Эндрю Уайлс о своей первой встрече с теоремой Ферма

 

Не сомневаясь в своем успехе, Уайлс закрылся у себя в комнате и, не посвящая никого в свои проекты, решил доказать гипотезу Таниямы – Симуры, которая доказала бы автоматически и Последнюю теорему Ферма. Между этим моментом и циклом лекций в Кембридже прошло семь лет, во время которых Уайлс не публиковал почти ничего и занимался, казалось, исключительно преподавательской деятельностью.

Такая ситуация несколько необычна, поскольку карьера исследователя, который не публикуется, подвергается серьезному риску. В академическом сообществе существует присказка: публиковаться или погибнуть. Успех измеряется числом цитат, взятых из публикуемых статей в престижных журналах.

 

 

ЭВАРИСТ ГАЛУА И НИЛЬС АБЕЛЬ

 

Эварист Галуа (1811‑1832) и Нильс Хенрик Абель (1802‑1829) развили, независимо друг от друга, теорию групп для решения вопроса, имеет ли уравнение пятой степени обобщенное решение, как это было у всех уравнений меньшей степени. Теория француза Галуа была гораздо более развита, чем теория норвежца Абеля, поскольку он первым использовал термин "группа". Обоих математиков ждала трагическая судьба, они оба умерли молодыми. Абель скончался от болезни и лишений. Галуа же был не только гениальным математиком, но и ярым республиканцем: он прожил короткую жизнь, которая закончилась абсурдной дуэлью из‑за женщины. В ней многие увидели политическую ловушку полиции Луи Филиппа Орлеанского. Ни один из этих ученых не был признан при жизни. Известно, что Галуа лихорадочно записывал свои идеи накануне дуэли, явно убежденный в том, что умрет на следующий день. Иногда он писал: "У меня нет времени". На следующий день, действительно, Галуа был смертельно ранен и покинут своим противником. Ученый прожил еще несколько дней. Когда он увидел, как плачет его брат, то сказал ему: "Не плачь, мне нужна вся моя смелость, чтобы умереть в 21 год".  

 

 

Теория групп

 

Группа – это просто множество А с операцией Θ, которая имеет некоторые свойства: она закрытая (результат операции находится в А), ассоциативная, имеет нейтральный и обратный элементы. Например, множество (a, b, c) и операция, которая состоит в расположении всех трех элементов в различном порядке (abc), (acb), (bca) и так далее, образуют группу. Сегодня группы вездесущи в математике. Мало что было таким плодотворным, как теория групп. Но, кроме того, изучение теории групп ведет к исследованию других алгебраических структур, таких как кольца, поля и идеалы. Значительная часть современной алгебры – это изучение множества и некоторых операций с элементами этого множества.  

Эварист Галуа.

Нильс Хенрик Абель.

 

Но Уайлс держался практически в полном молчании, периодически все‑таки публикуясь по вопросам, очень отдаленным от его реального исследования. Ученый быстро продвигался в своей работе, и некоторые его результаты по теории групп были достойны того, чтобы принести ему известность; однако он боялся, что кто‑нибудь узнает, чем он на самом деле занимается, и вынудил себя молчать. Вскоре коллеги начали думать, что карьера Уайлса закончена и его математический гений исчерпан. Ничего удивительного в их выводах не было, поскольку большинство математиков вносят свой вклад в науку еще в молодости.

Молчание Уайлса привело к тому, что ему пришлось проглотить обиду, когда, едва лишь через два года после начала его работы, другой исследователь по имени Иоичи Мияока объявил, что доказал Последнюю теорему Ферма. Мияока основывался на стратегии (наследнице стратегии Фальтингса), вроде бы отличной от стратегии Уайлса, однако в глубине аналогичной тому, что он пытался сделать. Таким образом была сформулирована гипотеза Мияоки, которая, так же как и гипотеза Таниямы – Симуры, была связана с Великой теоремой; если гипотеза Мияоки истинна, то истинна и теорема Ферма. К счастью для Уайлса, сам Фальтингс быстро нашел ошибку в доказательстве Мияоки, и, несмотря на все усилия по ее устранению, доказательство провалилось всего лишь через два месяца. Уайлс вздохнул с облегчением и продолжил работать.

История того, как Уайлс нашел доказательство, очень сложна: в нем более ста страниц. Стоит выделить некоторые аспекты этого доказательства. Уайлс так же, как и Куммер, воспользовался теорией групп.

Изначальный подход Уайлса основывался на теории Ивасавы, от которой он отказался, поскольку она не давала результатов, заменив ее так называемым методом Колывагина – Флаха. Интересно отметить, что теория Ивасавы возникла как обобщение работы Куммера. В математике есть связи, которые постоянны в истории.

Как мы уже говорили, математик, пытающийся доказать сложную теорему, пользуется различными стратегиями, пока в момент озарения не находит нужную – ту, что способна снести стену. Сам Уайлс сравнивал свою работу с входом в темную комнату, где он постепенно узнает о мебели и вещах, которые в ней существуют, пока, наконец, не находит выключатель и не заполняет комнату светом.

Дело в том, что доказательство, изложенное Уайлсом в знаменитой серии лекций, прочитанных 23 июня 1993 года в Кембридже, было основано на его второй стратегии, Колывагина – Флаха, поскольку он отбросил за бесполезностью изначальный метод. Однако это доказательство было опровергнуто, поскольку в нем содержалась роковая ошибка.

Французский математик Огюстен Лум Кошм доказал теорему Ферма о прямоугольных числах в 1812 году.

В 1843 году Эрнст Куммер утверждал, будто доказал Последнюю теорему Ферма и выяснил, что она выполняется для регулярных простых чисел.

Эндрю Уайлс опубликовал в 1994 году окончательное доказательство Последней теоремы Ферма.

 

Уайлс натолкнулся на ту же самую стену, что и Коши, Ламе, Куммер и Мияока. Все они были убеждены в своем успехе, однако были разбиты в самый последний миг. Этот последний шаг, эта последняя карта не давалась ни одному из математиков. И теперь, казалось, она не далась и Уайлсу. Так же как и предыдущим исследователям, Уайлсу было предназначено стать очередным именем в длинном ряду провалов, который длился 350 лет.

Но это не было очевидно в начале, когда математику устроили овацию в конце лекции. Ошибка всплыла при подготовке к публикации, во время очень серьезного процесса, известного как "рецензирование". Как правило, во время рецензирования формулируются вопросы и сомнения, на которые автор должен ответить. На одно из таких сомнений Уайлс ответить не смог. Его ошибку, которую нашел американский математик Ник Катц, невозможно объяснить неспециалисту. Согласно самому Уайлсу, даже профессиональному математику потребовалось бы два или три месяца, чтобы понять ее. В конце концов ученый был вынужден признать правоту Катца: он ошибся в такой тонкости, что ее было практически не видно.

Это и была цена самоизоляции Уайлса. Открытое обсуждение с коллегами хода исследования является одним из неписаных правил в математической практике. Подобное обсуждение позволяет обнаружить возможные ошибки, обсудить методы, сопоставить идеи. Но есть и обратная сторона: если кто‑то тебе что‑то подсказывает, в публикуемой статье ты должен вынести ему благодарность или даже включить в число соавторов. Вот почему такие статьи часто подписаны десятками авторов.

 

Проблема работы с Ферма – в том, что ты можешь провести годы, ничего не получив [...].  

Эндрю Уайлс

 

Уайлс знал о риске, которому подвергался, но премия была слишком важна для него, и он не хотел с кем‑то ею делиться. Так что математик решил рискнуть... и совершил ошибку. В любом случае, в доказательстве Уайлса было столько новаторства, что оно само по себе обладало ценностью. Так же как в случае с Коши или Куммером, его попытки уничтожить стену открыли дверь в новые миры. Но Уайлс не был готов сдаться. Поскольку секретничать уже не было смысла, он начал работать со своим коллегой Ричардом Тейлором, чтобы попытаться исправить ошибку. В конце концов он нашел решение. Хитрость заключалась в том, чтобы совместить метод Ивасавы, от которого он отказался, с методом Колывагина – Флаха. Уайлс решил задачу в день своего рождения. Вдруг все стало ясно, выключатель нашелся, и комната наполнилась светом. Через некоторое время, в мае 1995 года, состоялась публикация двух статей в журнале Annals of Mathematics, одна была подписана Уайлсом и Тейлором, а другая – только Уайлсом. Им обоим наконец‑то удалось доказать одну из самых сложных задач всех времен. Небольшого книжного поля, действительно, было недостаточно для ста страниц доказательства, которое нашел Уайлс, основываясь, в свою очередь, на невероятных идеях Таниямы, Симуры, Фрая и Рибета. Стена наконец‑то пала. Одна из самых долгих и сложных осад в истории математики закончилась победой осаждающих.

Из теоремы самой по себе нельзя было вывести никаких революционных результатов, но попытки ее доказательства дали огромное количество новых и плодотворных путей исследования. Возможно, если бы Эйлер не заинтересовался этой теоремой, теория чисел была бы разработана намного позже; теория идеалов была изначально задумана Куммером как инструмент доказательства теоремы, хотя сегодня она применяется во многих других областях. Фальтингс и Мияока исследовали связи между дифференциальной геометрией и теорией чисел благодаря Последней теореме Ферма. И наконец, Уайлс, возможно, не занялся бы доказательством гипотезы Таниямы – Симуры с таким пылом, если бы не знал о связи между этой гипотезой и любимой задачей его детства.

Всем этим мы обязаны скромному утверждению, или, даже можно сказать, всего лишь любопытному замечанию – теореме, которую однажды Ферма написал на полях "Арифметики" Диофанта.

 

 

ГЛАВА 3

Современная теория чисел

 

Несмотря на важность Великой теоремы Ферма для последующего развития математики, если бы она стала его единственным вкладом в науку, фигура тулузского юриста не обладала бы такой значимостью. Но Ферма был первоклассным математиком, для многих историков – мыслителем, равным Архимеду, Эйлеру или Гауссу. Он внес важный вклад в одну из своих любимых областей – современную теорию чисел, которую сам же и создал.

Собственные делители числа, или его аликвоты (включая число 1, которое всегда является делителем любого числа),– это делители, отличающиеся от самого числа, на которые оно делится без остатка. А совершенное число – это число, равное сумме всех своих собственных делителей.

Приведем пример. Собственными делителями числа 6 являются 1,2 и 3, а 1+2 + 3 = 6. Следовательно, 6 – это совершенное число, первое, но не единственное из этих чисел. Пифагорейцы придавали большое значение мистике совершенных чисел. В частности, 6 сочетало в себе три первых числа, которые имели важное мистическое значение (единство, двойственность и троица как смесь единства и двойственности); 6 – объединение всех этих значений.

Греки обнаружили только четыре первых совершенных числа: 6, 28, 496 и 8128. Пятое было открыто лишь в XV веке: 33 550 336. Найти совершенное число нелегко. В марте 2012 года было известно только 47 из них, самое большое из которых содержит 25956377 знаков.

Евклид известен как великий геометр, но, однако, меньше всего обращают внимание на то, что в его "Началах" содержится много арифметических теорем. Знаменитому греческому математику мы обязаны, например, знанием того, что количество простых чисел бесконечно. В области совершенных чисел он доказал удивительный результат (см. рисунок): пусть N = 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ ‑ 1) ‑ 2ⁿM, где под М мы подразумеваем множитель 2ⁿ⁺¹ ‑ 1 (М – одно из так называемых чисел Мерсенна, как мы увидим далее). Тогда, говорит нам Евклид, N – совершенное число, если М – простое.

Как можно легко заметить, все эти числа N четные. Мы пока не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа. Это одна из больших открытых проблем в теории чисел. Однако известно, что если они существуют, то они должны соответствовать ряду очень сложных условий. Многие математики думают, что было бы чудом, если бы они существовали. Мы также не знаем, бесконечно ли количество чисел вида Ν, поскольку неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел вида M, то есть простых чисел Мерсенна. Через несколько лет после смерти Ферма Эйлер доказал, что теорема, обратная теореме Евклида, верна: любое совершенное число можно записать в виде Ν.

Очевидно, что существуют несовершенные числа. Они делятся на два типа: избыточные (сумма их собственных делителей меньше самого числа) и недостаточные (меньше этой суммы).

Графическое представление совершенного числа.