Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(x₂) > F(x₁);

в) F(- ∞) = 0; F(+ ∞) = 1; 

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из

интервала  (причем ), равна:

;

Функция распределения содержит всю информацию об этой случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением.

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

 

Пример построения функции от ДСВ

 

Пример: Случайная величина X задана функцией распределения

x	1	2	3	4
p(x)	0,2	0,3	Р3	0,1

Найти вероятность р₃. Построить функцию распределения. Найти числовые характеристики с.в.

Решение:

Проверим тождество

0,2+0,3+р₃+0,1=1.

р₃=0,4.

Построим функцию распределения этой случайной величины.

Имеем:

Итак,  

     

Контрольные вопросы:

1. С.в. ДСВ.

2. Как построить ряд распределения ДСВ.

3. Дайте определение функции распределения с.в.

4. Как построить функцию распределения ДСВ

 

Задачи на закрепление материала

 

1. Случайная величина X задана рядом распределения

x	4	6	8	10	12
p(x)	0,2	0,4	0,2	0,1	0,1

Построить функцию распределения

2. Случайная величина X задана рядом распределения

x	2	4	10	6	8
p(x)	0,1	0,4	0,1	Р4	0,1

Найти р₄. Построить функцию распределения.

3. Пять однотипных приборов испытываются при пере­грузочных режимах. Вероятность пройти испытание для каждого при­бора равна 0,85. Испытания заканчиваются после выхода из строя первого же прибора. Построить ряд распределения случайной величи­ны- числа произведенных испытаний.

4. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности по­падания в цель при одном выстреле из 1-го, 2-го, 3-го орудия рав­ны соответственно 0,5; 0,6; 0,8. Каждое из орудий стреляет по некоторой цели один раз. Построить ряд распределения случайной ве­личины числа попаданий в цель.

5. В ящике семь изделий, одно из которых бракован­ное. Из ящика извлекают одно изделие за другим, пока не обнаружат брак. Составить ряд распределения случайной величины - числа вы­нутых изделий.

 

Тема лекции: Числовые характеристики ДСВ

План:

1. Математическое ожидание ДСВ.

2. Дисперсия ДСВ.

3. Среднее квадратическое отклонение ДСВ.

 

Математическое ожидание ДСВ

Определение: Математическое ожидание ДСВ находится по формуле:

Вероятностный смысл этого выражения таков: при большом числе измерений среднее значение наблюдаемых значений величины Х приближается к ее математическому ожиданию.

Механический смысл этого равенства заключается в следующем: математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсцис­сы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы - их вероятностям.

 

Дисперсия ДСВ

 

Определение: Дисперсия случайной величины Х есть

Дисперсию случайной величины Х иногда удобнее вычислять по формуле

.

Вероятностный смысл Дисперсия случайной величины Х есть характеристика рассеива­ния разбросанности значений случайной величины около ее математи­ческого ожидания. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины.

 

3. Среднее квадратическое отклонение

 Для более наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, имеющей размерность самой случайной величины. Поэтому вводится понятие среднего квадратического отклонения: .

 

Пример: Случайная величина X задана функцией распределения

 

x	1	2	3	4
p(x)	0,2	0,3	Р3	0,1

Найти вероятность р₃. Найти числовые характеристики с.в.

 

РЕШЕНИЕ:

Проверим тождество

0,2+0,3+р₃+0,1=1.

р₃=0,4.

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

М(Х)=1^.0,2+2^.0,3+3^.0,4+4^.0,1=0,2+0,6+1,2+0,4=2,4.

Для вычисления дисперсии применим формулу: .

М(Х²)=1^2. 0,2+2^2.0,3+3^2.0,4+4^2.0,1=0,2+1,2+3,6+1,6=6,6.

.

Контрольные вопросы:

 

1. Дать определение дискретной случайной величины.

2. Что такое математическое ожидание?

3. Что такое дисперсия?

4. Что такое среднее квадратичное отклонение?

5. Дать определение закона распределения дискретной случайной величины.

 

Задачи на закрепление материала

 

1. Случайная величина X задана функцией распределения

x	4	6	8	10	12
p(x)	0,2	0,4	0,2	0,1	0,1

Найти числовые характеристики данной случайной величины.

 

2. Случайная величина X задана функцией распределения

x	2	4	10	6	8
p(x)	0,1	0,4	0,1	Р4	0,1

Найти р₄. Найти числовые характеристики данной случайной величины.

3. Экзаменатор задает студенту не более четырех дополнительных вопросов. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос, равна 0,9. Преподаватель прекращает экзаменовать студента, как только студент обнаружит незнание заданного вопро­са. Составить ряд распределения случайной величины - числа допол­нительных вопросов, заданных студенту. Найти ее числовые характе­ристики.

4. В нашем распоряжении четыре лампочки, каждая из которых имеет дефект с вероятностью 0,08. Для отбора одной годной лампочки каждая: лампочка ввинчивается в патрон. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает. Построить ряд распре­деления случайной величины - числа лампочек, которое будет испробовано. Найти ее числовые характеристики.

Тема 2.3. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Тема лекции: Непрерывные случайные величины (НСВ)

НСВ

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

 

Пусть Х - некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что с.в. Х примет значение, меньшее х, обозначим F(x), т.е. F(x)=Р(Х<х).

Определение: Функция F(x) называется функцией распределения с.в.Х или интегральной функцией.

Например, значение функции F(x) при х=2 равно вероятности того, что с.в. Х в результате испытания примет значение, меньшее двух, т.е. F(2)=Р(Х<2).

Определение: С. в. называется непрерывной (НСВ), если ее функция распределения F(x) является непрерывной функцией.

Свойства функции распределения:

1. F(x)- неубывающая функция;

2. ; ;

3. Р(а≤Х<в)= F(в)-F(а).

 

Определение: Функция f(x)= F′(x) называется плотностью распределения вероятностей НСВ Х.

Функция f(x) существует во всех точках, где существует производная от функции распределения.

Определение: Плотность распределения называют также дифференциальной функцией распределения.

 

График функции плотности распределения называется кривой распределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения F(x) в точке х₀ есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х₀.

 

Свойства плотности распределения:

1. f(x)≥0;

2. (характеристическое свойство)

3.    Р(а<Х<в)=

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле

F(x)= .

Пример: Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия  Имеем:

 откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения F(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части:  Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события {Х<x} вычисляется так:

 

так как плотность х на полуоси равна нулю.

Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

 так как плотность  обращается в нуль на полуоси .

Итак, получена функция распределения

Вероятность  вычислим по формуле . Таким образом,