Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема n:

по признаку А x₁ x₂... х_n

по признаку В y₁ y₂ … y_n

Допустим, что справа от у₁ имеется R₁ рангов, больших у₁; справа от у₂ имеется R₂ рангов, больших у₂; справа от y_n-1 имеется R_n-1 рангов, больших  y_n-1. Введем обозначение суммы рангов:

R=R₁+R₂+….+R_n-1

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла находят по формуле:

где n – объем выборки, R – сумма рангов R_i (i = 1, 2,..., n-1).

Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Кендалла не превышает единицы: |τ_в1|≤1.

Для обоснованного суждения о наличии связи между качественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Пример. Знания 10 студентов проверены по двум тестам: А и В. Оценки по стобалльной системе оказались следующими (в первой строке указано количество баллов по тесту А, а во второй – по тесту В):

95 90 86 84 75 70 62 60 57 50

92 93 83 80 55 60 45 72 62 70

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кен да л ла между оценками по двум тестам.

Решение. При решении задачи 540, условие которой совпадает с условием настоящей задачи, были получены две последовательности рангов (в первой строке приведены ранги по тесту А, во второй – по тесту В):

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y_i 2 1 3 4 9 8 10 5 7 6

Справа от y₁=2 имеется R₁=8 рангов (3, 4, 9, 8, 10, 5, 7, 6), больших y₁=2; справа от y₂=1 имеется R₂=8 рангов, больших y₂=1. Аналогично получим: R₃=7, R₄=6, R₅=1, R₆=1, R₇=0, R₈=2, R₉=0. Следовательно, сумма рангов

R= R₁+R₂+... + R₉=8+8+7+6+1+1+2=33.

Найдем коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что R=33, n=10:

Итак, τ_в = 0,47.

Оборудование

Персональный компьютер с установленной операционной системой Windows XP/7/8, браузер (Например, Internet Explorer, Google Chrome, Opera), текстовый редактор OOo Writer (MS Word), пакет офисных приложений «Мой офис».

Задание на работу

Вариант 1

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X								ny
	5	10	15	20	25	30	35	40
100 120 140 160 180	2 3 - - -	1 4 - - -	- 3 5 - -	- - 10 1 -	- - 8 - -	- - - 6 -	- - - 1 4	- - - 1 1	3 10 23 9 5
nx	5	5	8	11	8	6	5	2	n=50

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ax²+Вх+С и выборочное корреляционное отношение η_ух по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X					ny
	0	1	2	3	4
0 3 5 10 17	18 1 3 - -	1 20 5 - -	1 - 10 7 -	- - 2 12 -	- - - - 20	20 21 20 19 20
nx	22	26	18	14	20	n=100

3. Тринадцать цветных полос расположены в порядке убывания окраски от темной к светлой и каждой полосе присвоен ранг – порядковый номер. В итоге получена последовательность рангов

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

При проверке способности различать оттенки цветов, испытуемый расположил полосы в следующем порядке:

у_i 6 3 4 2 1 10 7 8 9 5 11 13 12

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между «правильными» рангами х_i и рангами y_i, которые присвоены полосам испытуемым.

Вариант 2

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

 

 

Y	X							ny
	18	23	28	33	38	43	48
125 150 175 200 225 250	- 1 - - - -	1 2 3 - - -	- 5 2 1 - -	- - 12 8 - -	- - - 7 3 -	- - - - 3 1	- - - - - 1	1 8 17 16 6 2
nx	1	6	8	20	10	4	1	n=50

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ax²+Вх+С и выборочное корреляционное отношение η_ух по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X					ny
	0	4	6	7	10
7 13 40 80 200	19 2 - - -	1 14 3 - -	1 - 22 - -	- - 2 15 -	- - - - 21	21 16 27 15 21
nx	21	18	23	17	21	n=100

3. Два товароведа расположили девять мотков пряжи в порядке убывания толщины нити. В итоге были получены две последовательности рангов:

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y_i 4 1 5 3 2 6 9 8 7

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами x_i и у_i.

Вариант 3

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X							ny
	5	10	15	20	25	30	35
100 120 140 160 180	- - - 3 2	- - - 4 1	- - 3 8 -	- - 10 - 1	- - 5 - -	6 4 - - -	1 2 - - -	7 6 23 10 4
nx	5	5	11	11	5	10	3	n=50

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ax²+Вх+С и выборочное корреляционное отношение η_ух по данным, приведенным в корреляционной таблице:

 

Y	X					ny
	0	1	2	3	4
10 11 20 35 50	20 7 - - -	5 15 3 - -	- 3 17 8 -	- 1 4 13 5	- - - 7 42	21 16 27 15 21
nx	27	23	28	23	49	n=150

3. Специалисты двух заводов проранжировали 11 факторов, влияющих на ход технологического процесса.

В итоге были получены две последовательности рангов:

х_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y_i 1 2 3 5 4 9 8 11 6 7 10

Определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Вариант 4

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X						ny
	18	23	28	33	38	43
125 150 175 200 225 250	- - - - - 1	- - - 1 2 3	- 5 2 5 - -	- - 10 8 - -	- - - 7 - -	3 3 - - - -	3 8 12 21 2 4
nx	1	6	12	18	7	6	n=50

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ax²+Вх+С и выборочное корреляционное отношение η_ух по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X			ny
	0	4	5
1 35 50	50 - -	5 44 5	1 - 45	56 44 50
nx	21	18	23	n=150

3. Три арбитра оценили мастерство 10 спортсменов, в итоге были получены три последовательности рангов (в первой строке приведены ранги арбитра A, во второй – ранги арбитра В, в третьей – ранги арбитра С):

x_i   1 2  3  4  5  6  7  8  9  10

y_i   3 10 7  2  8  5  6  9  1   4

z_i   6  2  1  3  9  4  5  7  10 8

Определить пару арбитров, оценки которых наиболее согласуются, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Вариант 5

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X						ny
	18	22	26	30	34	38
70 75 80 85 90 95	5 7 - - - -	- 19 14 - - -	- 1 5 10 - -	- - - 8 3 -	- - - - 7 9	- - 3 - - 9	5 27 22 18 10 18
nx	12	33	16	11	16	12	n=100

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ay²+Вy+С и выборочное корреляционное отношение η_хy по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X			ny
	6	30	50
1 3 4	15 1 -	- 14 2	- - 18	15 15 20
nx	16	16	18	n=50

3. Два инспектора А и В проверили 12 водителей на быстроту реакции и расположили их в порядке ухудшения реакции (в скобках помещены порядковые номера водителей с одинаковой реакцией):

(A) 1 (2, 3, 4) 5 (6, 7, 8) 9  10  11 12

(B) 3  1  2  6  4   5  7  8  11 10  9   12

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами водителей, присвоенными им двумя инспекторами.

Вариант 6

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X						ny
	10	15	20	25	30	35
30 40 50 60 70	2 - - - -	6 4 - - -	- 4 7 2 -	- - 35 10 5	- - 8 8 6	- - - - 3	8 8 50 20 14
nx	2	10	13	50	22	3	n=100

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ay²+Вy+С и выборочное корреляционное отношение η_хy по данным, приведенным в корреляционной таблице:

 

Y	X			ny
	1	9	19
0 2 3	13 2 1	- 10 1	- - 23	13 12 25
nx	16	11	23	n=50

3. Два контролера расположили 10 деталей в порядке ухудшения их качества. В итоге были получены две последовательности рангов:

x_i  1  2  3  4  5  6  7  8   9  10

y_i  1  2  4  3  6  5  7 10  9  8

Используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить, согласуются ли оценки контролеров.

Вариант 7

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X						ny
	10	15	20	25	30	35
20 30 40 50 60	4 - - - -	2 5 - - -	- 3 5 2 -	- - 45 8 4	- - 5 7 7	- - - - 3	6 8 55 17 14
nx	2	7	10	57	19	3	n=100

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ay²+Вy+С и выборочное корреляционное отношение η_хy по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X			ny
	2	3	5
25 45 110	20 - -	- 30 1	- 1 48	20 31 49
nx	20	31	49	n=100

3. Тринадцать цветных полос расположены в порядке убывания окраски от темной к светлой и каждой полосе присвоен ранг – порядковый номер. В итоге получена последовательность рангов

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

При проверке способности различать оттенки цветов, испытуемый расположил полосы в следующем порядке:

у_i 6 3 4 2 1 10 7 8 9 5 11 13 12

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Вариант 8

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

 

Y	X						ny
	65	95	125	155	185	215
30 40 50 60 70	5 4 - - -	- 12 8 1 -	- - 5 5 -	- - 4 7 -	- - - 2 1	- - - - 1	5 16 17 15 2
nx	9	21	10	11	3	1	n=55

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ay²+Вy+С и выборочное корреляционное отношение η_хy по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X						ny
	5	10	15	20	25	30
10 20 35 40 50	4 - - - -	6 2 - - -	- 8 - - -	- - 10 5 -	- - 2 8 10	- - 8 2 5	10 10 20 15 15
nx	4	8	8	15	20	15	n=70

3. Специалисты двух заводов проранжировали 11 факторов, влияющих на ход технологического процесса.

В итоге были получены две последовательности рангов:

х_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y_i 1 2 3 5 4 9 8 11 6 7 10

Используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов.

Вариант 9

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X							ny
	-3	-2	-1	0	1	2	3
-2 -1 0 1 2 3	2 - - - - -	- 1 4 2 - -	2 4 3 - - -	- - 10 2 - -	- - - 3 5 -	- - - 6 4 1	- - - - - 1	4 5 17 13 9 2
nx	2	7	10	12	8	11	1	n=50

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ay²+Вy+С и выборочное корреляционное отношение η_хy по данным, приведенным в корреляционной таблице:

 

 

Y	X			ny
	1	2	3
35 75 95	10 - -	- 22 -	- 1 16	10 23 16
nx	10	22	17	n=50

3. Три арбитра оценили мастерство 10 спортсменов, в итоге были получены три последовательности рангов (в первой строке приведены ранги арбитра A, во второй – ранги арбитра В, в третьей – ранги арбитра С):

x_i   1 2  3  4  5  6  7  8  9  10

y_i   3 10 7  2  8  5  6  9  1   4

z_i   6  2  1  3  9  4  5  7  10 8

Используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить пару арбитров, оценки которых наиболее совпадают.

Вариант 10

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X						ny
	10	20	30	40	50	60
15 25 35 45 55	5 - - - -	7 20 - - -	- 23 30 10 -	- - 47 11 9	- - 2 20 7	- - - 6 3	12 43 79 47 19
nx	5	27	63	67	29	9	n=200

2. Найти выборочное уравнение регрессии =Ay²+Вy+С и выборочное корреляционное отношение η_хy по данным, приведенным в корреляционной таблице:

Y	X			ny
	0	4	5
1 20 50	30 - -	5 14 5	1 - 45	36 14 50
nx	30	24	46	n=100

3. Два преподавателя оценили знания 12 учащихся по стобалльной системе и выставили им следующие оценки (в первой строке указано количество баллов, выставленных первым преподавателем, а во второй – вторым):

98 94 88 80 76 70 63 61 60 58 56 51

99 91 93 74 78 65 64 66 52 53 48 62

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками двух преподавателей.

7. Контрольные вопросы

1. Какую корреляцию называют линейной?

2. Запишите выборочное уравнение линейной регрессии.

3. Какая формула используется для нахождения выборочного коэффициента линейной корреляции Y на X.

4. Какую корреляцию называют криволинейной?

5. Какая формула используется для оценки силы корреляции?

6. Что подразумевается под определением «качественный признак»?

7. Запишите формулу нахождения выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

8. Запишите формулу нахождения выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла.

 

Список литературы

Основная литература

1. Энатская Н. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика для инженерно-технических направлений: Учебник и практикум / Энатская Н. Ю., Хакимуллин Е. Р. – Электрон. дан. – Москва: Издательство Юрайт, 2019. – 399.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Гмурман В. Е. – 12-е изд. – Электрон. дан. – Москва: Издательство Юрайт, 2019. – 479. – (Высшее образование). – Режим доступа: https://www.biblio-online.ru.

3. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б. А. Севастьянов. – Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019. – 272 c.

4. Махова Н. Б. Теория вероятностей и основы математической статистики: курс лекций / Н. Б. Махова. – Москва: Московская государственная академия водного транспорта, 2019. – 87 c.

5. Шилова З. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / З. В. Шилова, О. И. Шилов. – Саратов: Ай Пи Ар Букс, 2015. – 158 c.

 

Дополнительная литература

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2008. – 404с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М.: Высш. образование, 2008. – 479с.

3. Симогин А. А. Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя: учебное пособие / А. А. Симогин. – Макеевка: Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, ЭБС АСВ, 2019. – 169 c.

4. Энатская Н. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика для инженерно-технических направлений: Учебник и практикум / Энатская Н. Ю., Хакимуллин Е. Р. – Электрон. дан. – Москва: Издательство Юрайт, 2019. – 399.

Интернет-ресурсы

1. Симогин А. А. Специальные разделы высшей математики. Теория вероятностей и математическая статистика для инженера-исследователя: учебное пособие / А. А. Симогин. – Макеевка: Донбасская национальная академия строительства и архитектуры, ЭБС АСВ, 2019. – 169 c. – ISBN 2227-8397. – Текст: электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: [сайт]. – URL: http://www.iprbookshop.ru/92350.html (дата обращения: 21.07.2020). – Режим доступа: для авторизир. пользователей.

2. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б. А. Севастьянов. – Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019. – 272 c. – ISBN 978-5-4344-0741-0. – Текст: электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: [сайт]. – URL: http://www.iprbookshop.ru/97366.html (дата обращения: 21.07.2020). – Режим доступа: для авторизир. пользователей.

3. Махова Н. Б. Теория вероятностей и основы математической статистики: курс лекций / Н. Б. Махова. – Москва: Московская государственная академия водного транспорта, 2019. – 87 c. – ISBN 2227-8397. – Текст: электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: [сайт]. – URL: http://www.iprbookshop.ru/97325.html (дата обращения: 21.07.2020). – Режим доступа: для авторизир. пользователей.

4. Шилова З. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / З. В. Шилова, О. И. Шилов. – Саратов: Ай Пи Ар Букс, 2015. – 158 c. – ISBN 978-5-906-17262-4. – Текст: электронный // Электронно-библиотечная система IPR BOOKS: [сайт]. – URL: http://www.iprbookshop.ru/33863.html (дата обращения: 21.07.2020). – Режим доступа: для авторизир. пользователей.