В трехмерном евклидовом пространстве

Известно, что всякий многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень. Поэтому всякий линейный, в том числе и ортогональный оператор  имеет, по крайней мере, одно собственное значение , причем . Пусть  – единичный собственный вектор ортогонального оператора  с собственным значением . Обозначим  и рассмотрим . Очевидно,  – двумерное евклидово пространство. Выберем произвольные векторы  и . Тогда

 – собственный ортогональность .

Обозначим  такой линейный оператор, что

(  отличается от  только областью определения). Очевидно,  – тоже ортогональный оператор. Как и в любом евклидовом пространстве, в пространстве  можно выбрать ортонормированный базис . Тогда  – ортонормированный базис пространства . Матрица оператора  в этом базисе имеет блочно диагональный вид ,

где  – матрица оператора  в базисе . В силу того, что оператор  ортогональный, матрица  тоже ортогональная. Это значит, что в подходящем ортонормированном базисе она может быть одной из матриц:

 

.

Перечисляя всевозможные принципиально различные виды матриц  в подходящем ортонормированном базисе пространства , получаем

а) .

 

,  – тождественный оператор;

,  – симметрия относительно оси с направлением вектора ;

,  – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;

,  – поворот вокруг оси с направлением вектора .

 

б) .

,  – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;

,  – симметрия относительно начала координат;

,  – симметрия относительно оси с направлением вектора ;

,  – композиция поворота вокруг оси с направлением вектора  и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этому же вектору.

Таким образом, все ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве – это: тождественный; симметрия относительно плоскости; симметрия относительно оси; симметрия относительно начала координат; поворот вокруг оси и композиция поворота вокруг оси и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этой же оси.

 

Симметричные операторы в

Как было доказано в § 3, для любого симметричного оператора  в   существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора  имеет диагональный вид. Перечислим все принципиально возможные различные случаи.

 – тождественный оператор;

 – симметрия относительно оси;

 – симметрия относительно плоскости;

 – симметрия относительно начала координат;

(перечисленные операторы одновременно являются и ортогональными);

 – нулевой оператор;

 – проектирование на ось с направлением вектора ;

 – проектирование на плоскость, перпендикулярную вектору ;

 – растяжение при  и сжатие при ;

 – растяжение от оси при  и сжатие к оси при ;

 – растяжение вдоль оси при  и сжатие вдоль оси при

.

Рассмотрим теперь некоторую диагональную матрицу

,

в которой, например, . Тогда

 

,

т. е. оператор, заданный матрицей , есть композиция растяжений (или сжатий) вдоль трех взаимно перпендикулярных осей и симметрии относительно оси. Любая диагональная матрица может быть представлена в виде произведения перечисленных выше десяти простейших матриц. Например, при положительных  и

 

,

откуда вытекает, что оператор с такой матрицей есть композиция двух растяжений вдоль осей, проектирования на плоскость и симметрии относительно другой плоскости.