Задачи на закрепление материала

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение: Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности , . По формуле Бернулли требуемая вероятность .

Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение: Вероятность рождения девочки , тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность .

Пример. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена 70 раз.

 

Решение: Из условия следует, что , , поэтому ; . Поскольку , то можно воспользоваться формулой.

.

По таблице приложения 1 находим . Поэтому .

Пример. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена от 75 до 90 раз.

 

Решение: Используем интегральную теорему Лапласа. В нашем случае , , , , .

, .

По таблице приложения 1 находим

, . 

Поэтому .

 

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение             N=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.

Искомая вероятность .

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение             n=500, p=0,004, λ=2.

По теореме сложения вероятностей

.

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение          λ=np=1000·0,003=3

.

 

Тема 2.2. Дискретные случайные величины (ДСВ)

Тема лекции: Случайные величины. ДСВ. Распределение ДСВ

План:

1. Случайные величины.

2. Пример построения ряда распределения ДСВ

3. Функция распределения ДСВ

4. Пример построения функции от ДСВ.

 

Случайные величины

 

Определение: Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта примет одно и только одно возможное значение, при этом зара­нее неизвестно, какое именно.

Определение: Дискретной называют случайную величину, которая принимает от­дельные, изолированные значения.

Случайную величину в дальнейшем мы будем обозначать большой буквой Х, а ее возможные значения маленькой буквой х.

Например, Х- число попаданий при трех выстрелах. Возможные значения этой случайной величины: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3. Рассмотрим случайную величину Х с возможными зна­чениями х₁, х₂,…х_n. Каждое из этих значений случайная величина может принять с некоторой вероятностью:

Р(Х=х₁)=р₁, Р(Х=х₂)=р₂, … Р(Х=х_n)=р_n.

В результате опыта случайная величина Х примет только одно из этих значений, т.е. произойдет только одно из полной группы событий: Х=х₁ ,Х=х₂, … Х=х_n.

Поскольку сумма вероятностей полной группы попарно несовмест­ных событий равна 1, то

Определение: Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

хi	х1	х2	...	хn
Pi	р1	р2	...	рn

называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины.

Пример ДСВ  – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.

! Задание привести пример ДСВ из окружающей жизни

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

 

Пример построения ряда распределения ДСВ

Пример: Два стрелка стреляют по мишени, делая по два выстре­ла каждый. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,6. Построить ряд распределения случайной величины Х – общего числа попаданий в мишень. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение:  Случайная величина Х - общее число попаданий в мишень может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3, х₅=4.

Случайная величина Х примет значение х₁=0. когда прои­зойдет событие С - ни один из стрелков не попал в мишень. Со­бытие С произойдет в том случае, если одновременно произойдут следующие четыре события:

А₁ - 1-й стрелок не попал в мишень при первом выстреле;

А₂ - 1-й стрелок не попал в мишень при втором выстреле;

В₁ - 2-й стрелок не попал в мишень при первом выстреле;

В₂ - 2-й стрелок не попал в мишень при втором выстреле.

Отсюда следует: что событие С равно произведению независимых событий А₁, А₂, В₁, В₂. С= А₁ ^.А₂ ^.В₁ ^.В_2.

Откуда Р(С)=Р(А₁)^.Р(А₂)^.Р(В₁)^.Р(В₂).  

По условию задачи 1-й стрелок попадает в мишень вероятностью 0,7, а 2-й - с вероятностью 0,6. Тогда вероятности непопадании в мишень для каждого стрелка будут следующими:

Р(А₁) =Р(А₂)=1-0,7=0,3;         Р(В₁)=Р(В₂)=1-0,6=0,4.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значе­ние х₁ = 0, равна вероятности события С:

Р(Х=0)=Р(С)=0,3 ^.0,3 ^.0,4 ^.0,4=0,0144.

Аналогично подсчитываем и другие вероятности:

Р(Х=1)=0,7^.0,3^.0,4 ^.0,4+0,3^.0,7^.0,4 ^.0,4+0,3^.0,3^.0,6^.0,4+0,3^.0,3^.0,4 ^.

^.0,6=0,1104.

Р(Х=2)=0,7^.0,7^.0,4 ^.0,4+0,3 ^.0,3 ^.0,4 ^.0,4+4 ^.(0,7 ^.0,3 ^.0,6 ^.0,4)=0,3124.

Р(Х=3)=0,3^.0,7^.0,6^.0,6+0,7^.0,3^.0,6^.0,6+0,7^.0,7^.0,4^.0,6+0,7^.0,7^.0,6^.0,4==0,3864.

Р(Х=4)=0,7 ^.0,7 ^.0,6 ^.0,6=0,1764.

Составим ряд распределения случайной величины Х.

хi	0	1	2	3	4
Pi	0,0144	0,1104	0,3124	0,3864	0,1764

Проверим тождество .

0,0114+0,1104+0,З124+0,3864+0,1764 =1.

 

Функция распределения ДСВ

Определение: Функцией распределения случайной величины  называется функция

,

определяющая вероятность того, что случайная величина  примет значение, меньшее .