперь из (7.26) получаем . ◄

Можно доказать, что эта теорема справедлива и для вырожденных линейных операторов.

Следствие. Любая действительная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и симметричной матриц.

 

Одновременное приведение к каноническому

Виду пары квадратичных форм

 

Теорема 7.15. Пусть  и  – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем одна из них положительно определена. Тогда в  существует базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.

►Пусть, например, квадратичная форма  положительно определена. Тогда соответствующая ей симметричная билинейная форма  тоже положительно определена. С помощью этой билинейной формы можно задать скалярное произведение на линейном пространстве  и после этого оно превращается в евклидово пространство . Согласно теореме 7.7, в  существует ортонормированный базис

                                 ,                                        (7.27)

в котором форма  имеет канонический вид. Так как базис (7.27) ортонормированный, то . Значит, квадратичная форма  в базисе (7.27) имеет единичную матрицу, и поэтому форма  в этом базисе имеет нормальный вид. ◄

 

Правило приведения пары квадратичных форм

К каноническому виду

 

Пусть  и  – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем  положительно определена. Выберем в  какой-либо базис

                                    ,                                           (7.28)

и обозначим  и  матрицы форм  и  соответственно в этом базисе. В пространстве  скалярное произведение зададим с помощью симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме . Это значит, линейное пространство превращается в евклидово , а матрица Грама базиса (7.28) совпадает с . Как и во всяком евклидовом пространстве, в  существует ортонормированный базис

                                     .                                        (7.29)

Если  – матрица Грама базиса (7.28), а  – матрица квадратичной формы  в этом базисе, то , . В силу ортонормированности базиса (7.29) , значит, , откуда получаем, что

.

Согласно теореме 7.7, в  существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма  имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение

                                                                                    (7.30)

а чтобы найти векторы искомого базиса, следует для каждого собственного значения  решить систему линейных уравнений

                                       ,                                    (7.31)

где  – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.29). Но

{(7.30)}  { }  { }

 { },

откуда вытекает, что (7.30) равносильно уравнению

                                        .                                     (7.32)

Система же (7.31) преобразуется так: {(7.31)} { }  

 { } { }. Если  – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.28), то , значит, система (7.31) равносильна следующей:

                                       .                                      (7.33)

Таким образом, диагональные элементы матрицы  – это корни  уравнения (7.32), а векторы искомого базиса – это решения системы линейных уравнений (7.33) для каждого из найденных значений .

Из вышесказанного получаем следующее правило одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:

1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся – .

2. Составляем уравнение (7.32), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм:  будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы  совпадают с найденными собственными значениями .

3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7.33) при каждом из найденных собственных значений .

4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !).

5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов и по ней записываем линейное невырожденное преобразование переменных .

Пример. Приведем одновременно к каноническому виду квадратичные формы

 и .

▼1. Записываем матрицы обеих квадратичных форм:

, .

Исследуем на знакоопределенность форму  по критерию Сильвестра: . Итак, положительно определена форма . Значит,

, .

2.

.

Записываем характеристическое уравнение  и находим его корни:

Канонический вид квадратичной формы , а формы .

3.  

:

4.

5. ;

                                                                                                                     ▲