Напряженность электрического поля и потенциал

, ,

где W_p – потенциальная энергия точечного положительного заряда q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

Принцип суперпозиции полей

, ,

где ,  – напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i –м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,

, ,

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал.

Линейная плотность заряда

.

Поверхностная плотность заряда

.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром,

,

где r – расстояние от нити или от цилиндра до точки, в которой определяется напряженность.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

.

Связь напряженности с потенциалом:

а)  в случае однородного поля;

б)  в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.

Работа сил поля по перемещению заряда q из точки с потенциалом  в точку с потенциалом ,

.

Электроемкость

или ,

где  – потенциал проводника (при условии, что в бесконечности потенциал проводника принимается равным нулю); U – разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора

,

где S – площадь пластины (одной) конденсатора, d – расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а)     при последовательном соединении;

б)      при параллельном соединении,

где N – число конденсаторов в батарее.

Энергия электрического поля заряженного конденсатора:

, , .

 

 

Примеры решения задач.

 

Пример 1. Два точечных заряда = 1 нКл и = – 2 нКл находятся на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность  и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда  на расстояние = 9 см и от заряда  на расстояние = 7 см.

Дано: = 1 нКл = Кл = – 2 нКл = - Кл d = 10 см = 0,1 м = 9 см = 0,09 м = 7 см = 0,07 м Е =?, φ =?

 

 

 

Решение:

По принципу суперпозиции напряженность  электрического поля в искомой точке равна векторной сумме напряженностей  и  полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

.

Вектор  направлен по силовой линии от заряда , так как заряд  положителен; вектор  направлен по силовой линии к заряду , так как заряду  отрицателен. Абсолютное значение вектора  найдем по теореме косинусов:

 

,

где: α – угол между векторами  и , β = π – α.

Напряженность электрического поля в воздухе (ε = 1), создаваемого точечными зарядами  и  равна:

, ,

где: .

Из треугольника со сторонами , , d:

 ,

 .

Подставив, находим:

.

Размерность:

.

Вычисления:

,

.

По принципу суперпозиции потенциал электрического поля, созданного двумя зарядами  и  равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности:

.

 

Потенциалы электрических полей, созданных в воздухе точечными зарядами  и :

, .

Подставим, получим:

.

Размерность:

.

При вычислении φ следует учитывать знак заряда:

.

Ответ: Е = 3,58 кВ/м, φ = – 157 В.

 

Пример 2. Ромб (рис.7) составлен из двух равносторонних треугольников со сторонами а = 0,25 м. В вершинах при острых углах ромба помещены заряды = = Кл. В вершине при одном из тупых углов ромба помещен заряд = Кл. Определить напряженность электрического поля в четвертой вершине ромба. Какая сила будет действовать на заряд = Кл, помещенный в эту вершину.

 

Дано: = = Кл а = 0,25 м = Кл = Кл Е =?, F =?

Решение :

По принципу суперпозиции напряженность  электрического поля в искомой точке равна векторной сумме напряженностей , ,  полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

17

 

 

.

Модуль вектора :

,

где:  и  проекции вектора  на координатные оси.

При выбранном направлении осей:

Напряженности полей, создаваемых зарядами , ,  соответственно равны:

, , .

Учитывая, что = , получим:

, .

Следовательно:

.

Размерность:      .

Вычисления:

.

Знак минус указывает на то, что проекция , а следовательно и вектор  направлены противоположно оси Х.

Сила, действующая на заряд , равна:

.

Ответ: Е = 360 В/м, F = 0,72 мкН.

 

Пример 3. Тонкий стержень длинной L = 20 см несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q₁ = 40 нКл, на который со стороны стержня действует сила F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

 

Дано: L = 20 см = 0,2 м а = 10 см = 0,1 м q1 = 40 нКл = 40·10–9 Кл F = 6 мкН = 6·10–6 Н   τ =?

 

Решение:

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом q₁ зависит от линейной плотности τ заряда на стержне. При вычислении силы F следует иметь ввиду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне (рис.8) малый участок dr с зарядом dq = τ·dr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона:

.

Интегрируя это выражение в пределах от а до а + L получим:

 .

Отсюда линейная плотность заряда:

, где:  .

Размерность:        .

Вычисления: .

Ответ: τ = 2,5 нКл/м.

 

Пример 4. Электрическое поле образованно положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотностью заряда τ = 2·10^-9 Кл/см. Какую скорость получит электрон, приблизившись к нити с расстояния r₁ = 1 см до расстояния r₂ = 0,5 см от нити.

Дано: τ = 2·10–9 Кл/см = 2·10–7 Кл/м r1 = 1 см = 10–2 м r2 = 0,5 см = 0,5·10–2 м е = – 1,6·10–19 Кл v2 =?

 

Решение.

 

Систему заряженная нить-электрон можно рассматривать как замкнутую. Полная энергия электрона, движущегося в потенциальном поле заряженной нити, будет постоянной:

,

где: – кинетическая энергия электрона,

– потенциальная энергия электрона.

На основании закона сохранения энергии:

.

Учитывая, что v₁ = 0, получим:

.

Для определения разности потенциалов используем связь между напряженностью поля и изменением потенциала:

.

Для поля с осевой симметрией, каким является поле заряженной бесконечной нити, это соотношение можно записать в виде:

, откуда   .

 

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов, двух точек отстоящих на расстояния r₁ и r₂ от нити:

.

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной нитью:

,

,

.

Размерность:

.

Вычисления:

.

Ответ: v₂ = 29,6 Мм/с.

 

Пример 5. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 4 см. Электрон начинает двигаться от отрицательной пластины в тот момент, когда от положительной пластины начинает двигаться протон. На каком расстоянии от положительной пластины они встретятся?

 

 

Дано: d = 4 см qe = qp = 1,6·10–19 Кл me = 9,11·10–31 кг mp = 1,67·10–27 кг х =?

 

 

Решение.

 

На заряженную частицу в электрическом поле действует сила Кулона:

.

 

Силой тяжести пренебрегаем, т.к. , .

По второму закону Ньютона, т.к. силы не зависят от времени, движение электрона и протона равноускоренное. Начальная скорость обеих частиц равна нулю. Обозначим путь, пройденный протоном через х, тогда электрон до встречи пройдет путь d – x:

, ,

где: t- время движения частиц.

Найдем ускорение частиц: , следовательно

, .

Тогда:

, .

Составим соотношение:

,

откуда:

 ,

 .

Проверка размерности:

 .

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

.

Ответ: х = 2,2 мкм.

 

  Пример 6. Протон и α - частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения α - частицы.

 

Дано: v0α = v0p mα = 4mp qα = 2qp

 

Решение.

 

Заряженная частица, влетев в конденсатор параллельно пластинам (вдоль оси Х) со скоростью , испытывает со стороны поля конденсатора действие кулоновской силы , направленной перпендикулярно пластинам конденсатора (вдоль оси Y). Согласно 2-му закону Ньютона движение частицы вдоль оси Y будет равноускоренным:

.

Отклонение частицы перпендикулярно пластинам (вдоль оси Y):

.

Так как , то:            .

Движение частицы параллельно пластинам равномерное (вдоль оси Х), поэтому время движения частицы в конденсаторе:

,

где: L – длина пластины конденсатора,

– скорость движения частицы параллельно пластинам.

Тогда отклонение частицы полем конденсатора примет вид:

 ,

23

,  ,

 

 .

Отклонение протона полем конденсатора в два раза больше отклонения α - частицы, при условии, что обе частицы влетели в конденсатор параллельно пластинам с одинаковой скоростью.

 

Пример 7. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v_0x = 10⁷ м/с. Напряженность поля в конденсаторе Е = 100 В/см, длина конденсатора L = 5 см. Найти величину и направление скорости электрона при вылете его из конденсатора.

 

Дано: q = 1,6·10–19 Кл m = 9,11·10–31 кг v0x = 107 м/с Е = 100 В/см = =10000 В/м L = 5 см = 5·10–2 м v =?, α =?

 

Решение

Пусть напряженность электрического поля в конденсаторе направлена снизу вверх. Тогда на электрон, влетевший в конденсатор параллельно его пластинам со скоростью , будет действовать кулоновская сила . В результате движение электрона по вертикали будет равноускоренным, а по горизонтали – по-прежнему равномерным. При вылете из конденсатора скорость электрона:

,

где: – скорость движения параллельно пластинам,

– скорость перпендикулярно пластинам.

 

 

Ускорение электрона:

 .

Время движения электрона в конденсаторе:

 .

Тогда:

 .

Скорость электрона при вылете:

.

Проверим размерность:

.

Вычисления:

.

Угловое отклонение электрона от горизонтального направления:

 ,

.

 

Ответ: v_y = 1,33·10⁷ м/с, α = 41⁰.

 

Пример 8. Конденсаторы с емкостями C₁ = C₂ =C₄ =2 мкФ, С₃ = 3 мкФ соединены так, как показано на рисунке (рис.13а). Напряжение на обкладках 4-го конденсатора U₄ = 50 В. Найти заряды и разности потенциалов на обкладках каждого конденсатора, а также общий заряд и разность потенциалов батареи.

 

Дано: C1 = C2 =C4 =2 мкФ С3 = 3 мкФ U4 = 50 В C =?, q =?, U =? q1, q2, q3, q4 =? U1, U2, U3 =?

Решение.

 

Вычислим электроемкость батареи. Преобразуем исходную схему (рис. 13 а) в ряд эквивалентных схем (рис. 13 б, в, г). Конденсаторы С₂ и С_З соединены последовательно:

,

.

Эквивалентный конденсатор С_2З соединен с конденсатором С₄ параллельно, поэтому:

.

Эквивалентный конденсатор С₂₃₄ соединен последовательно с конденсатором С₁:

.

Заряд на конденсаторе связан с разностью потенциалов (напряжением) между его обкладками, поэтому:

.

 

При параллельном соединение напряжения на конденсаторах одинаковые, поэтому:

.

При последовательном соединении заряд на каждом из конденсаторов одинаковый, то есть:

.

Зная заряды, найдем напряжения:

,

.

Общий заряд q равен заряду первого конденсатора q₁, который равен заряду эквивалентного конденсатора С_2З4, который в свою очередь равен сумме зарядов конденсаторов С_2З и С₄:

Напряжение на первом конденсаторе:

.

Общее напряжение или разность потенциалов батареи:

.

Ответ: С = 1,23 мкФ, q = 160 мкКл, U = 130 В,

q₁ = 160 мкКл, q₂ = q₃ = 60 мкКл, q₄ = 100 мкКл,

U₁ = 80 В, U₂ = 30В, U₃ = 20 В.

 

Пример 9. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого S = 400 см², заполнен двумя слоями диэлектрика. Граница между ними параллельна обкладкам. Первый слой – парафин (e₁ = 2) толщины d₁ = 0,2 см, второй слой стекло (e₂ = 7) толщины d₂ = 0,3 см. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 600 B. Найти ёмкость конденсатора, напряженность электрического поля и падение потенциала в каждом слое, энергию конденсатора.

 

Дано: S = 4·10-2 м2 d1 = 2·10-3 м e1 = 2 d2 = 3·10-3 м e2 = 7 U = 600 B C -? Е1, Е2 -? U1, U2 -? W -?

Решение.

 

Ёмкость конденсатора :

.

В плоском конденсаторе в пределах каждого диэлектрика электрическое поле однородно, поэтому:

₂.

Напряженность поля в каждом слое:

, ,

где:  – поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора.

Следовательно:  .

Из полученного выражения следует, что данный конденсатор с двумя слоями диэлектрика можно рассматривать как 2 последовательно соединенных конденсатора, ёмкости которых:

, .

 

 

Подставив числовые данные, получим C = 0,25·10^-9 Ф. Граница раздела диэлектрика параллельна обкладкам и, следовательно, перпендикулярна силовым линиям поля. Поэтому электрическое смещение D₁ = D₂, то есть

,

.

Поэтому:

, ;

, .

Произведя вычисления, получим:

E₁ = 2,1·10⁵ В/м; Е₂ = 0,6·10⁵ В/м, U₁ = 420 B, U₂ = 180 B.

Энергия заряженного конденсатора:

,

Энергию конденсатора можно найти и по общей формуле для энергии электрического поля

,

где:  - плотность энергии электрического поля,

V – объём, в котором существует электрическое поле.

В данном случае поле однородное, поэтому:

.

Ответ: C = 0,25·нФ, E₁ = 210·кВ/м; Е₂ = 60·кВ/м,

U₁ = 420 B, U₂ = 180 B, W = 45·мкДж.

 

 

Пример 10. Коаксиальный электрический кабель состоит из центральной жилы и концентрической по отношению к ней цилиндрической оболочки, между которыми находится изоляция e = 3,2. Найти ёмкость единицы длины такого кабеля, если радиус жилы 1,3 см, радиус оболочки 3,0 см.

Решение:

Дано: R1 = 1,3·10-2 м R1 = 3,0·10-2 м e = 3,2 C1 -?

 

 

Кабель можно рассматривать как цилиндрический конденсатор. Ёмкость конденсатора:

,

где: q – заряд на жиле, (j₁ - j₂) – разность потенциалов между жилой и оболочкой.

Ёмкость единицы длины кабеля:

,

где: t - линейная плотность заряда. Разность потенциалов связана с напряженностью  электрического поля, направленного вдоль радиальных прямых от жилы к оболочке:

 .

Напряженность поля заряженной жилы (нити): .

Тогда:      
.

Следовательно: .

Ответ: С₁ = 214 пФ/м.

 

Пример 11. Как изменится энергия заряженного плоского конденсатора (e = 1) при уменьшении расстояния между его пластинами, если 1) конденсатор заряжен и отключен2) конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения. Как зависит сила притяжения F между пластинами от расстояния между ними?

 

Решение:

 

 

1. Если конденсатор отключен от источника напряжения, то заряд на его обкладках не будет изменяться при сближении пластин, то есть q = const, а ёмкость увеличится, так как:

.

Энергия конденсатора выражается через его заряд и ёмкость: .

Видим, что при сближении пластин отключенного конденсатора его энергия уменьшается. За счет убыли энергии конденсатора совершается работа сил притяжения обкладок при их сближении: .

Сила притяжения:

 или .

Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону уменьшения х, то есть является силой притяжения.

2. Согласно условию, U = const. Поэтому воспользуемся формулой, в которой энергия конденсатора выражается через напряжение и ёмкость:

 .

Следовательно, при сближении пластин конденсатора, подключенного к источнику напряжения, энергия конденсатора увеличится на

 

.

 

Возрастание ёмкости конденсатора при постоянном напряжении означает увеличение заряда на его пластинах. Значит, при сближении пластин на них дополнительно перейдут от источника напряжения заряды Dq. Сообщение одной пластине положительного заряда Dq, а другой отрицательного заряда -Dq эквивалентно перемещению заряда Dq с одной обкладки на другую, то есть источник напряжения совершает работу:

 .

Видим, что работа, совершаемая при сближении пластин источником напряжения, в 2 раза больше прироста энергии конденсатора. Таким образом, теперь за счет энергии источника напряжения увеличивается энергия конденсатора DW, а также совершается работа А сил напряжения пластин. По закону сохранения энергии:

.

Отсюда: .

Сила притяжения:

.

Видим, что сила притяжения пластин обратно пропорциональна квадрату расстояния между пластинами.

 

Ответ: При уменьшении расстояния между пластинами конденсатора: 1) при отключенном источнике напряжения энергия конденсатора уменьшается, сила притяжения между пластинами постоянна; 2) при подключенном источнике напряжения энергия конденсатора увеличивается, сила притяжения между пластинами увеличивается.

 

 

Пример 12. Объёмная плотность энергии электрического поля внутри заряженного плоского конденсатора с твердым диэлектриком (e = 6,0) равна 2,5 Дж/м³. Найти давление, производимое пластинами площадью S = 20 см² на диэлектрик, а также силу, которую необходимо приложить к пластинам для их отрыва от диэлектрика.

Дано: w = 2,5 Дж/м3 e = 6,0 S = 2·10-3 м2 p -? Fотр -?

Решение.

Притягиваясь друг к другу с силой F, пластины конденсатора сжимают диэлектрик, заключенный между ними. Давление:

, где , так как q = const.

Изменение энергии dW при перемещении пластин конденсатора на расстояние dx равно:

.

Следовательно, сила притяжения:

,

давление:   .          

Знак минус означает, что величины F и p направлены в сторону уменьшения расстояния х.

Убедимся в правильности размерности искомой величины:

[р] = Дж/м³ =Н/ м² = Па.

Под действием внешней силы F_отр, направленной наружу, пластина, отрываясь от диэлектрика, переместится на расстояние dx, образуя зазор. Работа силы F_отр пойдет на увеличение энергии:

, следовательно .

Прирост энергии конденсатора, связанный с увеличением его объёма, равен

dW = w₀Sdx,

где: w₀ – объёмная плотность энергии поля в зазоре.

Следовательно:

.

Так как индукция D₀ в зазоре (e = 1) равна индукции D в диэлектрике, то:

_, , следовательно .

Тогда получим:

F_отр = ewS.

Сделаем проверку размерности:

.

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

 

Ответ: р = -2,5·Па, F_отр = 3 мН.

 

 

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

 

4.1.ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

 

Сила тока I численно равна количеству электричества, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени:

                                                          .

Плотность электрического тока

                                                         ,

где S – площадь поперечного сечения проводника.

Ток, текущий по участку однородного проводника, подчиняется закону Ома

                                                          ,

где U – разность потенциалов на концах участка, R – сопротивление этого участка.

Работа электрического тока на участке цепи определяется формулой

                                          .

Для замкнутой цепи закон Ома имеет вид

                                                  ,

где Е – ЭДС источника, R – внешнее сопротивление, r – внутреннее сопроивление источника.

Полная мощность, выделяемая в цепи,

                                                  .

Для разветвленных цепей имеют место два закона Кирхгофа:

· Первый закон Кирхгофа – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

                                        

· Второй закон Кихгофа – в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме ЭДС, имеющихся в этом контуре:

                                       .

При применении законов Кирхгофа надо руководствоваться следующими правилами.

На схеме произвольно указываются стрелками направления токов у соответствующих сопротивлений. Обходя контур в произвольном направлении, будем считать положительными те токи, направления которых совпадают с направлением обхода, и отрицательными те, направления которых противоположны направлению обхода.

Положительными ЭДС будем считать те ЭДС, которые повышают потенциал в направлении обхода, т.е. ЭДС будет положительной, если при обходе придется идти от минуса к плюсу внутри источника.

В результате решения составленных уравнений определяемые величины могут получиться отрицательными. Отрицательные значения тока указывают на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно принятому.

4.2. Примеры решения задач.

 

Пример 1. В данной схеме (рис.17) батарея с ЭДС равной Е = 100 В, R₁ = R₃ = 40 Ом, R₂=80 Ом, R₄=34 Ом. Найти силу тока, текущего через сопротивление R₂ и падение напряжения на этом сопротивлении. Сопротивлением батареи пренебречь.

Дано: Е = 100 В r = 0 R1 = R3 = 40 Ом R2=80 Ом R4=34 Ом I2 –? U2 –?

 

Решение.

 

 

По закону Ома для замкнутой цепи:

,

где: R – полное сопротивление цепи.

Резисторы R₁, R₂, R₃ соединены параллельно и все вместе последовательно с R₄.

При параллельном соединении падение потенциала на каждом резисторе одинаковое, т.е. U₁ = U₂ = U₃; а сопротивление:

.

Подстановка данных даёт R₁₂₃ = 16 Ом.

Полное сопротивление цепи:

R = R₁₂₃ + R₄ = 16 + 34 = 50 (Ом).

По закону Ома , получим I = 2 A. Но:

, .

После подстановки числовых данных получим: U₂ = 32 В.

Сила тока, текущего через сопротивление R₂:

, .

Ответ: U₂ = 32 В, I₂ = 0,4 А.

 

Пример 2. Два гальванических элемента E₁ = 5 В, r₁ = 0,3 Ом, E₂ = 4 В, r₂ = 0,2 Ом соединены параллельно и замкнуты на резистор R = 1,88 Ом. Определить силу тока через каждый элемент схемы.

Дано: E1 = 5 В r1 = 0,3 Ом E2 = 4 В r2 = 0,2 Ом R = 1,88 Ом I, I1, I2  –?

 

Решение.