Минимизация конечной скорости

     Алгоритм решения краевой задачи минимизации конечной скорости КА

Анализ общих закономерностей оптимального управления космическими аппаратами показывает, что на выбор первого приближения при решении краевых задач оказывает влияние, как формализованный набор исходных условий полета, так и специфика движения КА в этих условиях [4, 39, 80]. В связи с этим, не смотря на наличие общих методический принципов, первое приближение программы управления, значений параметров движения КА и сопряженных переменных будут определяться в зависимости от особенностей постановки задачи оптимального управления.

Опишем алгоритм нахождения первого приближения на примере решения задачи минимизации конечной скорости КА  в момент ввода в действие системы мягкой посадки. На первом этапе рассмотрим технологию определения последовательных приближений без учета ограничений на фазовые координаты полета аппарата.

Прежде всего, в соответствии с найденной структурой оптимального управления углом крена , заключающейся в одноразовом переключении с  на , путем простого перебора определим момент переключения  при котором достигается локальный минимум конечной скорости полета КА. Структура изменения угла атаки  может быть представлена в виде кусочно-линейной функции по времени . Сначала угол  меняется во временном диапазоне [ ] от значения , соответствующего максимальной величине аэродинамического качества  (рис.2.1), до , а затем от  до  при . Такая структура соответствует полученным законам управления углами крена  (2.23) и атаки  (2.24) и рассматривается в качестве первого приближения при решении краевой задачи.

Интегрируя систему дифференциальных уравнений (2.1) с учетом такой структуры управления, определим траекторию движения КА  на интервале ]. Это позволяет полностью сформировать вектор состояния движения КА в конечной точке траектории. Среди конечных координат вектора сопряженных переменных  не определенными остаются только два параметра:  и  (остальные значения  известны из уравнений (2.10)). Кроме того, известно соотношение, связывающее переменные  и  (2.11), что дает возможность формировать вектор сопряженных переменных на основе выбора значений одного из этих параметров, а второе вычислять с помощью соотношения (2.11).

Для определения первого приближения значения  воспользуемся общей формулой для описания закона оптимального управления углом атаки:

Учитывая условия (2.10) и (2.22), эту формулу для расчета параметров в конечной точке траектории полета КА можно преобразовать следующим образом:

Это позволяет определить конечное значение сопряженной переменной  в соответствии с зависимостью:

Численные значения вариаций аэродинамических коэффициентов подъемной силы  и лобового сопротивления  в конечной точке траектории, т.е. при , можно найти из рассмотрения зависимостей, представленных на рис 2.9.

Анализ формулы для определения сопряженной переменной  показал, что в конце траектории полета параметр  принимает положительное значение, т.к.  и . Такое заключение полностью согласуется с ранее сделанным выводом о том, что при оптимальном управлении КА угол крена  в конечной точке траектории принимает нулевое значение. А это обеспечивается только при выполнении условия .

Сформировав, таким образом, вектор сопряженных переменных в конечной точке траектории  и используя описанную ранее программу управления углами атаки и крена интегрируем систему дифференциальных уравнений (2.7) «справа налево» от момента  до момента входа КА в атмосферу . Это позволяет определить изменение сопряженных переменных на интервале ], в том числе значения  в начальный момент времени.

Как было показано выше при движении КА внутри области допустимых значений фазового пространства оптимальное управление углом крена  при минимизации конечной скорости состоит в одноразовом переключении угла крена с  на , а управление углом атаки  определяется в соответствии с зависимостью (2.24). Такая программа изменения углов  и  использовалось в качестве первого приближения при решении краевой задачи.

Предполагалось, что спускаемые аппараты рассматриваемых аэродинамических форм могут осуществлять движение на участке полета в атмосфере во всем диапазоне балансировочных углов атаки, представленных на рис. 2.1.

Проведены расчеты значений минимальной конечной скорости прииспользовании программы оптимального управления углом крена при условии полета КА с постоянными величинами угла атаки .

Как следует из рассмотрения зависимостей, представленных на рис. 2.1, каждому конкретному углу атаки соответствуют определенные значения аэродинамических коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления, а, следовательно, и величины аэродинамического качества  и приведенной нагрузки на лобовую поверхность . При этом, каждое сочетание переменных  и  однозначно определяет значение минимальной конечной скорости спускаемого аппарата.

На рис.2.2 приведены зависимости минимальной конечной скорости от угла атаки для различных аэродинамических форм КА. Показано, что зависимости  имеют ярко выраженный минимум внутри диапазона изменения углов атаки.При переходе к рассмотрению КА с большими значениями максимального аэродинамического качества  величины  уменьшаются. Так, например, для КА сегментно-конической формы с  увеличение  от нулевого значения до  приводит к снижению конечной скорости  при оптимальном управлении углом крена от 1300 м/с до 800 м/с. Последующее увеличение угла атаки до  приводит к существенному росту значения  до 1400 м/с. Для КА типа «несущий корпус»  при возрастании угла  от нулядо  конечная скорость снижается от 1100 м/с до 600 м/с, а затем, в процессе изменения  до  - увеличивается до 1050 м/с. При рассмотрении КА самолетной формы абсолютный минимум конечной скорости  составляет 250 м/с и достигается при . Представленные результаты позволяют сделать практически важный вывод, что для КА с большими значениями  минимум конечной скорости  достигается на больших значениях балансировочных углов атаки .

 

Рис. 2.2. Зависимость минимальной конечной скорости () от балансировочного угла атаки при оптимальном управлении углом крена (.

1 – КА с = 0,3; 2 – КА с = 1,5; 3 – КА с = 2,4.

Таким образом, проведенные исследования показывают, что значения минимальной конечной скорости  для всех рассматриваемых форм КА обеспечиваются при полете с углами атаки, превышающими значения, соответствующие максимальному аэродинамическому качеству . В связи с этим, с точки зрения обеспечения наиболее эффективного снижения конечной скорости, отсутствует необходимость движения КА с . Объясняется это тем, что с изменением угла атаки , приводящем к росту аэродинамического качества, происходит также увеличение коэффициента лобового сопротивления, оказывающего противоположное влияние на скорость  при оптимальном управлении.

Далее, перейдем к рассмотрению двухпараметрического способа управления КА углами атаки и крена.Решение задачи будем проводить при условии представления зависимостей аэродинамических коэффициентов  (см. рис.2.1) в аналитическом виде (2.20).

При решении этой задачи учитывалось следующее обстоятельство: из физических соображений и из опыта решения баллистико-навигационных задач спуска КА в атмосфере Марса, управляемых путем изменения угла атаки, например управление самолетом, легко видеть, что угол крена целесообразно принять равным нулю (γ = const=0).

1. Используя формулы (2.20), запишем необходимые условия оптимальности принципа максимума Понтрягина [54]. Составим гамильтониан:

(2.27)

    Отсюда получим управления сопряжения переменных при q (t)

,

(2.28)

2. Необходимым условием минимума функционала V(t_к) является условие максимума функции H как функции управления [54]. Из выражения (2.27) и с учетом (2.20) получим закон оптимального управления на участке движения внутри допустимой области фазовых координат:

 

                               (2.29)

 

Необходимые и достаточные условия прохождения экстремали вдоль границы имеют вид:

 

                                  (2.30)

где n – порядок производной функции q, которая содержит в явном виде параметры управления. В нашем случае n = 2.

 

3. Управления сопряженных переменных при  имеют вид [106]

 

     (2.31)

 

В момент выхода КА на ограничение t= t₁ должно быть выполнено условие касания

                                    (2.32)        

 

Сопряженные переменные в точке t₁ скачком меняют величину:

 (2.33)

Из анализа (2.28) – (2.33) видно, что выведение КА на режим горизонтального полета (полета на изовысотном участке) может проходить по различным траекториям без нарушения цели управления, т.е. при обеспечении минимального значения конечной скорости спуска. Следовательно, имеет место свойство не единственности оптимальных траекторий, отмеченное ранее в работе [26] В этом случае решение задачи из условия  достаточно проводить лишь на участке движения КА внутри допустимой области фазовых координат после схода с ограничения. При этом граничные условия для левого конца траектории запишутся в виде:

 

(2.34)

 

Для правого:

 

                                           (2.35)

 

Условие (2.34) определяет совместно с (2.35) двухпараметрическую двухточечную краевую задачу.

Качественный характер изменения траекторий спуска КА в атмосфере Марсаи сопряженных переменных при оптимальном управлении можно продемонстрировать из рассмотрения данных, представленных на рис. 2.3 Показано, что после схода КА с изовысотного участка угол атаки  представляет собой монотонно возрастающую функцию от времени полета и достигает максимума в конце траектории спуска. Так для КА с =1,5 и =600 кг/м²угол атаки  возрастает от 38° до 72°, а для КА =2,4 и =600 кг/м² угол  увеличивается от 58° до 85°. Указанное возрастание угла атаки на конечном участке спуска приводит к увеличению аэродинамического коэффициента лобового сопротивления и, следовательно, к более интенсивному гашению скорости движения КА.

 

Рис. 2.3. Зависимости фазовых координат, сопряженных переменных и угла  от времени спуска при оптимальном управлении с помощью угла атаки

( =1,5, =600 кг/м², =0).

 

В целом, анализ численных результатов решения задач оптимального управления показал некоторое снижение конечной скорости при управлении углами атаки и крена по сравнению со способом однопараметрического управления углом крена. В этом случае, в зависимости от рассматриваемых проектно-баллистических характеристик спускаемого аппарата – значений аэродинамического качества и приведенной нагрузки на лобовое сопротивление величина конечной скорости КА может быть уменьшено ~ на 10-15%.

 

Рекомендации по выбору проектно-баллистических характеристик космического аппарата

 

Использование разработанного метода определения оптимального управления дает возможность проведения ускоренного сравнительного анализа значений минимальной конечной скорости, рассчитанных для различных значений проектно-баллистических характеристик спускаемого аппарата и выработки рекомендаций по их выбору. Некоторые результаты расчетов представлены на рис 2.4 и рис. 2.5.

На рис. 2.4для рассматриваемых трех типов КА представлены зависимости частного влияния нагрузки на лобовую поверхность  и ограничения по высоте полета  на конечную скорость при одно и двухпараметрическом оптимальном управлении.

Рис. 2.4. Зависимости минимальной конечной скорости от нагрузки на любую поверхность при оптимальном управлении с использованием угла крена (сплошная линия) и при двухпараметрическом управлении (штриховая линия), .

1 - КА сегментно-конического типа ( =0,34);

2 - КА типа «несущий корпус» ( =1,5);

3 - КА самолетной формы ( =2,4).

 

Видно, что скорость монотонно увеличивается с ростом При этом, интенсивность увеличения  возрастает при переходе от КА самолетных форм к аппаратам скользящего типа. Например, при увеличении  с 200 до 800 кг/м² скорость  возрастает на ~ 200 м/сек для КА с  и на ~ 500 м/сек для КА с  Необходимо подчеркнуть, что характер зависимостей  одинаков для обоих способов управления. При этом эффект двухпараметрического управления составляет 15÷20% для всех рассматриваемых значений проектно-баллистических характеристик КА[64, 68].

Представляется интересным рассмотрение вопроса о границах применимости того или иного типа КА и значений приведенной нагрузки на лобовую поверхность. Так, если принять за предельно допустимые значения скорости в конце участка аэродинамического торможения  то согласно данным рис. 2.5 применение КА сегментно-конического типа с =0,34 невозможно при  При использовании КА, располагающего максимальным аэродинамическим качеством , область допустимых нагрузок на лобовую поверхность  увеличивается до  кг/м², и, наконец, аппараты самолетных форм допускают увеличение  до  кг/м². Следует отметить, что до дозвуковых скоростей полета  м/сек) даже при средних значениях  кг/м² с использованием оптимальных программ управления можно затормозить только космические аппараты самолетных форм.

 

Рис. 2.5. Зависимости минимальной конечной скорости и допустимой нагрузки на лобовую поверхность от максимального аэродинамического качества при оптимальном управлении с использованием угла крена (сплошная линия) и при двухпараметрическом управлении (штриховая линия).

1 - , 2 - , 3 - , 4 - .