Оценка параметров распределений

Цель и задачи работы

Целью практической работы является получения навыков при решении задач использования оценки параметров распределений: смещенных и несмещенных, различными методами.

 

Порядок выполнения работы

- ознакомится с теоретическими сведениями;

- выполнить задание;

- оформить отчет;

- ответить на контрольные вопросы, заданные преподавателем.

 

Оформление отчета

Отчет должен содержать: титульный лист, цель работы, описание пунктов выполнения лабораторной работы в соответствии с заданием, ответы на контрольные вопросы и выводы по работе.

Теоретические сведения

Статистической оценкой Θ* неизвестного параметра Θ в теоретического распределения называют функцию f(X1, X2,..., Хn) от наблюдаемых случайных величин X1, X2,..., Хn

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Θ* = f(x ₁, x ₂,..., x_n), где x₁, х₂,.... х _n –результаты n наблюдений над количественным признаком X (выборка).

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя:

где x_i – варианта выборки, n_i – частота варианты x_i,  – объем выборки.

Замечание 1. Если первоначальные варианты x_i – большие числа, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же число С, т. е. перейти к условным вариантам u_i=x_i–C (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число С выбирают «на глаз»). Тогда

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

эта оценка является смещенной, так как

Более удобна формула

Замечание 2. Если первоначальные варианты x_i – большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число С, равное выборочной средней или близкое к ней, т. е. перейти к условным вариантам u_i=x_i–C (дисперсия при этом не изменится).

Тогда

Замечание 3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с k десятичными знаками после запятой, то, чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число С =10^k, т.е. переходят к условным вариантам u _i = Cx _i. При этом дисперсия увеличится в С2 раз.

Поэтому, найдя дисперсию условных вариант, надо разделить ее на С2:

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

Более удобна формула

В условных вариантах она имеет вид

причем если u _i = x _i – C, то S_x²=S_u² если u _i = Cx _i, то S_x²=S_u²/C².

Замечание 4. При большом числе данных используют метод произведений или метод сумм.

Задача 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:

варианта	хi	2	5	7	10
частота	n1i	16	12	8	14

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

 

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

Если распределение определяется одним параметром, то для его отыскания приравнивают одни теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: ν₁=M₁. Учитывая, что ν₁=M(X) и M₁= _B, получим М (X)= _B.

Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение М (X)= _B относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку.

Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка: ν₁=M₁, μ₂=m₂.

Учитывая, что ν ₁=M(X), M₁= _B, μ₂=D(X), m₂=D_B, имеем

Левые части этих равенств являются функциями от неизвестных параметров, поэтому, решив данную систему относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки.

Для вычисления выборочной средней _B и выборочной дисперсии D_B надо располагать выборкой x ₁, x ₂,..., x_n.

Задача 2. Случайная величина X распределена по закону Пуассона

где m – число испытаний, произведенных в одном опыте; х_i – число появлений события в i-м опыте.

Найти методом моментов по выборке x₁, x₂,..., x_n точечную оценку неизвестного параметра ʎ, определяющего распределение Пуассона.

Решение. Требуется оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка ν₁ начальному эмпирическому моменту первого порядка М₁: ν₁= М₁

Приняв во внимание, что ν₁=М(Х), M₁= _B, получим M(X)= _B. Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру ʎ этого распределения, окончательно имеем ʎ = _B.

Итак, точечной оценкой параметра к распределения Пуассона служит выборочная средняя: ʎ *= _B.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью γ покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней _B при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал:

где t (σ / )=δ – точность оценки, n – объем выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф (t) = γ /2; при неизвестном σ (и объеме выборки л < 30) где s – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t_γ находят по таблице по заданным n и γ.

2. Интервальной оценкой (с надежностью γ) среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

где q находят по таблице по заданным n и γ.

3. Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте ω служит доверительный интервал (с приближенными концами p₁ и р₂)

p₁ < р< р₂

где

где n – общее число испытаний; m – число появлений события; ω – относительная частота, равная отношению m/n; t — значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) =γ/2 (γ —заданная надежность).

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

Задача 3. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ =5, выборочная средняя _B=14 и объем выборки n=25.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

Все величины, кроме t, известны. Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,95/2 = 0,475. По таблице находим t = 1,96.

Подставив t=1,96, _B=14, σ =5, n=25 в приведенную выше формулу, окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04 < а < 15,96.

 

Оборудование

Персональный компьютер с установленной операционной системой Windows XP/7/8, браузер (Например, Internet Explorer, Google Chrome, Opera), текстовый редактор OOo Writer (MS Word), пакет офисных приложений «Мой офис».

 

Оборудование

Персональный компьютер с установленной операционной системой Windows XP/7/8, браузер (Например, Internet Explorer, Google Chrome, Opera), текстовый редактор OOo Writer (MS Word), пакет офисных приложений «Мой офис».

 

Задание на работу

Вариант 1

1. По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка D_B=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

2. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в n=1000 пробах зерна (в первой строке указано количество xi сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота n_i – число проб, содержащих x_i семян сорняков):

xi	0	1	2	3	4	5	6
ni	405	366	175	40	8	4	2

 

           

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

3. Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Вариант 2

1. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

2. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в n=200 партиях (в первой строке указано количество х_i нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота n_i – число партий, содержащих х_i, нестандартных изделий):

хi	0	1	2	3	4
ni	132	43	20	3	2

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра ʎ, распределения Пуассона.

3. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений σ=40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью γ=0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений _в=2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Вариант 3

1. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100:

хi	340	360	375	380
ni	20	50	18	12

Указание. Перейти к условным вариантам u_i=x_i–360.

2. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы σ=40ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

3. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,99, если в 100 испытаниях событие А появилось 60 раз.

 

Вариант 4

1. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50:

хi	0,1	0,5	0,6	0,8
ni	5	15	20	10

Указание. Перейти к условным вариантам u_i=10x_i.

2. Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение  (x≥0). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы n=200 элементов (в первой строке приведено среднее время х_i работы элемента в часах; во второй строке указана частота n_i – количество элементов, проработавших в среднем х_i, часов):

хi	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
ni	133	45	15	4	2	1

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=12:

хi	-0,5	-0,4	-0,2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5
ni	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

Вариант 5

1. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50:

хi	18,4	18,9	19,3	19,6
ni	5	10	20	15

Указание. Перейти к условным вариантам u_i=10x_i –195.

2. Найти методом моментов оценку параметра р геометрического распределения , если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ=1,5.

Вариант 6

1. 1. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений _в=42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью γ=0,999.

2. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n=100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение σ=2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

3. Найти методом моментов по выборке х₁, х₂,.... х_n точечную оценку неизвестного параметра ʎ показательного распределения, плотность которого (x≥0).

Вариант 7

1. Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.

2. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение σ, выборочная средняя _в и объем выборки: а) σ=4, _в=10,2, n=16; б) σ= 5, _в=16,8, n=25.

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:

xi	2	5	7	10
ni	16	12	8	14

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Вариант 8

1. По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка D_B=5 генеральной дисперсии. Найти несмещен­ную оценку дисперсии генеральной совокупности.

2. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены сле­дующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

3. Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.

Рост	154-I58	l58-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число сту­дентов	10	14	26	28	12	8	2

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

Вариант 9

1. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:

хi	1	3	6	26
ni	8	40	10	2

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

3. Найти методом моментов оценку параметра р геометрического распределения Р(Х=х_i)=(1–р)^xi-1 если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

Вариант 10

1. Найти выборочную дисперсию по данному рас­пределению выборки объема n=100:

Хi	340	360	375	380
ni	20	50	18	12

2. Найти методом моментов по выборке x1, x2..., xn точечные оценки неизвестных параметров α и σ нор­мального распределения, плотность которого:

3. Случайная величина X (ошибка измерения даль­ ности радиодальномером) подчинена равномерному за­ кону распределения с неизвестными параметрами а и b. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки n=200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка x_i; во второй строке указана частота n_i –количество измерений, имеющих среднюю ошибку x_i):  

xi	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
ni	21	16	15	26	22	14	21	22	18	25

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и b равномерного распределения.

 

7. Контрольные вопросы

1. Что такое точечная статистическая оценка?

2. Что является статистической оценкой математического ожидания?

3. Что является статистической оценкой дисперсии?

4. Что является статистической оценкой среднего квадратического отклонения?

5. Несмещённость, состоятельность, эффективность статистических оценок.

6. Почему вычисляется исправленная дисперсия и исправленное среднее квадратическое отклонение?

7. Что меньше: выборочная дисперсия или несмещённая дисперсия?

 

Практическая работа №3